פונקציה זוגית / אי זוגית / לא ולא

בדיקה:
נחשב \(f(-x)\):
\(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\).

לפי ההגדרה:
אם לכל \(x\) מתקיים \(f(-x)=f(x)\), הפונקציה זוגית.
כאן קיבלנו בדיוק את אותו ביטוי, לכן הפונקציה זוגית.

פרשנות גרפית: הגרף סימטרי ביחס לציר \(y\).

בדיקה:
\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\).

אם לכל \(x\) מתקיים \(f(-x)=-f(x)\), הפונקציה אי-זוגית.
כאן זה מתקיים ולכן הפונקציה אי-זוגית.

פרשנות גרפית: הגרף סימטרי לנקודת הראשית, כלומר סיבוב של 180° סביב (0,0) משאיר אותו זהה.

בדיקה:
\(f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x)\).
קיבלנו ש\(f(-x)=f(x)\) לכל \(x\), לכן הפונקציה זוגית.

חיבור קבוע (3) אינו משנה את הזוגיות כי הוא מופיע גם ב\(f(x)\) וגם ב\(f(-x)\) באותה צורה.

\(f(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1\).
זה אינו שווה ל\(f(x)=x^3+1\), וגם אינו שווה ל\(-f(x)=-(x^3+1)=-x^3-1\).

לכן הפונקציה אינה מקיימת את תנאי הזוגיות ואינה מקיימת את תנאי האי-זוגיות – היא לא ולא.

נחשב:
\(f(-x)=2(-x)^5-(-x)=-2x^5+x = -(2x^5-x)=-f(x)\).

שתי האיברים הם חזקות אי-זוגיות של \(x\), ולכן כל הביטוי מתהפך בסימן כאשר מחליפים \(x\) ב\(-x\).
מתקיים \(f(-x)=-f(x)\), לכן הפונקציה אי-זוגית.

\(f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)\) לכל \(x\neq 0\).

לכן הפונקציה מקיימת את תנאי האי-זוגיות: \(f(-x)=-f(x)\) על התחום שלה, והיא אי-זוגית.

\(f(-x)=(-x)^4-(-x)^2=x^4-x^2=f(x)\).
שני האיברים הם חזקות זוגיות של \(x\), ולכן אינם משתנים בהצבת \(-x\).
מתקיים \(f(-x)=f(x)\), ולכן הפונקציה זוגית.

נחשב:
\(f(-x)=(-x)^3-(-x)^2=-x^3-x^2\).
זה לא שווה ל\(f(x)=x^3-x^2\), וגם לא שווה ל\(-f(x)=-(x^3-x^2)=-x^3+x^2\).

איבר אחד (קובייתי) מתהפך בסימן ואיבר אחד (ריבועי) לא, ולכן המצב הוא מעורב. הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

על פי הגדרת ערך מוחלט:
\(f(-x)=|-x|=|x|=f(x)\) לכל \(x\).

לכן הפונקציה זוגית – ערך ה־\(y\) תלוי רק במרחק מהאפס, לא בכיוון (ימין/שמאל).

נחשב:
\(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)\).
מתקיים \(f(-x)=-f(x)\) לכל \(x\), ולכן הפונקציה אי-זוגית.

גם כאן אפשר לראות שהגרף סימטרי לנקודת הראשית: אם הופכים גם את \(x\) וגם את \(y\) מקבלים נקודה על אותו גרף.

\(f(-x)=3(-x)-2=-3x-2\).
לא מתקבל \(f(x)\) (כי שם מופיע \(3x-2\)), וגם לא מתקבל \(-f(x)=-3x+2\) (שונה בסימן הקבוע).

לכן הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית.

\(f(-x)=(-x)^6+1=x^6+1=f(x)\).
שוב, כל החזקות זוגיות ולכן אינן מושפעות מהחלפת \(x\) ב\(-x\).
מתקיים \(f(-x)=f(x)\) ולכן הפונקציה זוגית.

\(f(-x)=(-x)^5-(-x)^3=-x^5+x^3=-(x^5-x^3)=-f(x)\).
שני האיברים הם חזקות אי-זוגיות ולכן כולם מתהפכים בסימן ביחד – מתקבלת אי-זוגיות.

