פיתול ותחומי קעירות כלפי מטה ומעלה

💡 הסבר מפורט:

הגדרה: נקודת פיתול 🔄
נקודת פיתול היא נקודה שבה משתנה קעירות הפונקציה.

מה זה אומר? 📊
• הגרף עובר מקעור כלפי מעלה (∪) לקעור כלפי מטה (∩)
• או להיפך: מקעור כלפי מטה (∩) לקעור כלפי מעלה (∪)

איך מזהים נקודת פיתול? 🔍
1. מוצאים נקודות שבהן f''(x) = 0 או לא מוגדרת
2. בודקים אם יש שינוי סימן של f''(x)
3. אם יש שינוי סימן → זו נקודת פיתול!

דוגמה פשוטה 📝
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x

ב-x = 0:
• f''(x) משנה סימן מ-שלילי לחיובי
• לכן \((0, 0)\) היא נקודת פיתול

ההבדל מנקודת קיצון ⭐
נקודת קיצון:
• f'(x) = 0 ויש שינוי סימן של f'(x)
• זו נקודת מינימום/מקסימום

נקודת פיתול:
• f''(x) = 0 ויש שינוי סימן של f''(x)
• זו נקודת שינוי קעירות

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "הנגזרת הראשונה = 0": זה תנאי לקיצון, לא לפיתול
• "מינימום או מקסימום": אלו נקודות קיצון, לא פיתול
• "חותכת את ציר X": זה שורש, לא קשור לפיתול

💡 הסבר מפורט:

קעירות כלפי מעלה ∪ 📊
פונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר:
f''(x) > 0

איך זה נראה? 👀
הגרף נראה כמו "קערה" או האות U:
∪
• פתוח כלפי מעלה
• "מחזיק מים"

מה קורה בפונקציה? 📈
כאשר f''(x) > 0:
• השיפוע (f'(x)) גדל
• אם הפונקציה יורדת → היא יורדת לאט יותר
• אם הפונקציה עולה → היא עולה מהר יותר

דוגמה: f(x) = x² 🔢
f'(x) = 2x
f''(x) = 2 > 0 תמיד!

הפרבולה x² קעורה כלפי מעלה בכל התחום:
∪

דוגמה נוספת 📝
f(x) = x³ בתחום x > 0:
f''(x) = 6x > 0
→ קעירות כלפי מעלה

הקשר לנקודת פיתול 🔄
אם f''(x) משנה סימן מחיובי לשלילי:
• עוברים מקעירות כלפי מעלה ∪
• לקעירות כלפי מטה ∩
• זו נקודת פיתול!

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "f'(x) > 0": זה אומר שהפונקציה עולה, לא על קעירות
• "הפונקציה עולה": אפשר להיות עולה וקעורה כלפי מטה
• "הפונקציה שלילית": לא קשור לקעירות

💡 הסבר מפורט:

קעירות כלפי מטה ∩ 📊
פונקציה קעורה כלפי מטה כאשר:
f''(x) < 0

איך זה נראה? 👀
הגרף נראה כמו "כיפה" או האות n הפוכה:
∩
• פתוח כלפי מטה
• "שופך מים"

מה קורה בפונקציה? 📉
כאשר f''(x) < 0:
• השיפוע (f'(x)) קטן (פוחת)
• אם הפונקציה עולה → היא עולה לאט יותר
• אם הפונקציה יורדת → היא יורדת מהר יותר

דוגמה: f(x) = -x² 🔢
f'(x) = -2x
f''(x) = -2 < 0 תמיד!

