💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת הנגזרת 📊
f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4

שלב 2: מציאת נקודות חשודות כקיצון 🔍
f'(x) = 0
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

שלב 3: חישוב ערך הפונקציה 📍
f(2) = 2² - 4·2 + 3
f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

הנקודה החשודה: \((2, -1)\)

שלב 4: סיווג הנקודה - שיטת הנגזרת השנייה ⭐
f''(x) = 2
f''(2) = 2 > 0

→ זהו מינימום!

שלב 5: טבלת סימנים מפורטת 📋

שלב 6: הסבר הטבלה 💭
בחירת נקודות בדיקה:
• נבדוק x = 0 (משמאל ל-2): f'(0) = -4 < 0 ✓
• נבדוק x = 3 (מימין ל-2): f'(3) = 2 > 0 ✓

מסקנות:
• x < 2: f'(x) < 0 → הפונקציה יורדת ↘
• x = 2: f'(x) = 0 → נקודת קיצון
• x > 2: f'(x) > 0 → הפונקציה עולה ↗

מעבר מירידה לעלייה → מינימום!

שלב 7: תחומי עליה וירידה 📈
• תחום ירידה: (-∞, 2)
• תחום עלייה: (2, +∞)
• נקודת מינימום: \((2, -1)\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• מקסימום: הנגזרת השנייה חיובית, לא שלילית
• x = 4: זה לא פתרון המשוואה f'(x) = 0
• f(4) = 3: ערך שגוי, f(2) = -1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f(x) = -x² + 6x - 5
f'(x) = -2x + 6

שלב 2: מציאת חשוד כקיצון 🔍
f'(x) = 0
-2x + 6 = 0
x = 3

שלב 3: ערך הפונקציה 📍
f(3) = -9 + 18 - 5 = 4
הנקודה: \((3, 4)\)

שלב 4: סיווג - נגזרת שנייה ⭐
f''(x) = -2
f''(3) = -2 < 0

→ זהו מקסימום!

שלב 5: טבלת סימנים 📋

שלב 6: הסבר הטבלה 💭
בדיקת נקודות:
• x = 0: f'(0) = 6 > 0 → עולה
• x = 4: f'(4) = -2 < 0 → יורדת

מעבר מעלייה לירידה → מקסימום!

שלב 7: תחומי עליה וירידה 📈
• תחום עלייה: (-∞, 3)
• תחום ירידה: (3, +∞)
• נקודת מקסימום: \((3, 4)\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• מינימום: פרבולה הפוכה לא יכולה להיות בעלת מינימום
• x = 6: לא פתרון של f'(x) = 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f(x) = x³ - 3x + 2
f'(x) = 3x² - 3

שלב 2: מציאת חשודים 🔍
f'(x) = 0
3x² - 3 = 0
x² = 1
x = ±1

שני חשודים: x = -1 ו-x = 1

שלב 3: חישוב ערכי הפונקציה 📍
ב-x = -1:
f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 2
f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4
נקודה: \((-1, 4)\)

ב-x = 1:
f(1) = 1³ - 3·1 + 2
f(1) = 1 - 3 + 2 = 0
נקודה: \((1, 0)\)

שלב 4: סיווג הנקודות - נגזרת שנייה ⭐
f''(x) = 6x

ב-x = -1:
f''(-1) = -6 < 0 → מקסימום

ב-x = 1:
f''(1) = 6 > 0 → מינימום

שלב 5: טבלת סימנים מפורטת 📋

שלב 6: הסבר הטבלה 💭
בדיקת נקודות:
• x = -2: f'(-2) = 9 > 0 → עולה
• x = 0: f'(0) = -3 < 0 → יורדת
• x = 2: f'(2) = 9 > 0 → עולה

מסקנות:
1. (-∞, -1): עולה → מגיעים למקסימום
2. (-1, 1): יורדת → יורדים מהמקסימום למינימום
3. (1, +∞): עולה → עולים מהמינימום

שלב 7: תחומי עליה וירידה 📈
• תחומי עלייה: (-∞, -1) ∪ (1, +∞)
• תחום ירידה: (-1, 1)
• מקסימום מקומי: \((-1, 4)\)
• מינימום מקומי: \((1, 0)\)

שלב 8: צורת הגרף 📊
פונקציה מעוקבת אופיינית בצורת "S":
• עולה → מקסימום → יורדת → מינימום → עולה

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• נקודה אחת: יש שתי נקודות קיצון
• שלוש נקודות: מעוקבת יכולה להיות בעלת מקסימום 2 קיצונים
• אין קיצונים: מצאנו 2 קיצונים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי סוג הפונקציה 🎯
f(x) = -2x + 5
זוהי פונקציה לינארית (קו ישר)!

שלב 2: גזירה 📐
f(x) = -2x + 5
f'(x) = -2

שלב 3: ניתוח הנגזרת 🔍
f'(x) = -2 < 0 לכל x

הנגזרת שלילית תמיד!
→ הפונקציה יורדת בכל התחום!

שלב 4: מציאת נקודות קיצון ⭐
f'(x) = 0?
-2 = 0 ✗

אין פתרון! אין נקודות קיצון.

