נגזרת של פונקצית מכפלה ומורכבת

נוסחאות:
\(\left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime} = f^{\prime}(x)\,g(x) + f(x)\,g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime} = n(f(x))^{n-1}\,f^{\prime}(x)\)

כאן \(f(x)=(3x+1)^2\), \(g(x)=x-2\).
נגזור את \(f\) בעזרת כלל הפונקציה המורכבת:
\(f^{\prime}(x)=2(3x+1)\cdot3 = 6(3x+1)\).
נגזרת \(g\): \(g^{\prime}(x)=1\).

נשתמש בכלל המכפלה:
\(h^{\prime}(x)=6(3x+1)(x-2)+(3x+1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(3x+1\):
\(h^{\prime}(x)=(3x+1)\big(6(x-2)+(3x+1)\big)=(3x+1)(9x-11)\).

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(2x-5)^3,\; g(x)=x+1\).
\(f^{\prime}(x)=3(2x-5)^2\cdot2=6(2x-5)^2\), \(g^{\prime}(x)=1\).
לכן:
\(h^{\prime}(x)=6(2x-5)^2(x+1)+(2x-5)^3\).
מוציאים גורם משותף \((2x-5)^2\):
\(h^{\prime}(x)=(2x-5)^2\big(6(x+1)+(2x-5)\big)=(2x-5)^2(8x+1)\).

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2+1)^2,\; g(x)=4x-3\).
\(f^{\prime}(x)=2(x^2+1)\cdot2x=4x(x^2+1)\), \(g^{\prime}(x)=4\).
נחשב:
\(h^{\prime}(x)=4x(x^2+1)(4x-3)+4(x^2+1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(4(x^2+1)\):
\(h^{\prime}(x)=4(x^2+1)\big(x(4x-3)+(x^2+1)\big)=4(x^2+1)(5x^2-3x+1)\).

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2-4x)^3,\; g(x)=x+2\).
נגזור את \(f\):
\(f^{\prime}(x)=3(x^2-4x)^2\cdot(2x-4)\) (נגזרת פנימית \(2x-4\)).
\(g^{\prime}(x)=1\).

לכן:
\(h^{\prime}(x)=3(x^2-4x)^2(2x-4)(x+2)+(x^2-4x)^3\).
מוציאים גורם משותף \((x^2-4x)^2\) ומקבלים את הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(3x^2+1)^2,\; g(x)=2x-1\).
\(f^{\prime}(x)=2(3x^2+1)\cdot6x=12x(3x^2+1)\), \(g^{\prime}(x)=2\).
נחשב:
\(h^{\prime}(x)=12x(3x^2+1)(2x-1)+2(3x^2+1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(2(3x^2+1)\) ומפשטים – מתקבל הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x+2)^4,\; g(x)=2x-3\).
\(f^{\prime}(x)=4(x+2)^3\), \(g^{\prime}(x)=2\).
\(h^{\prime}(x)=4(x+2)^3(2x-3)+2(x+2)^4\).
מוציאים גורם משותף \(2(x+2)^3\):
\(h^{\prime}(x)=2(x+2)^3\big(2(2x-3)+(x+2)\big)=2(x+2)^3(5x-4)\).

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(2x-1)^2,\; g(x)=(5x+4)^2\).
\(f^{\prime}(x)=2(2x-1)\cdot2=4(2x-1)\),
\(g^{\prime}(x)=2(5x+4)\cdot5=10(5x+4)\).
לכן:
\(h^{\prime}(x)=4(2x-1)(5x+4)^2+10(5x+4)(2x-1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(2(2x-1)(5x+4)\) ומקבלים את הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2+3)^3,\; g(x)=1-2x\).
\(f^{\prime}(x)=3(x^2+3)^2\cdot2x=6x(x^2+3)^2\), \(g^{\prime}(x)=-2\).
\(h^{\prime}(x)=6x(x^2+3)^2(1-2x)-2(x^2+3)^3\).
מוציאים גורם משותף \((x^2+3)^2\) ומפשטים – מתקבל הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^3-1)^2,\; g(x)=x^2+2\).
\(f^{\prime}(x)=2(x^3-1)\cdot3x^2=6x^2(x^3-1)\), \(g^{\prime}(x)=2x\).
\(h^{\prime}(x)=6x^2(x^3-1)(x^2+2)+2x(x^3-1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(2x(x^3-1)\) ומפשטים – מתקבל הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2-1)^2,\; g(x)=(x^2+1)^2\).
\(f^{\prime}(x)=2(x^2-1)\cdot2x=4x(x^2-1)\),
\(g^{\prime}(x)=2(x^2+1)\cdot2x=4x(x^2+1)\).
\(h^{\prime}(x)=4x(x^2-1)(x^2+1)^2+4x(x^2+1)(x^2-1)^2\).
מוציאים גורם משותף \(4x(x^2-1)(x^2+1)\):
\(h^{\prime}(x)=4x(x^2-1)(x^2+1)\big[(x^2+1)+(x^2-1)\big]=8x^3(x^2-1)(x^2+1)\).

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2+4x+5)^3,\; g(x)=x-1\).
\(f^{\prime}(x)=3(x^2+4x+5)^2\cdot(2x+4)=6(x+2)(x^2+4x+5)^2\), \(g^{\prime}(x)=1\).
\(h^{\prime}(x)=6(x+2)(x^2+4x+5)^2(x-1)+(x^2+4x+5)^3\).
מוציאים גורם משותף \((x^2+4x+5)^2\) – ומקבלים את התוצאה שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(2x^2-3x)^2,\; g(x)=3x-2\).
\(f^{\prime}(x)=2(2x^2-3x)\cdot(4x-3)\), \(g^{\prime}(x)=3\).
\(h^{\prime}(x)=2(2x^2-3x)(4x-3)(3x-2)+3(2x^2-3x)^2\).
מוציאים גורם משותף \((2x^2-3x)\) ומקבלים את הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^2+2x)^4,\; g(x)=x+1\).
\(f^{\prime}(x)=4(x^2+2x)^3\cdot(2x+2)=8(x+1)(x^2+2x)^3\), \(g^{\prime}(x)=1\).
\(h^{\prime}(x)=8(x+1)(x^2+2x)^3(x+1)+(x^2+2x)^4\).
מוציאים גורם משותף \((x^2+2x)^3\) ומקבלים את התוצאה שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(1-x)^3,\; g(x)=(x^2+1)^2\).
\(f^{\prime}(x)=3(1-x)^2\cdot(-1)=-3(1-x)^2\),
\(g^{\prime}(x)=2(x^2+1)\cdot2x=4x(x^2+1)\).
\(h^{\prime}(x)=-3(1-x)^2(x^2+1)^2+4x(1-x)^3(x^2+1)\).
מוציאים גורם משותף \((1-x)^2(x^2+1)\) ומפשטים – מקבלים את הביטוי שבפתרון.

נוסחאות:
\(\left[f(x)g(x)\right]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)
\(\left((f(x))^n\right)^{\prime}=n(f(x))^{n-1}f^{\prime}(x)\)

\(f(x)=(x^3+2x)^2,\; g(x)=(2x+5)^3\).
\(f^{\prime}(x)=2(x^3+2x)(3x^2+2)\),
\(g^{\prime}(x)=3(2x+5)^2\cdot2=6(2x+5)^2\).
\(h^{\prime}(x)=2(x^3+2x)(3x^2+2)(2x+5)^3+6(2x+5)^2(x^3+2x)^2\).
מוציאים גורם משותף \(2(x^3+2x)(2x+5)^2\) – ומתקבל הביטוי שבפתרון.