הפרבולה -x² קעורה כלפי מטה בכל התחום:
∩

דוגמה נוספת 📝
f(x) = x³ בתחום x < 0:
f''(x) = 6x < 0 (כי x שלילי)
→ קעירות כלפי מטה

סיכום קעירויות 📋
• f''(x) > 0 → ∪ קעירות כלפי מעלה
• f''(x) < 0 → ∩ קעירות כלפי מטה
• f''(x) משנה סימן → 🔄 נקודת פיתול

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "f'(x) < 0": זה אומר שהפונקציה יורדת
• "הפונקציה יורדת": אפשר לרדת בקעירות כלפי מעלה
• "נקודת מקסימום": לא בהכרח קשור לקעירות

💡 הסבר מפורט:

תנאי לנקודת פיתול ⭐
התנאי ההכרחי: f''(x) משנה סימן

התהליך המלא 📋
1. מוצאים נקודות חשודות: f''(x) = 0
2. בודקים שינוי סימן של f''(x)
3. אם יש שינוי סימן → נקודת פיתול! ✓

דוגמה: יש נקודת פיתול 🔢
f(x) = x³
f''(x) = 6x

ב-x = 0:
• משמאל (x < 0): f''(x) < 0
• מימין (x > 0): f''(x) > 0
• יש שינוי סימן → נקודת פיתול! ✓

דוגמה: אין נקודת פיתול ❌
f(x) = x⁴
f''(x) = 12x²

ב-x = 0:
• f''(0) = 0
• אבל משני הצדדים: f''(x) > 0
• אין שינוי סימן → אין פיתול! ❌

למה f''(x) = 0 לבד לא מספיק? 💭
f''(x) = 0 זה רק חשוד!
צריך גם שינוי סימן.

אנלוגיה לקיצונים:
• קיצון: f'(x) = 0 + שינוי סימן של f'(x)
• פיתול: f''(x) = 0 + שינוי סימן של f''(x)

טבלת השוואה 📊

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "f'(x) = 0": זה תנאי לחשוד כקיצון
• "f''(x) = 0": זה רק חשוד, לא מספיק
• "הפונקציה = 0": זה שורש, לא פיתול

💡 הסבר מפורט:

התשובה: לא! ❌
f''(x) = 0 זה רק תנאי הכרחי, לא מספיק!
צריך גם שינוי סימן.

דוגמה נגדית 1: f(x) = x⁴ 🔢
f'(x) = 4x³
f''(x) = 12x²

ב-x = 0:
• f''(0) = 0 ✓
• אבל: f''(x) = 12x² ≥ 0 לכל x
• אין שינוי סימן → אין פיתול!

למעשה, זו נקודת מינימום!

דוגמה נגדית 2: f(x) = -x⁴ 🔢
f''(x) = -12x²

ב-x = 0:
• f''(0) = 0 ✓
• אבל: f''(x) ≤ 0 לכל x
• אין שינוי סימן → אין פיתול!

זו נקודת מקסימום!

דוגמה חיובית: f(x) = x³ ✓
f''(x) = 6x

ב-x = 0:
• f''(0) = 0 ✓
• משמאל: f''(x) < 0
• מימין: f''(x) > 0
• יש שינוי סימן → יש פיתול! ✓

הכלל הזהב 📋
נקודת פיתול דורשת שני תנאים:
1. f''(x₀) = 0 (חשוד)
2. f''(x) משנה סימן ב-x₀ (אישור)

איך בודקים שינוי סימן? 🔍
• נבחר נקודה משמאל ל-x₀
• נבחר נקודה מימין ל-x₀
• נבדוק את סימן f''(x) בשתיהן
• אם שונה → יש פיתול!

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "כן תמיד": ראינו דוגמאות נגדיות
• "צריך f'(x) = 0": זה לקיצון, לא לפיתול
• "תלוי בעלייה/ירידה": לא רלוונטי

💡 הסבר מפורט:

התשובה: כן, במקרים נדירים! 🌟

הדוגמה הקלאסית: f(x) = x³ 🔢
בנקודה x = 0:

בדיקה לקיצון:
• f'(0) = 0 ✓
• שינוי סימן של f'(x)? בואו נבדוק:
- x = -1: f'(-1) = 3 > 0
- x = 1: f'(1) = 3 > 0
• אין שינוי סימן → אין קיצון ❌

בדיקה לפיתול:
• f''(0) = 0 ✓
• שינוי סימן של f''(x)? בואו נבדוק:
- x = -1: f''(-1) = -6 < 0
- x = 1: f''(1) = 6 > 0
• יש שינוי סימן → יש פיתול ✓

אז במקרה הזה: 📊
• זו נקודת פיתול ✓
• אבל לא נקודת קיצון ❌

מתי זה יכול לקרות ביחד? 🤔
במקרים מאוד מיוחדים, כמו:
f(x) = x⁵

ב-x = 0:
• f'(0) = 0 ו-f''(0) = 0
• יש שינוי סימן לשניהם
• אבל זה נדיר מאוד!

