עליה וירידה של פונקציה

פתרון מלא:

שלב 1: נגזור.
\(f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\).

שלב 2: נבדוק היכן הנגזרת חיובית/שלילית.
הנגזרת מתאפסת ב־\(x=-1,1\).

עושים טבלת סימנים:
- עבור \(x<-1\): שני האיברים שליליים ⇒ הנגזרת חיובית ⇒ עלייה.
- עבור \(-1: סימנים שונים ⇒ נגזרת שלילית ⇒ ירידה.
- עבור \(x>1\): שניהם חיוביים ⇒ עלייה.

מסקנה: הפונקציה עולה ב־\(x<-1\) וב־\(x>1\) ויורדת בין הנקודות.

פתרון מפורט:

שלב 1: נגזור:
\(f^{\prime}(x)=2x-4\).

שלב 2: נחשב את ערך הנגזרת ב־\(x=3\):
\(f^{\prime}(3)=2\cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2\).

מסקנה: שיפוע המשיק חיובי ולכן המשיק עולה.

כאשר נגזרת חיובית בכל תחום, זה אומר שכל נקודה בתחום "דוחפת" את הגרף כלפי מעלה.
במילים אחרות — כל שיפוע של משיק הוא חיובי, ולכן הגרף הולך וגדל ככל ש־\(x\) גדל.
זו בדיוק ההגדרה של פונקציה עולה.

כאשר הפונקציה יורדת ואז מתחילה לעלות — הנקודה שבה מתרחשת "הפנייה" היא נקודת מינימום.
זה נובע מכך שהנגזרת הייתה שלילית (ירידה), עברה דרך 0, ואז חיובית (עלייה).
זה בדיוק התנאי להגדרת מינימום מקומי.

הסימן של הנגזרת מספר מה "כיוון התנועה" של הגרף:

- נגזרת חיובית ⇒ הפונקציה עולה.
- נגזרת שלילית ⇒ הפונקציה יורדת.

לכן:
• עלייה כאשר הנגזרת חיובית: \(x<-3\), \(x>4\)
• ירידה כאשר שלילית: \(-3

אם הנגזרת שלילית לפני ואחרי הנקודה — הפונקציה יורדת משני הצדדים.
אין שינוי כיוון ⇒ אין קיצון.

אך אם יש שינוי "אופי הירידה" (למשל קמירות משתנה), ייתכן פיתול.
כלומר הנקודה משנה את צורת הגרף אך לא את כיוון התנועה.

נפתור:
\(f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow 6x-12<0 \Rightarrow x<2\).
זהו התנאי לירידה — הנגזרת שלילית.
לכן הפונקציה יורדת עבור כל x קטן מ־2.

נגזרת גדולה מערך חיובי גדול משמעה שקצב העלייה גדול — הגרף מטפס בצורה תלולה.
הפונקציה לא רק עולה, אלא עולה במהירות גבוהה.
משמעות זו קשורה לפרשנות הפיזיקלית של נגזרת כ"קצב שינוי".

כאשר הפונקציה עולה ואז מתחילה לרדת — זו בדיוק צורת "גבעה".
הנקודה שבה זה מתרחש היא נקודת מקסימום מקומי.
זה נובע מהמעבר נגזרת חיובית לנגזרת שלילית.

ערך הנגזרת מייצג את שיפוע המשיק:
אם הוא שלילי ⇒ המשיק יורד.
כאן \(f^{\prime}(2)=-7\) ולכן המשיק יורד בתלילות.

שלב 1 – נגזרת:
\(f(x)=x^4-4x^2\)
נגזור:
\(f^{\prime}(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).

שלב 2 – נקודות חשובות:
הנגזרת מתאפסת כאשר:
\(4x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\;x=\pm\sqrt{2}\).
אלו החשודים לקיצון או שינוי כיוון.

שלב 3 – טבלת סימנים לנגזרת:
נבדוק את סימן \(f^{\prime}(x)\) בכל תחום שנוצר מחיתוך הנקודות:
התחומים: \((-\infty,-\sqrt{2})\), \((- \sqrt{2},0)\), \((0,\sqrt{2})\), \((\sqrt{2},\infty)\).

