נגזרת של פונקציית פולינום

נוסחה כללית:
לכל קבועים \(a, b, c\):
\(f(x) = ax^2 + bx + c \Rightarrow f'(x) = 2ax + b\).

כאן \(a = 3\) ולכן \(2a = 6\), ו-\(b = 5\).
נחשב:
\(f'(x) = 2 \cdot 3x + 5 = 6x + 5\).

שימי לב: האיבר הקבוע \(-7\) נעלם, כי נגזרת של קבוע היא 0.

נוסחת חזקת חזקות:
לכל קבוע \(a\) ומספר טבעי \(n\):
\(\frac{d}{dx}(ax^n) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\).

כאן \(a = 4\), \(n = 3\) ולכן:
\(f'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 12x^2\).

טעות נפוצה: להשאיר את החזקה 3 (ולקבל \(12x^3\)) במקום להוריד אותה ב-1.

נשתמש שוב בכלל \(ax^n \rightarrow a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
עבור \(-2x^2\):
\(\frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x^{1} = -4x\).
עבור הקבוע \(8\) הנגזרת היא 0.

לכן \(f'(x) = -4x\) בלבד.

נגזור כל איבר בנפרד לפי כלל החזקות והסכום:

• \(\frac{d}{dx}(5x^4) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\)
• \(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2x = -6x\)
• \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)
• \(\frac{d}{dx}(-1) = 0\)

נגזור כל איבר:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x\)
\(\frac{d}{dx}(3x) = 3\)

לכן:
\(f'(x) = x + 3\).
האופציה \(x^2 + 3\) שגויה כי שכחו להוריד את החזקה מ-2 ל-1.

\(\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2\).
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).

סיכום:
\(f'(x) = 21x^2 - 1\).

שוב כלל החזקות:
\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{4}\).
אין כאן מקדם חיצוני, ולכן רק החזקה יורדת כפול המקדמים (שזה בעצם 1).

נגזור איבר-איבר:

• \(\frac{d}{dx}(-3x^4) = -3 \cdot 4x^3 = -12x^3\)
• \(\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2\)
• \(\frac{d}{dx}(-x) = -1\)
• \(\frac{d}{dx}(9) = 0\)

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3\right) = \frac{2}{3} \cdot 3x^{2} = 2x^2\).
המספר 3 במונה והמכנה מצטמצם, ולכן נשאר רק 2 כמקדמה.

נגזור:
\(\frac{d}{dx}(6x^2) = 12x\),
\(\frac{d}{dx}(4x) = 4\),
\(\frac{d}{dx}(10) = 0\).

לכן: \(f'(x) = 12x + 4\).

• \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)
• \(\frac{d}{dx}(-5x^2) = -10x\)
• \(\frac{d}{dx}(4x) = 4\)

\(\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2\),
\(\frac{d}{dx}(3x) = 3\).

לכן \(f'(x) = -3x^2 + 3\).

נגזור:
\(\frac{d}{dx}(2x^4) = 8x^3\),
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).

לכן \(f'(x) = 8x^3 + 2x\).

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) = \frac{1}{4}\cdot 4x^3 = x^3\).
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).

לכן: \(f'(x) = x^3 - 1\).

נגזרת של פונקציה לינארית \(ax + b\) היא תמיד \(a\).
כאן \(a = 9\), לכן \(f'(x) = 9\) לכל \(x\).
האיבר הקבוע \(-7\) נעלם.

\(\frac{d}{dx}(5) = 0\),
\(\frac{d}{dx}(-2x) = -2\).

לכן \(f'(x) = -2\).

כלל החזקות:
\(\frac{d}{dx}(x^6) = 6x^{5}\).
שימי לב: החזקה יורדת ב-1, לא נשארת 6.

• \(\frac{d}{dx}(3x^5) = 15x^4\)
• \(\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2\)
• \(\frac{d}{dx}(2x) = 2\)

\(\frac{d}{dx}(-4x^3) = -12x^2\),
\(\frac{d}{dx}(-6x) = -6\).

לכן \(f'(x) = -12x^2 - 6\).

\(\frac{d}{dx}(0.5x^2) = 0.5 \cdot 2x = x\),
\(\frac{d}{dx}(-4x) = -4\),
הקבוע 1 נעלם.

לכן \(f'(x) = x - 4\).

\(\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3\),
\(\frac{d}{dx}(-4x^2) = -8x\).

מכאן: \(f'(x) = 4x^3 - 8x\).

• \(\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2\)
• \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\)
• \(\frac{d}{dx}(-x) = -1\)
• \(\frac{d}{dx}(5) = 0\)

\(\frac{d}{dx}(-x^4) = -4x^3\),
\(\frac{d}{dx}(4x) = 4\).

לכן: \(f'(x) = -4x^3 + 4\).

\(\frac{d}{dx}(7x^2) = 14x\).
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) = \frac{1}{3}\cdot 3x^2 = x^2\).

חיבור האיברים:
\(f'(x) = x^2 + 14x\).

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{2}x^2\right) = \frac{5}{2}\cdot 2x = 5x\).
שימי לב שה-2 במונה ובמכנה מצטמצמת.

נגזור כל איבר:
\(\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^2\right) = -\frac{1}{2}\cdot 2x = -x\),
\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).

לכן \(f'(x) = 3x^2 - x\).

\(\frac{d}{dx}(4x^4) = 16x^3\),
\(\frac{d}{dx}(-8x) = -8\),
\(\frac{d}{dx}(3) = 0\).

לכן \(f'(x) = 16x^3 - 8\).

\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\),
\(\frac{d}{dx}(6) = 0\).

מכאן \(f'(x) = 3x^2\).

\(\frac{d}{dx}(10x^2) = 20x\),
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).

לכן \(f'(x) = 20x - 1\).

\(\frac{d}{dx}(-2x^5) = -2 \cdot 5x^4 = -10x^4\),
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).

לכן \(f'(x) = -10x^4 + 2x\).