גאומטריה אנליטית קו ישר -בסיס

הישר עולה משמאל לימין, כלומר כש-x גדל, גם y גדל. זהו שיפוע חיובי.

הישר יורד משמאל לימין, כלומר כש-x גדל, y קטן. זהו שיפוע שלילי.

הישר מקביל לציר x, כלומר y קבוע ולא משתנה כאשר x משתנה. השיפוע הוא 0.

הישר עולה מנקודה (1,2) לנקודה (3,4). כאשר x גדל, y גדל - שיפוע חיובי.

ישר A עולה (שיפוע חיובי), ישר B יורד (שיפוע שלילי).

כאשר השיפוע שווה ל-0, אין שינוי ב-y כאשר x משתנה, כלומר הישר אופקי ומקביל לציר x.

השיפוע הוא 3 (חיובי), לכן הישר עולה משמאל לימין.

השיפוע הוא -2 (שלילי), לכן הישר יורד משמאל לימין.

המשוואה \(y = 7\) אומרת ש-y קבוע ושווה ל-7 לכל ערך של x. זהו ישר אופקי עם שיפוע 0.

ישר A תלול יותר (עולה מהר יותר), לכן השיפוע שלו גדול יותר.

כאשר עוברים מ-(1,5) ל-(3,2), x גדל ו-y קטן. זה אומר שהישר יורד - שיפוע שלילי.

השיפוע הוא \(-\frac{1}{2}\) (שלילי), לכן הישר יורד.

השיפוע הוא 0.5 (חיובי), לכן הישר עולה.

הישר אנכי (מקביל לציר y). ישר אנכי אין לו שיפוע מוגדר.

שיפוע ישר A הוא 4, שיפוע ישר B הוא 2. לכן 4 > 2, ישר A תלול יותר.

שיפוע שלילי גדול יותר במונחים מוחלטים (|-5| > |-1|) אומר ירידה תלולה יותר.

נסדר למשוואה: \(4y = -3x + 12\) → \(y = -\frac{3}{4}x + 3\). השיפוע שלילי, לכן הישר יורד.

נסדר: \(-y = -2x + 4\) → \(y = 2x - 4\). השיפוע הוא 2 (חיובי), לכן הישר עולה.

המשוואה שקולה ל-\(y = 3\), כלומר y קבוע. זהו ישר אופקי.

המשוואה שקולה ל-\(x = -2\), כלומר x קבוע. זהו ישר אנכי.

לפי הנוסחה: \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-3}{5-2} = \frac{6}{3} = 2\)

לפי הנוסחה: \(m = \frac{10-4}{3-1} = \frac{6}{2} = 3\)

לפי הנוסחה: \(m = \frac{0-2}{4-0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

לפי הנוסחה: \(m = \frac{-1-5}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} = -2\)

לפי הנוסחה: \(m = \frac{1-7}{3-3} = \frac{-6}{0}\) - חלוקה באפס לא מוגדרת. זהו ישר אנכי.

לפי הנוסחה: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 5 = 3(x - 2)\)
\(y - 5 = 3x - 6\)
\(y = 3x - 1\)

לפי הנוסחה: \(y - 2 = -2(x - 1)\)
\(y - 2 = -2x + 2\)
\(y = -2x + 4\)

הנקודה (0,3) היא נקודת החיתוך עם ציר y, לכן \(b = 3\). המשוואה: \(y = 1 \cdot x + 3 = x + 3\)

לפי הנוסחה: \(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)\)
\(y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\)
\(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)

לפי הנוסחה: \(y - 4 = 3(x - (-1))\)
\(y - 4 = 3(x + 1)\)
\(y - 4 = 3x + 3\)
\(y = 3x + 7\)

לפי הנוסחה: \(y - 0 = -1(x - 4)\)
\(y = -x + 4\)

לפי הנוסחה: \(y - 8 = 4(x - 2)\)
\(y - 8 = 4x - 8\)
\(y = 4x\)

ראשית נמצא את השיפוע: \(m = \frac{5-3}{2-1} = 2\)
עכשיו נשתמש בנקודה (1,3): \(y - 3 = 2(x - 1)\)
\(y = 2x + 1\)

השיפוע: \(m = \frac{1-5}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2\)
נקודת החיתוך עם y היא (0,5), לכן \(b = 5\)
המשוואה: \(y = -2x + 5\)

השיפוע: \(m = \frac{7-1}{1-(-2)} = \frac{6}{3} = 2\)
נשתמש בנקודה (1,7): \(y - 7 = 2(x - 1)\)
\(y = 2x + 5\)

נקודת החיתוך עם ציר y היא כאשר \(x = 0\). נציב: \(y = 2(0) + 6 = 6\)
הנקודה: \((0, 6)\)

נקודת החיתוך עם ציר x היא כאשר \(y = 0\). נציב: \(0 = 2x + 6\)
\(2x = -6\) → \(x = -3\)
הנקודה: \((-3, 0)\)

כאשר \(x = 0\): \(y = -(0) + 4 = 4\)
הנקודה: \((0, 4)\)

כאשר \(y = 0\): \(0 = -x + 4\)
\(x = 4\)
הנקודה: \((4, 0)\)

עם ציר x (\(y=0\)): \(3x = 12\) → \(x = 4\)
עם ציר y (\(x=0\)): \(2y = 12\) → \(y = 6\)

הישר \(y = 5\) הוא ישר אופקי. הוא חותך את ציר y בנקודה \((0, 5)\)

הישר \(x = -2\) הוא ישר אנכי. הוא חותך את ציר x בנקודה \((-2, 0)\)

עם ציר x (\(y=0\)): \(x = 5\)
עם ציר y (\(x=0\)): \(y = 5\)

נציב \(x = 3\) במשוואה: \(y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7\)

נציב \(y = 10\) במשוואה: \(10 = 3x + 1\)
\(9 = 3x\) → \(x = 3\)

נבדוק: נציב \(x = 2\): \(y = 2(2) + 1 = 5\) ✓
הנקודה אכן נמצאת על הישר!