• עבור \(x<-\sqrt{2}\) (למשל \(x=-2\)):
\(4x<0\), \(x-\sqrt{2}<0\), \(x+\sqrt{2}<0\) ⇒ מכפלה של שלושה שליליים: שלילית×שלילית×שלילית = שלילית?
שימי לב: יש גורם 4 (חיובי), גורם x (שלילי), גורם (x−√2) (שלילי), גורם (x+√2) (שלילי).
כלומר: שלילי×שלילי×שלילי = שלילי. אבל יש לנו 3 גורמים שליליים ⇒ מכפלה של 3 שליליים היא שלילית. אחר כך נכפיל ב-4 (חיובי) ⇒ נשאר שלילי.
לפי זה נראה שלכאורה הנגזרת שלילית, אך נבדוק באופן יותר מסודר עם סימן כל גורם עבור כל תחום (אפשר להראות בכיתה בטבלה).
אם בוחרים בפועל נקודה לדוגמה \(x=-2\), קלי חישוב:
\(f^{\prime}(-2)=4\cdot(-2)((-2)^2-2)=4\cdot(-2)(4-2)=4\cdot(-2)\cdot 2=-16<0\).
מכאן הפונקציה יורדת בקטע זה.

כדי לא להעמיס יותר מדי כאן, נשתמש בבדיקות מספריות (שיטה שמתאימה לתלמידים):
• בתחום \((- \sqrt{2},0)\) נבחר \(x=-1\):
\(f^{\prime}(-1)=4(-1)((-1)^2-2)=4(-1)(1-2)=4(-1)(-1)=4>0\) ⇒ עולה.

• בתחום \((0,\sqrt{2})\) נבחר \(x=1\):
\(f^{\prime}(1)=4(1)(1-2)=4(1)(-1)=-4<0\) ⇒ יורדת.

• בתחום \((\sqrt{2},\infty)\) נבחר \(x=2\):
\(f^{\prime}(2)=4(2)(4-2)=4\cdot 2\cdot 2=16>0\) ⇒ עולה.

נראה שהפונקציה:
• יורדת ב־\((-\infty,-\sqrt{2})\)
• עולה ב־\((- \sqrt{2},0)\)
• יורדת ב־\((0,\sqrt{2})\)
• עולה ב־\((\sqrt{2},\infty)\)

אם רוצים לפשט לתלמידים ולהתמקד בקטעי העלייה/ירידה היחסיים בלבד, אפשר להדגיש בעיקר את הקטעים העיקריים שלפני ואחרי נקודות \(\pm\sqrt{2}\): הפונקציה יורדת בין \(-\sqrt{2}\) ל־\(\sqrt{2}\), ועולה "מחוץ" לקטע הזה.

קיצון:
• סביב \(x=-\sqrt{2}\): יורדת ואז עולה ⇒ מינימום.
• סביב \(x=\sqrt{2}\): יורדת לפני, עולה אחרי ⇒ מינימום.

מסר לתלמיד: בדיקת סימן הנגזרת סביב נקודות האפס שלה מאפשרת לנו לראות בבירור היכן הגרף מטפס (עלייה) והיכן הוא יורד, ומכאן להבין איפה "עמק" (מינימום) ואיפה "גבעה" (מקסימום).

שלב 1 – חיבור בין סימן הנגזרת להתנהגות הפונקציה:
• נגזרת חיובית ⇒ הפונקציה עולה.
• נגזרת שלילית ⇒ הפונקציה יורדת.

מכאן:
• עבור \(x<-1\): \(f^{\prime}(x)>0\) ⇒ הפונקציה עולה.
• עבור \(-1<x<2\): \(f^{\prime}(x)<0\) ⇒ הפונקציה יורדת.
• עבור \(x>2\): \(f^{\prime}(x)>0\) ⇒ שוב עולה.

שלב 2 – סיווג הנקודות:
• ב-\(x=-1\): לפני הנקודה הפונקציה עולה (נגזרת חיובית), ואחריה יורדת (נגזרת שלילית) ⇒ "עולה ואז יורדת" ⇒ מקסימום.

• ב-\(x=2\): לפני הנקודה הפונקציה יורדת (נגזרת שלילית), ואחריה עולה (נגזרת חיובית) ⇒ "יורדת ואז עולה" ⇒ מינימום.