נחשב:
\(f(-x)=2(-x)^2+5(-x)=2x^2-5x\).
זה אינו שווה ל\(f(x)=2x^2+5x\), וגם לא ל\(-f(x)=-2x^2-5x\).
איבר ריבועי (זוגי) ואיבר ליניארי (אי-זוגי) מעורבים יחד ולכן הפונקציה לא ולא.

נחשב:
\(f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)\).
הביטוי בתוך השורש הוא זוגי, והשורש עצמו מייצר ערכים חיוביים בלבד אך זהה לשני הצדדים.
לכן הפונקציה זוגית.

מזהים את הזהות הטריגונומטרית:
\(\sin(-x)=-\sin(x)\).
כלומר \(f(-x)=-f(x)\) לכל \(x\), ולכן הפונקציה אי-זוגית.

ידוע ש\(\cos(-x)=\cos(x)\).
לכן \(f(-x)=f(x)\) לכל \(x\), ומכאן שהפונקציה זוגית.

\(f(-x)=\sin(-x)+\cos(-x)=-\sin(x)+\cos(x)\).
זה אינו שווה ל\(f(x)=\sin(x)+\cos(x)\), וגם לא ל\(-f(x)=-\sin(x)-\cos(x)\).
לכן הפונקציה היא לא ולא – סכום של פונקציה זוגית (קוסינוס) ופונקציה אי-זוגית (סינוס).

\(f(-x)=(-x)^7+(-x)=-x^7-x=-(x^7+x)=-f(x)\).
כלומר שני האיברים בעלי חזקה אי-זוגית, וכל הביטוי מתהפך בסימן – הפונקציה אי-זוגית.

\(f(-x)=(-x)^8-(-x)^4=x^8-x^4=f(x)\).
כל החזקות זוגיות, ולכן הפונקציה זוגית.

\(f(-x)=|-x|+(-x)^2=|x|+x^2=f(x)\).
שני האיברים זוגיים (ערך מוחלט וריבוע), ולכן הסכום זוגי.

\(f(-x)=|-x|-(-x)=|x|+x\).
זה אינו שווה ל\(f(x)=|x|-x\), וגם לא ל\(-f(x)=-|x|+x\).
איבר אחד זוגי והשני אי-זוגי ולכן השילוב נותן פונקציה שאינה זוגית ואינה אי-זוגית.

\(f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x}{x^2+1}=-\dfrac{x}{x^2+1}=-f(x)\).
המונה מתהפך בסימן, המכנה זוגי ולכן אינו משתנה.
מתקיים \(f(-x)=-f(x)\), ולכן הפונקציה אי-זוגית.

\(f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2+1}=\dfrac{1}{x^2+1}=f(x)\).
הביטוי במכנה הוא זוגי ולכן גם כל השבר זוגי – הפונקציה זוגית.

\(f(-x)=(-x)^3+2(-x)^2=-x^3+2x^2\).
לא שווה ל\(f(x)\) וגם לא שווה ל\(-f(x)=-x^3-2x^2\).
שוב, ערבוב של איבר אי-זוגי (קובייה) ואיבר זוגי (ריבוע) נותן פונקציה לא ולא.

\(f(-x)=5(-x)^3-(-x)=-5x^3+x=-(5x^3-x)=-f(x)\).
שני האיברים הם חזקות אי-זוגיות ולכן מתקבלת אי-זוגיות.

\(f(-x)=7(-x)^4+9(-x)^2=7x^4+9x^2=f(x)\).
חזקות זוגיות בלבד ⇒ הפונקציה זוגית.

\(f(-x)=(-x)^3+1-(-x)=-x^3+1+x\).
לא שווה ל\(f(x)=x^3+1-x\), ולא שווה ל\(-f(x)=-x^3-1+x\).
לכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

\(f(-x)=(-x)^6-3(-x)^2+(-x)=x^6-3x^2-x\).
זה אינו שווה ל\(f(x)\) ואינו שווה ל\(-f(x)=-x^6+3x^2-x\).
יש כאן תערובת של חזקות זוגיות ואי-זוגיות ולכן הפונקציה לא ולא.

נחשב:
\(f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{|-x|}=\dfrac{-x^3}{|x|}=-\dfrac{x^3}{|x|}=-f(x)\) לכל \(x\neq 0\).

לכן מתקיים \(f(-x)=-f(x)\) על תחום ההגדרה, והפונקציה אי-זוגית.