בדרך כלל 📋
• נקודת קיצון: f'(x) משנה סימן, f''(x) לא 0
• נקודת פיתול: f''(x) משנה סימן, f'(x) לא 0
• הן נפרדות ברוב המקרים

חריגים מעניינים 🌟
פונקציות מהצורה f(x) = x^n כאשר n אי-זוגי:
• f(x) = x³ → פיתול ב-0
• f(x) = x⁵ → פיתול ב-0
• f(x) = x⁷ → פיתול ב-0

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "לא אף פעם": יש מקרים חריגים
• "כן תמיד": רוב הפיתולים אינם קיצונים
• "רק במעוקבת": יכול להיות גם בחזקות גבוהות יותר

💡 הסבר מפורט:

משמעות גרפית של נקודת פיתול 🎨
הגרף משנה את כיוון הקעירות!

מה זה אומר? 👀
הגרף עובר ממצב אחד למצב אחר:
• מקעור כלפי מעלה ∪ לקעור כלפי מטה ∩
• או להיפך: מ-∩ ל-∪

דוגמה ויזואלית: f(x) = x³ 📊
נראה מה קורה ב-\((0, 0)\):

משמאל (x < 0):
• f''(x) = 6x < 0
• קעירות כלפי מטה: ∩
• הגרף "כיפה"

בנקודת הפיתול (x = 0):
• המעבר קורה כאן! 🔄

מימין (x > 0):
• f''(x) = 6x > 0
• קעירות כלפי מעלה: ∪
• הגרף "קערה"

איך זה נראה? 🖼️
הגרף של x³ עובר מצורת ∩ לצורת ∪:
```
∩ ← כאן כיפה
/ \
/ \
\
\ ← כאן הפיתול (0,0)
\
∪ ← כאן קערה
```

סימן מזהה לפיתול 🔍
אם הגרף נראה כמו אות S:
• זה סימן לנקודת פיתול באמצע!
• הצורה משתנה מ-∩ ל-∪ (או להיפך)

ההבדל מקיצון ⭐
בקיצון:
• הכיוון משתנה (מעלייה לירידה או להיפך)
• יש "פינה" או נקודת שיא

בפיתול:
• הקעירות משתנה (מ-∪ ל-∩ או להיפך)
• אין "פינה", זה חלק יותר

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "מעלייה לירידה": זה קיצון, לא פיתול
• "חותך ציר X": זה שורש
• "מקסימום/מינימום": אלו קיצונים

💡 הסבר מפורט:

התשובה: אפס נקודות פיתול! 🎯

הוכחה מתמטית 📐
f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a = קבוע!

מה זה אומר? 💭
הנגזרת השנייה היא קבוע:
• אם a > 0: f''(x) = 2a > 0 תמיד
• אם a < 0: f''(x) = 2a < 0 תמיד
• אין שינוי סימן!
• לכן: אין נקודות פיתול

משמעות גרפית 📊
אם a > 0:
• פרבולה פתוחה כלפי מעלה: ∪
• קעירות כלפי מעלה בכל מקום
• לא משתנה → אין פיתול

אם a < 0:
• פרבולה פתוחה כלפי מטה: ∩
• קעירות כלפי מטה בכל מקום
• לא משתנה → אין פיתול

דוגמאות ספציפיות 🔢
f(x) = x²:
• f''(x) = 2 > 0 תמיד
• קעירות ∪ בכל מקום
• אין פיתול

f(x) = -x² + 3x - 5:
• f''(x) = -2 < 0 תמיד
• קעירות ∩ בכל מקום
• אין פיתול

אז מתי יש פיתולים? 🤔
צריך לפחות חזקה 3!