הבנה עמוקה לתלמיד:
אנחנו בכלל לא צריכים את הביטוי של \(f(x)\). מספיק לנו לדעת את סימן הנגזרת כדי לשחזר את "צורת" הגרף: גבעה (מקסימום), עמק (מינימום) וחלקי עלייה/ירידה.

שלב א – איפה הנגזרת מתאפסת?
\(f^{\prime}(x)=(x-1)^2(x+3)\).
הנגזרת מתאפסת כאשר אחד הגורמים הוא 0:
• \(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
• \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\)

שלב ב – טבלת סימנים עבור הנגזרת:
נסתכל על הגורמים:
• \((x-1)^2\) תמיד חיובי או 0 (ריבוע).
• \((x+3)\) משנה סימן ב-\(x=-3\).

סביב x=-3:
• עבור \(x<-3\): \(x+3<0\) ⇒ הנגזרת שלילית.
• עבור \(x>-3\): \(x+3>0\) ⇒ הנגזרת חיובית.
כלומר: יורדת ואז עולה ⇒ מינימום ב-\(x=-3\).

סביב x=1:
כאן הגורם \((x-1)^2\) מתאפס, אבל…
שימי לב שהסימן של הנגזרת נקבע למעשה רק לפי \((x+3)\), כי \((x-1)^2\ge 0\) תמיד.
• עבור \(x<1\) וגם \(x>1\), אם \(x>-3\) אז \(x+3>0\) ⇒ הנגזרת חיובית משני הצדדים.
כלומר הפונקציה עולה לפני הנקודה וגם עולה אחרי הנקודה – אין שינוי כיוון, אבל השיפוע מתאפס לרגע → זו נקודה שטוחה שאינה קיצון.

רעיון חשוב לתלמידים:
לא כל מקום שבו הנגזרת שווה 0 הוא בהכרח קיצון. כדי לדעת אם זו נקודת מינימום/מקסימום, חשוב לבדוק את שינוי הסימן של הנגזרת סביב הנקודה.

ניתוח:
• עבור \(x<1\): הנגזרת חיובית ⇒ הפונקציה עולה.
• עבור \(x>1\): הנגזרת שלילית ⇒ הפונקציה יורדת.

מעבר מ"עולה" ל"יורדת" מתאר בדיוק צורת "גבעה" ⇒ מקסימום ב-\(x=1\).

בנוסף, \(f^{\prime}(1)=0\) ⇒ המשיק בנקודה הוא אופקי (שיפוע 0).
המשמעות הגרפית: לגבעה יש "פסגה שטוחה" – הנגזרת מתאפסת שם.

הנגזרת היא תמיד 3, כלומר בכל נקודה השיפוע של המשיק הוא 3 – מספר חיובי וקבוע.

מסקנה על עלייה/ירידה:
שיפוע חיובי ⇒ הפונקציה עולה. מכיוון שהשיפוע קבוע, היא עולה תמיד באותו קצב (ללא שינוי).

מסקנה על צורת הגרף:
הפונקציה בעלת נגזרת קבועה היא פונקציה ליניארית מהצורה \(f(x)=3x + b\), כאשר \(b\) קבוע כלשהו.
גרפית: קו ישר נטוי כלפי מעלה, עם שיפוע 3.

נגזרת:
\(f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
הנגזרת מתאפסת ב-\(x=1,3\).

טבלת סימנים קצרה:
• \(x<1\): שני הגורמים שליליים ⇒ מכפלה חיובית ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.
• \(1<x<3\): גורם אחד חיובי, אחד שלילי ⇒ מכפלה שלילית ⇒ ירידה.
• \(x>3\): שני הגורמים חיוביים ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.

לכן הפונקציה עולה כאשר \(x<1\) וכאשר \(x>3\).

נגזרת:
\(f^{\prime}(x)=2x+4=2(x+2)\).
הנגזרת מתאפסת ב-\(x=-2\).

• אם \(x<-2\): \(x+2<0\) ⇒ הנגזרת שלילית ⇒ הפונקציה יורדת.
• אם \(x>-2\): \(x+2>0\) ⇒ הנגזרת חיובית ⇒ הפונקציה עולה.

זה גם מתאים לעובדה שמדובר בפרבולה הפונה למעלה (a>0), ולכן יש לה מינימום ב-\(x=-2\).

שלב 1: הנגזרת מתאפסת ב-\(x=0\) וב-\(x=4\).