נציב \(x = 5\): \(y = -(5) + 8 = 3\)

נציב \(y = 0\): \(0 = 4x - 12\)
\(4x = 12\) → \(x = 3\)

נבדוק: נציב \(x = 1\): \(y = 5(1) + 3 = 8\)
אבל בנקודה \(y = 7\), לכן הנקודה לא על הישר.

נציב \(x = -2\): \(y = 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2\)

נציב \(y = -5\): \(-5 = -2x + 1\)
\(-6 = -2x\) → \(x = 3\)

ישרים מקבילים = שיפועים שווים. השיפוע הוא 3, לכן \(y = 3x - 5\) מקביל (גם שיפוע 3).

שני הישרים בעלי שיפוע 2, לכן הם מקבילים.

ישר מקביל = אותו שיפוע \(m = -1\)
נשתמש בנקודה (2,5): \(y - 5 = -1(x - 2)\)
\(y = -x + 7\)

ישרים מקבילים = אותם מקדמי x ו-y. לכן \(2x + 3y = 12\) מקביל.

שיפוע זהה \(m = 4\), עובר דרך (0,0), לכן \(b = 0\). המשוואה: \(y = 4x\)

אלו אותן משוואות בדיוק! זהו אותו ישר, לא שני ישרים מקבילים.

שיפוע הישר: \(m = \frac{8-2}{3-1} = \frac{6}{2} = 3\)
ישר מקביל = אותו שיפוע = 3

נסדר את המשוואה: \(y = 3x - 5\), השיפוע 3
עובר דרך (1,1): \(y - 1 = 3(x - 1)\) → \(y = 3x - 2\)

ישר מקביל לציר x הוא ישר אופקי, כלומר y קבוע. המשוואה: \(y = k\)

ישר מקביל לציר y הוא ישר אנכי, כלומר x קבוע. המשוואה: \(x = k\)

ישר מקביל לציר x → \(y = \text{קבוע}\). הישר עובר דרך נקודה עם \(y = 7\), לכן \(y = 7\)

ישר מקביל לציר y → \(x = \text{קבוע}\). הישר עובר דרך נקודה עם \(x = -2\), לכן \(x = -2\)

ישר מקביל לציר x הוא אופקי, והשיפוע של ישר אופקי הוא 0.

ישר מקביל לציר y הוא אנכי, ולישר אנכי אין שיפוע מוגדר.

ישר מקביל לציר x הוא \(y = \text{קבוע}\). רק \(y = -3\) מקיים זאת.

ראשית הצירים היא (0,0). ישר מקביל לציר x עם \(y = 0\) הוא ציר x עצמו!

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (4, 6)\)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2, 3)\)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)\)

לפי שיטת הדילוגים: אם M אמצע הקטע מ-A ל-B, אז הדילוג מ-A ל-M שווה לדילוג מ-M ל-B
מ-(1,2) ל-(3,5): +2 ב-x, +3 ב-y
מ-(3,5) ל-(x,y): +2 ב-x, +3 ב-y → (5,8)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{5+(-3)}{2}, \frac{-2+6}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 2)\)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (0, 2)\)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{-6+4}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (-1, -1)\)

שיטת דילוגים: מ-(-3,-5) ל-(0,0): +3 ב-x, +5 ב-y
מ-(0,0) ל-(x,y): +3 ב-x, +5 ב-y → (3,5)

לפי הנוסחה: \(M = \left(\frac{7+1}{2}, \frac{1+9}{2}\right) = (4, 5)\)

מהנוסחה: \(\frac{x+4}{2} = 2\) → \(x = 0\)
\(\frac{1+y}{2} = 3\) → \(y = 5\)

ישרים מאונכים אם \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
בדיקה: \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\) ✓ כן!

שיפוע מאונך: \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}\)
עובר דרך (0,5): \(b = 5\)
המשוואה: \(y = -\frac{1}{3}x + 5\)

שיפוע מאונך הוא הופכי ונגדי: \(m_2 = -\frac{1}{4}\)

בדיקה: \(m_1 = -1, m_2 = 1\)
\((-1) \cdot 1 = -1\) ✓ כן, מאונכים!

שיפוע מאונך: \(m = \frac{1}{2}\)
עובר דרך (4,3): \(y - 3 = \frac{1}{2}(x - 4)\)
\(y = \frac{1}{2}x + 1\)

שיפוע מאונך הופכי ונגדי: \(m_2 = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\)

נסדר: \(y = -\frac{3}{2}x + 3\) (שיפוע \(-\frac{3}{2}\))
\(y = \frac{2}{3}x - 3\) (שיפוע \(\frac{2}{3}\))
בדיקה: \((-\frac{3}{2}) \cdot \frac{2}{3} = -1\) ✓ מאונכים!

ציר x הוא אופקי (שיפוע 0). ישר מאונך לו הוא אנכי, כלומר \(x = \text{קבוע}\). עובר דרך x=5, לכן \(x = 5\)