נגזרת של מכפלת

נוסחת נגזרת של מכפלה:
\([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\).

כאן \(f(x)=x+1\), \(g(x)=2x+3\).
נגזור:
\(f'(x)=1\), \(g'(x)=2\).
נחיל את הנוסחה:
\(h'(x)=1\cdot(2x+3)+(x+1)\cdot2 = 2x+3+2x+2 = 4x+5\).

נוסחה: \([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).

\(f(x)=x-2,\; g(x)=x+5\).
\(f'(x)=1,\; g'(x)=1\).
אז:
\(h'(x)=1\cdot(x+5)+(x-2)\cdot1 = x+5+x-2=2x+3\).

נוסחה: \([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).

\(f(x)=x^2,\; g(x)=3x+1\).
\(f'(x)=2x,\; g'(x)=3\).
\(h'(x)=2x(3x+1)+x^2\cdot3 = 6x^2+2x+3x^2 = 9x^2+2x\).

נוסחה: \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).

\(f(x)=2x+1,\; g(x)=x^2+1\).
\(f'(x)=2,\; g'(x)=2x\).
\(h'(x)=2(x^2+1)+(2x+1)\cdot2x = 2x^2+2+4x^2+2x = 6x^2+2x+2\).

\(f(x)=3x-1,\; g(x)=x-4\).
\(f'(x)=3,\; g'(x)=1\).
נחיל את נוסחת המכפלה:
\(h'(x)=3(x-4)+(3x-1)\cdot1=3x-12+3x-1=6x-13\).

\(f(x)=x+3,\; g(x)=x^2-1\).
\(f'(x)=1,\; g'(x)=2x\).
\(h'(x)=1\cdot(x^2-1)+(x+3)\cdot2x = x^2-1+2x^2+6x=3x^2+6x-1\).

\(f(x)=2x-5,\; g(x)=x^2\).
\(f'(x)=2,\; g'(x)=2x\).
\(h'(x)=2x^2+(2x-5)\cdot2x=2x^2+4x^2-10x=6x^2-10x\).

אפשר לראות זאת כמכפלה: \(f(x)=x-1,\; g(x)=x-1\).
אז \(f'(x)=g'(x)=1\).
\(h'(x)=1\cdot(x-1)+(x-1)\cdot1 = 2(x-1)=2x-2\).
זה מתאים גם לפתיחה \((x-1)^2=x^2-2x+1\) וגזירה רגילה.

\(f(x)=x+2,\; g(x)=4x-1\).
\(f'(x)=1,\; g'(x)=4\).
\(h'(x)=1\cdot(4x-1)+(x+2)\cdot4 = 4x-1+4x+8=8x+7\).

\(f(x)=x^2+2,\; g(x)=2x-3\).
\(f'(x)=2x,\; g'(x)=2\).
\(h'(x)=2x(2x-3)+(x^2+2)\cdot2 = 4x^2-6x+2x^2+4=6x^2-6x+4\).

\(f(x)=2x^2-3x+1,\; g(x)=x+4\).
\(f'(x)=4x-3,\; g'(x)=1\).
\(h'(x)=(4x-3)(x+4)+(2x^2-3x+1)\cdot1\).
פותחים ומפשטים ומקבלים \(6x^2+10x-11\).

כאן \(f(x)=x^2+3x,\; g(x)=x^2-1\).
\(f'(x)=2x+3,\; g'(x)=2x\).
נחשב:
\(h'(x)=(2x+3)(x^2-1)+(x^2+3x)\cdot2x\).
לאחר פתיחה וסידור מקבלים \(4x^3+9x^2-2x-3\).

\(f(x)=3x^2-2x,\; g(x)=2x-5\).
\(f'(x)=6x-2,\; g'(x)=2\).
\(h'(x)=(6x-2)(2x-5)+(3x^2-2x)\cdot2\).
לאחר פתיחה וסיכום איברים מקבלים \(18x^2-38x+10\).