• ריבועית (n=2): אין פיתולים
• מעוקבת (n=3): עד נקודת פיתול אחת
• רביעית (n=4): עד שתי נקודות פיתול
• כלל: פולינום מדרגה n → עד (n-2) פיתולים

סיכום חשוב ⭐
פונקציה ריבועית:
• יש נקודת קיצון אחת (קודקוד) ✓
• אין נקודות פיתול ❌
• הקעירות קבועה לאורך כל הפונקציה

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "נקודת פיתול אחת": הנגזרת השנייה קבועה
• "שתי נקודות": זה אפילו יותר בלתי אפשרי
• "תלוי ב-a,b,c": לא משנה הערכים, אין פיתול

💡 הסבר מפורט:

המצב: 📊
• פונקציה עולה: f'(x) > 0
• קעורה כלפי מעלה: f''(x) > 0

מה זה אומר על השיפוע? 📈
כאשר f''(x) > 0:
• הנגזרת f'(x) גדלה
• השיפוע גדל
• הפונקציה עולה מהר יותר ויותר!

דוגמה: f(x) = x² בתחום x > 0 🔢
• f'(x) = 2x > 0 → עולה ✓
• f''(x) = 2 > 0 → קעורה כלפי מעלה ✓

מה קורה לשיפוע?
• ב-x = 1: שיפוע = 2
• ב-x = 2: שיפוע = 4
• ב-x = 3: שיפוע = 6
• השיפוע גדל! ✓

ויזואליזציה 🎨
תארו לעצמכם סקייטבורד על רמפה:
```
↗↗↗ ← כאן מהיר מאוד!
↗↗
↗ ← כאן מהיר
↗
↗ ← כאן אטי
```
ככל שעולים, מאיצים!

הקשר בין f', f'' והשיפוע 📋
f''(x) מודדת איך f'(x) משתנה:
• f''(x) > 0 → f'(x) גדל → השיפוע גדל
• f''(x) < 0 → f'(x) קטן → השיפוע קטן

ארבעת המקרים האפשריים 🔢

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "השיפוע קטן": זה יהיה אם f''(x) < 0
• "השיפוע קבוע": זה רק אם f''(x) = 0
• "השיפוע שלילי": הפונקציה עולה, השיפוע חיובי

💡 הסבר מפורט:

למה נקודות פיתול חשובות? 🌟

1. הבנת צורת הגרף 📊
נקודות פיתול מספרות לנו איפה הגרף "מתכופף":
• איפה הוא משנה מ-∪ ל-∩
• איפה הצורה משתנה
• זה עוזר לשרטט גרף מדויק

2. אופטימיזציה ובעיות מילוליות 💼
בכלכלה ובפיזיקה:
• נקודת פיתול בעקומת עלות = נקודה שבה השינוי בעלות משתנה
• נקודת פיתול במכירות = נקודה שבה קצב הצמיחה משתנה
• נקודת פיתול במגפה = נקודה שבה התפשטות המחלה מתחילה להאט

3. דוגמה: עקומת למידה 📚
כשלומדים משהו חדש:
• בהתחלה: לומדים לאט (∪)
• אחרי זמן: לומדים מהר (עדיין ∪)
• בשלב מסוים: נקודת פיתול! 🔄
• אחרי זה: לומדים יותר לאט (∩)
• מתקרבים לרמת מומחיות

4. דוגמה: מגפת COVID-19 🦠
העקומה של מספר החולים:
• בהתחלה: צמיחה מאיצה (∪)
• נקודת פיתול: הצמיחה מתחילה להאט
• אחרי: עדיין צומח אבל לאט יותר (∩)
• זה הרגע שבו "משטחים את העקומה"

5. גרפים מפורסמים עם פיתול 📈
עקומת S (Sigmoid):
• שימושית במודלים רבים
• יש נקודת פיתול באמצע
• מתארת צמיחה מוגבלת

6. השוואה לקיצונים ⭐

סיכום 💡
נקודות פיתול חשובות כי:
• מראות איפה ההתנהגות משתנה
• עוזרות להבין תהליכים
• חיוניות בשרטוט גרפים
• שימושיות ביישומים מעשיים

