גאומטריה אנליטית משוואת מעגל בסיס בסיס

זיהוי מרכז ורדיוס ממשוואה:

המשוואה: \(x^2 + y^2 = 25\)

זוהי משוואת מעגל עם מרכז בראשית

שלב 1: זיהוי המרכז
• אין (x-a) או (y-b)
• לכן המרכז הוא O(0,0)

שלב 2: זיהוי הרדיוס
• \(r^2 = 25\)
• \(r = \sqrt{25} = 5\)

💡 זכור: הרדיוס הוא שורש של המספר בצד ימין!

משוואת מעגל עם מרכז בראשית:

כאשר מרכז המעגל הוא O(0,0)
והרדיוס הוא r

המשוואה היא: \(x^2 + y^2 = r^2\)

במקרה שלנו:
• מרכז: O(0,0)
• רדיוס: r = 3
• \(r^2 = 3^2 = 9\)

לכן: \(x^2 + y^2 = 9\)

זיהוי רדיוס ממשוואה:

המשוואה: \(x^2 + y^2 = 49\)

צורה כללית: \(x^2 + y^2 = r^2\)

לכן: \(r^2 = 49\)

נוציא שורש:
\(r = \sqrt{49} = 7\)

💡 שגיאה נפוצה:
אל תבלבל! הרדיוס הוא 7, לא 49
49 זה ריבוע הרדיוס

חישוב רדיוס ומשוואת מעגל:

נתון:
• מרכז: O(0,0)
• המעגל עובר דרך: A(4,0)

שלב 1: חישוב הרדיוס
הרדיוס = המרחק מהמרכז לנקודה A

\(r = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2}\)
\(r = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4\)

שלב 2: כתיבת המשוואה
מעגל עם מרכז בראשית:
\(x^2 + y^2 = r^2\)
\(x^2 + y^2 = 4^2\)
\(x^2 + y^2 = 16\)

זיהוי מרכז ורדיוס ממשוואה כללית:

המשוואה: \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 36\)

שלב 1: זיהוי המרכז
נשווה לצורה הכללית: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

• \((x-3)^2\) → a = 3
• \((y+2)^2 = (y-(-2))^2\) → b = -2

💡 שים לב! (y+2) זה (y-(-2))

לכן המרכז: M(3,-2)

שלב 2: זיהוי הרדיוס
• \(r^2 = 36\)
• \(r = \sqrt{36} = 6\)

משוואת מעגל עם מרכז כללי:

כאשר מרכז המעגל הוא M(a,b)
והרדיוס הוא r

המשוואה היא: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

במקרה שלנו:
• מרכז: M(2,1) → a=2, b=1
• רדיוס: r = 4
• \(r^2 = 4^2 = 16\)

לכן: \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 16\)

💡 חשוב! שים לב לסימן מינוס לפני הקואורדינטות!

מציאת משוואת מעגל - דוגמה מורכבת:

נתון:
• מרכז: M(1,2)
• המעגל עובר דרך: B(4,6)

שלב 1: חישוב הרדיוס
נשתמש בנוסחת המרחק:

\(r = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

\(r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\)

\(r = \sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

שלב 2: כתיבת המשוואה
מעגל עם מרכז M(a,b):
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

נציב: a=1, b=2, r=5

\((x-1)^2 + (y-2)^2 = 5^2\)

\((x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\)

השוואת גדלי מעגלים:

גודל המעגל נקבע לפי הרדיוס בלבד!
המרכז לא משפיע על הגודל.

נבדוק כל מעגל:

מעגל 1: \((x-1)^2 + (y-3)^2 = 100\)
• \(r^2 = 100 → r = 10\)

מעגל 2: \(x^2 + y^2 = 81\)
• \(r^2 = 81 → r = 9\)

מעגל 3: \((x+2)^2 + (y-5)^2 = 64\)
• \(r^2 = 64 → r = 8\)

מעגל 4: \((x-4)^2 + (y+1)^2 = 49\)
• \(r^2 = 49 → r = 7\)

הגדול ביותר: r = 10