\(f(x)=x^3,\; g(x)=x^2+1\).
\(f'(x)=3x^2,\; g'(x)=2x\).
\(h'(x)=3x^2(x^2+1)+x^3\cdot2x = 3x^4+3x^2+2x^4 = 5x^4+3x^2\).

\(f(x)=2x^2+1,\; g(x)=x^2-2x\).
\(f'(x)=4x,\; g'(x)=2x-2\).
\(h'(x)=4x(x^2-2x)+(2x^2+1)(2x-2)\).
לאחר חישוב מתקבל \(8x^3-12x^2+2x-2\).

\(f(x)=x^3-1,\; g(x)=x+2\).
\(f'(x)=3x^2,\; g'(x)=1\).
\(h'(x)=3x^2(x+2)+(x^3-1)\cdot1\).
פותחים:
\(3x^3+6x^2+x^3-1=4x^3+6x^2-1\).

\(f(x)=x^2+4x+4,\; g(x)=3x-1\).
\(f'(x)=2x+4,\; g'(x)=3\).
\(h'(x)=(2x+4)(3x-1)+(x^2+4x+4)\cdot3\).
אחרי פתיחה וסידור מתקבל \(9x^2+22x+8\).

\(f(x)=2x-3,\; g(x)=x^3+1\).
\(f'(x)=2,\; g'(x)=3x^2\).
\(h'(x)=2(x^3+1)+(2x-3)\cdot3x^2\).
אחרי חישוב מתקבל \(h'(x)=8x^3-9x^2+2\).

שימוש בכלל המכפלה או פתיחה: \((x^2-4)(x^2+4)=x^4-16\).
נגזרת של \(x^4-16\) היא \(4x^3\).
זו אותה תוצאה שהיינו מקבלים גם מכלל המכפלה.

\(f(x)=x^2+1,\; g(x)=x^2+2x+3\).
\(f'(x)=2x,\; g'(x)=2x+2\).
\(h'(x)=2x(x^2+2x+3)+(x^2+1)(2x+2)\).
לאחר פתיחה וסידור מתקבל \(4x^3+6x^2+8x+2\).

נוסחה: \([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).

\(f'(x)=4x-3,\; g'(x)=1\).
נחיל את הנוסחה ומקבלים \(6x^2+10x-11\).

מחשב/ים את \(f'(x)=2x+3\) ואת \(g'(x)=2x\).
מיישמים את כלל המכפלה ומפשטים – מקבלים את הביטוי הנכון.

\(f'(x)=6x-2,\; g'(x)=2\).
מציבים בכלל המכפלה, פותחים ומקבלים את הביטוי \(18x^2-38x+10\).

\(f'(x)=3x^2,\; g'(x)=2x\).
מיישמים את כלל המכפלה כמו בשאלה 14 ומקבלים את אותה תוצאה.

מחשבים \(f'(x)=4x\), \(g'(x)=2x-2\).
מיישמים את הנוסחה ומפשטים – מקבלים את הביטוי שבפתרון.

מהשאלה 16 מצאנו ש\(h'(x)=4x^3+6x^2-1\).
מציבים \(x=1\):
\(h'(1)=4\cdot1^3+6\cdot1^2-1=4+6-1=9\).

מהשאלה 17 התקבל \(h'(x)=9x^2+22x+8\).
מציבים \(x=1\):
\(h'(1)=9+22+8=39\).

מהשאלה 18: \(h'(x)=8x^3-9x^2+2\).
מציבים \(x=2\):
\(h'(2)=8\cdot8-9\cdot4+2=64-36+2=30\).

מהשאלה 19: \(h'(x)=4x^3\).
מציבים \(x=-1\):
\(h'(-1)=4\cdot(-1)^3=4\cdot(-1)=-4\).

מהשאלה 20: \(h'(x)=4x^3+6x^2+8x+2\).
מציבים \(x=2\):
\(h'(2)=4\cdot8+6\cdot4+8\cdot2+2=32+24+16+2=74\).