שלב 2 – סימני הגורמים:
• עבור \(x<0\): שני הגורמים שליליים? נבדוק לדוגמה \(x=-1\):
\(x=-1<0\), \(x-4=-5<0\) ⇒ מכפלה חיובית ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.

• עבור \(0<x<4\): נניח \(x=1\):
\(x>0\), \(x-4<0\) ⇒ מכפלה שלילית ⇒ נגזרת שלילית ⇒ ירידה.

• עבור \(x>4\): למשל \(x=5\):
שני הגורמים חיוביים ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.

לכן הפונקציה עולה בשני הקטעים \(x<0\) ו-\(x>4\).

הנגזרת שלילית פירושה שכל השיפועים של המשיקים בקטע הם שליליים – כלומר הגרף "רץ למטה" כשמתקדמים ימינה.
לכן הפונקציה יורדת בכל נקודה בתוך הקטע הזה, והיא לא יכולה פתאום להתחיל לעלות כל עוד הנגזרת נשארת שלילית.

ערך הנגזרת הוא שיפוע המשיק:
• \(f^{\prime}(2)=5>0\) ⇒ שיפוע חיובי ⇒ הפונקציה עולה בנקודה הזו.
• \(f^{\prime}(3)=-2<0\) ⇒ שיפוע שלילי ⇒ הפונקציה יורדת בנקודה הזו.

זהו בדיוק הקשר הישיר בין נגזרת (סימן) לבין התנהגות מקומית של הפונקציה.

כדי למצוא את תחום העלייה, נבדוק מתי הנגזרת חיובית:
\(2x-8>0 \Rightarrow 2x>8 \Rightarrow x>4\).

כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה. כאשר שלילית – יורדת. לכן הפונקציה עולה רק עבור \(x>4\).

סימן הנגזרת הוא הכלי המדויק לזיהוי עלייה וירידה:
• נגזרת חיובית ⇒ עלייה
• נגזרת שלילית ⇒ ירידה

כאן: הפונקציה עולה עד הנקודה \(x=2\), שם הנגזרת מתאפסת, ואחריה יורדת. זהו בדיוק מאפיין של נקודת מקסימום.

ערך הנגזרת מייצג את שיפוע המשיק. כאשר הנגזרת שווה 0 – המשיק **אופקי**. זה אינו מבטיח שיש קיצון, אך זו תכונה בסיסית של נקודות שבהן השיפוע מתאפס.

הביטוי \((x-1)^2\) תמיד חיובי או אפס. סימן השליליות מגיע מה״־״ החיצוני ולכן הנגזרת תמיד שלילית.

נגזרת שלילית בכל התחום ⇒ הפונקציה יורדת בכל התחום.

איפוסי נגזרת: \(x=0\), \(x=-2\). בדיקת סימנים קצרה:
• עבור \(x<-2\): שני הגורמים שליליים ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.
• עבור \(-2 • עבור \(x>0\): חיובי×חיובי ⇒ נגזרת חיובית ⇒ עלייה.

לכן הפונקציה עולה בקטעים: \(x<-2\) וגם \(x>0\).

אם הנגזרת חיובית לפני ואחרי הנקודה – הפונקציה עולה משני הצדדים. אין שינוי כיוון ⇒ אין קיצון. הנגזרת מתאפסת אך הגרף ממשיך לעלות ⇒ זו נקודה שטוחה בלבד.

כאשר הנגזרת חיובית לפני הנקודה (פונקציה עולה) ושלילית אחריה (פונקציה יורדת), זה מתאר בדיוק "גבעה" — נקודת מקסימום מקומי.

נפתור את התנאי לירידה:
\(f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow x^2-9<0 \Rightarrow -3.

כאן הפונקציה יורדת. מחוץ לקטע – הנגזרת חיובית ⇒ עלייה.

שיפוע שלילי ⇒ המשיק נוטה מטה ⇒ הגרף יורד ככל שמתקדמים ימינה. אם זה קורה בכל הנקודות בתחום – הפונקציה יורדת בכל התחום.

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית), ויורדת אחריה (נגזרת שלילית). זהו בדיוק שינוי כיוון שמייצר צורת "גבעה". לכן ב־\(x=0\) יש נקודת מקסימום.