שלב 5: טבלת סימנים 📋

שלב 6: הבנת המשמעות 💭
פונקציה לינארית עם שיפוע שלילי:
• אין נקודות קיצון
• אין שינוי בכיוון
• יורדת מונוטונית בכל התחום

שלב 7: תחומי עליה וירידה 📈
• תחום עלייה: ∅ (קבוצה ריקה)
• תחום ירידה: (-∞, +∞) - כל התחום!
• נקודות קיצון: אין

שלב 8: כלל כללי 📊
לכל פונקציה f(x) = mx + b:
• אם m > 0 → עולה בכל מקום
• אם m < 0 → יורדת בכל מקום ✓
• אם m = 0 → קבועה (לא עולה ולא יורדת)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• (-∞, +∞): זה תחום הירידה, לא העלייה
• (0, +∞): הפונקציה יורדת גם שם
• (-∞, 5): הפונקציה יורדת בכל מקום, לא רק שם

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f(x) = x³
f'(x) = 3x²

שלב 2: מציאת חשודים 🔍
f'(x) = 0
3x² = 0
x = 0

חשוד אחד: x = 0

שלב 3: ערך הפונקציה 📍
f(0) = 0³ = 0
הנקודה: \((0, 0)\)

שלב 4: סיווג - נגזרת שנייה ⭐
f''(x) = 6x
f''(0) = 0

מבחן הנגזרת השנייה לא מכריע! 🤔

שלב 5: טבלת סימנים - הכרחית כאן! 📋

שלב 6: הסבר הטבלה 💭
בדיקת נקודות:
• x = -1: f'(-1) = 3·1 = 3 > 0 → עולה
• x = 1: f'(1) = 3·1 = 3 > 0 → עולה

מסקנה חשובה! ⭐
הנגזרת חיובית משני צדדי 0!
אין שינוי סימן → לא קיצון!
זוהי נקודת פיתול.

שלב 7: תחומי עליה וירידה 📈
• תחום עלייה: (-∞, +∞) - כל התחום!
• תחום ירידה: ∅ (אין)
• נקודות קיצון: אין
• נקודת פיתול: \((0, 0)\)

שלב 8: מה זו נקודת פיתול? 🔄
נקודה שבה הנגזרת = 0 אבל אין שינוי סימן.
הפונקציה ממשיכה עולה/יורדת.
יש שינוי בקעירות (אבל זה מעבר לרמה זו).

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• (0, +∞): הפונקציה עולה גם ב-x < 0
• (-∞, 0): הפונקציה עולה גם ב-x > 0
• מינימום ב-0: אין קיצון, זו נקודת פיתול

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 4x + 8

שלב 2: חשוד כקיצון 🔍
4x + 8 = 0 → x = -2

שלב 3: טבלת סימנים 📋

תחומים:
• ירידה: (-∞, -2)
• עלייה: (-2, +∞)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 3x² - 12

שלב 2: חשודים 🔍
3x² - 12 = 0
x² = 4
x = ±2

שלב 3: ערכי הפונקציה 📍
f(-2) = -8 + 24 = 16
f(2) = 8 - 24 = -16

שלב 4: סיווג ⭐
f''(x) = 6x
f''(-2) = -12 < 0 → מקס
f''(2) = 12 > 0 → מינ

שלב 5: טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = -6x + 12

שלב 2: חשוד 🔍
-6x + 12 = 0 → x = 2
f(2) = -12 + 24 - 7 = 5

שלב 3: סיווג ⭐
f''(x) = -6 < 0 → מקסימום

שלב 4: טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

שלב 2: חשודים 🔍
3x(x + 2) = 0
x = 0 או x = -2

שלב 3: טבלה 📋

תחום עלייה: (-∞, -2) ∪ (0, +∞)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 2x - 6

שלב 2: חשוד 🔍
2x - 6 = 0 → x = 3
f(3) = 9 - 18 + 13 = 4

שלב 3: סיווג ⭐
f''(x) = 2 > 0 → מינימום
הערך המינימלי: 4

שלב 4: טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2)

שלב 2: חשודים 🔍
4x(x² - 2) = 0
x = 0 או x² = 2
x ∈ {-√2, 0, √2}

שלב 3: ערכים 📍
f(0) = 0
f(±√2) = 4 - 8 = -4

שלב 4: טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = -3x² + 3

שלב 2: חשודים 🔍
-3x² + 3 = 0
x² = 1
x = ±1

שלב 3: טבלה 📋

תחום ירידה: (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 3x² - 18x + 24 = 3(x² - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)

שלב 2: חשודים 🔍
x = 2 או x = 4

שלב 3: טבלה 📋

מקסימום מקומי ב-\(x = 2\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = -2x + 4

שלב 2: חשוד 🔍
-2x + 4 = 0 → x = 2
f(2) = -4 + 8 + 5 = 9

שלב 3: סיווג ⭐
f''(x) = -2 < 0 → מקסימום

טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: גזירה 📐
f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)

שלב 2: חשודים 🔍
x = 1 או x = 3
f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1

שלב 3: טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

גזירה: f'(x) = 6x - 12
חשוד: x = 2

טבלה 📋

תחום ירידה: (-∞, 2)

💡 הסבר מפורט:

גזירה: f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)

חשודים: x = -1, x = 3
f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 (מקס)
f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 (מינ)

טבלה 📋

💡 הסבר מפורט:

גזירה: f'(x) = 4x³

חשוד: 4x³ = 0 → x = 0
f(0) = 0

טבלה 📋

מעבר מ-ירידה לעלייה → מינימום
זהו גם מינימום גלובלי כי f(x) ≥ 0 לכל x

💡 הסבר מפורט:

גזירה: f'(x) = 3x² - 12x = 3x(x - 4)

חשודים: x = 0, x = 4

טבלה 📋

תחומי עלייה: (-∞, 0) ∪ (4, +∞)

💡 הסבר מפורט:

גזירה: f'(x) = -2x

חשוד: -2x = 0 → x = 0
f(0) = 4

סיווג: f''(x) = -2 < 0 → מקסימום

טבלה 📋

זהו מקסימום גלובלי כי f(x) = 4 - x² ≤ 4 לכל x