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "מקסימום/מינימום": זה תפקיד נקודות הקיצון
• "שורשים": זה איפה f(x) = 0
• "שטח": זה אינטגרל, לא קשור לפיתול

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב הנגזרת השנייה 📐
f(x) = x³ - 3x²
f'(x) = 3x² - 6x
f''(x) = 6x - 6

שלב 2: מציאת חשודים לפיתול 🔍
f''(x) = 0
6x - 6 = 0
x = 1

שלב 3: חישוב ערך הפונקציה 📍
f(1) = 1³ - 3·1² = 1 - 3 = -2
הנקודה החשודה: \((1, -2)\)

שלב 4: טבלת סימנים לנגזרת השנייה 📋

שלב 5: הסבר הטבלה 💭
בדיקת נקודות:
• x = 0 (משמאל ל-1): f''(0) = -6 < 0 → קעירות כלפי מטה ∩
• x = 2 (מימין ל-1): f''(2) = 6 > 0 → קעירות כלפי מעלה ∪

מסקנה: יש שינוי קעירות!
מעבר מ-∩ ל-∪ → נקודת פיתול ב-\((1, -2)\)

שלב 6: תחומי קעירות 📊
• קעורה כלפי מטה ∩: (-∞, 1)
• קעורה כלפי מעלה ∪: (1, +∞)
• נקודת פיתול: \((1, -2)\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• \((0, 0)\): זו נקודת קיצון (מקסימום מקומי), לא פיתול
• \((2, -4)\): זו נקודת קיצון (מינימום מקומי), לא פיתול
• "אין פיתול": יש שינוי קעירות ב-x=1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב הנגזרות 📐
f(x) = x³ + 6x² + 12x
f'(x) = 3x² + 12x + 12
f''(x) = 6x + 12

שלב 2: מציאת חשודים 🔍
f''(x) = 0
6x + 12 = 0
x = -2

שלב 3: ערך הפונקציה 📍
f(-2) = (-2)³ + 6(-2)² + 12(-2)
f(-2) = -8 + 24 - 24 = -8
הנקודה: \((-2, -8)\)

שלב 4: טבלת סימנים 📋

שלב 5: אימות 💭
• x = -3: f''(-3) = -6 < 0 → ∩
• x = -1: f''(-1) = 6 > 0 → ∪
• יש שינוי → פיתול ב-\((-2, -8)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 6x² - 18x + 12
f''(x) = 12x - 18

שלב 2: חשוד 🔍
12x - 18 = 0
x = 1.5

שלב 3: ערך 📍
f(1.5) = 2(1.5)³ - 9(1.5)² + 12(1.5)
f(1.5) = 6.75 - 20.25 + 18 = 4.5

שלב 4: טבלה 📋

שלב 5: אימות 💭
• x = 0: f''(0) = -18 < 0
• x = 2: f''(2) = 6 > 0
• שינוי → פיתול ✓

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 3x² - 12x + 9
f''(x) = 6x - 12

שלב 2: חשוד 🔍
6x - 12 = 0 → x = 2
f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

שלב 3: טבלה 📋

תשובה: \((2, 3)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = -6x + 6

שלב 2: חשוד 🔍
-6x + 6 = 0 → x = 1
f(1) = -1 + 3 - 2 = 0

שלב 3: טבלה 📋

פיתול ב-\((1, 0)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 4x³ - 12x
f''(x) = 12x² - 12

שלב 2: חשודים 🔍
12x² - 12 = 0
x² = 1 → x = ±√2

שלב 3: ערכים 📍
f(√2) = (√2)⁴ - 6(√2)² = 4 - 12 = -8
f(-√2) = -8
שתי נקודות: \((\sqrt{2}, -8)\) ו-\((-\sqrt{2}, -8)\)

שלב 4: טבלה 📋

מסקנה: שתי נקודות פיתול!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 12x² - 24x = 12x(x - 2)

שלב 2: חשודים 🔍
12x(x - 2) = 0
x = 0 או x = 2

שלב 3: ערכים 📍
f(0) = 0
f(2) = 16 - 32 = -16

שלב 4: טבלה 📋

שתי נקודות פיתול!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרת שנייה 📐
f''(x) = 6x

שלב 2: מתי f''(x) > 0? 🔍
6x > 0
x > 0

שלב 3: טבלה 📋

תשובה: (0, +∞)
קעורה כלפי מעלה ∪ כאשר x > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרת שנייה 📐
f''(x) = -12x

שלב 2: מתי f''(x) < 0? 🔍
-12x < 0
x > 0

שלב 3: טבלה 📋

תשובה: (0, +∞)
קעורה כלפי מטה ∩ כאשר x > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 4x³
f''(x) = 12x²

שלב 2: חשוד 🔍
12x² = 0 → x = 0

שלב 3: בדיקת שינוי סימן 📋

מסקנה: אין שינוי סימן!
• f''(x) = 12x² ≥ 0 לכל x
• הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל מקום
• אין פיתול! (אבל יש מינימום ב-0)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 6x

שלב 2: חשוד 🔍
6x = 0 → x = 0
f(0) = 0

שלב 3: טבלה 📋

פיתול ב-\((0, 0)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 20x³

שלב 2: חשוד 🔍
20x³ = 0 → x = 0

שלב 3: טבלה 📋

נקודת פיתול אחת: \((0, 0)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 6x

שלב 2: חשוד 🔍
6x = 0 → x = 0
f(0) = 0

שלב 3: טבלה 📋

הערה: הנקודות \((\pm 2)\) הן קיצונים, לא פיתולים!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 12x² - 4

שלב 2: חשודים 🔍
12x² - 4 = 0
x² = 1/3
x = ±√(1/3)

שלב 3: טבלה 📋

שתי נקודות פיתול!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרת שנייה 📐
f''(x) = 6x - 6

שלב 2: מתי f''(x) < 0? 🔍
6x - 6 < 0
x < 1

שלב 3: טבלה 📋

קעורה כלפי מטה: (-∞, 1)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 3(x-1)²
f''(x) = 6(x-1)

שלב 2: חשוד 🔍
6(x-1) = 0 → x = 1
f(1) = 0

שלב 3: טבלה 📋

פיתול ב-\((1, 0)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = 6x - 18

שלב 2: חשוד 🔍
6x - 18 = 0 → x = 3
f(3) = 27 - 81 + 72 = 18

שלב 3: טבלה 📋

\((3, 18)\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f''(x) = -12x² + 8

שלב 2: חשודים 🔍
-12x² + 8 = 0
x² = 2/3
x = ±√(2/3)

שלב 3: טבלה 📋

שתי נקודות פיתול!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרת שנייה 📐
f''(x) = 12x - 6

שלב 2: מתי f''(x) > 0? 🔍
12x - 6 > 0
x > 0.5

שלב 3: טבלה 📋

קעורה כלפי מעלה: (0.5, +∞)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נגזרות 📐
f'(x) = 4x³ - 24x² + 36x
f''(x) = 12x² - 48x + 36
f''(x) = 12(x² - 4x + 3)
f''(x) = 12(x-1)(x-3)

שלב 2: חשודים 🔍
12(x-1)(x-3) = 0
x = 1 או x = 3

שלב 3: ערכים 📍
f(1) = 1 - 8 + 18 = 11
f(3) = 81 - 216 + 162 = 27

שלב 4: טבלה מפורטת 📋

שלב 5: אימות 💭
בדיקת נקודות:
• x = 0: f''(0) = 36 > 0 → ∪
• x = 2: f''(2) = 12(1)(-1) = -12 < 0 → ∩
• x = 4: f''(4) = 12(3)(1) = 36 > 0 → ∪

מסקנות:
1. משמאל ל-1: קעורה כלפי מעלה ∪
2. בין 1 ל-3: קעורה כלפי מטה ∩
3. מימין ל-3: קעורה כלפי מעלה ∪

יש שני שינויי קעירות → שתי נקודות פיתול!

תחומי קעירות 📊
• קעורה כלפי מעלה ∪: (-∞, 1) ∪ (3, +∞)
• קעורה כלפי מטה ∩: (1, 3)
• נקודות פיתול: \((1, 11)\) ו-\((3, 27)\)