אסימפטוטה אופקית הבנה

💡 הסבר מפורט:

הגדרה: אסימפטוטה אופקית 📏
אסימפטוטה אופקית היא קו ישר אופקי בצורה y = L שאליו גרף הפונקציה מתקרב כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

במילים פשוטות 🎯
כשנבחר ערכי x גדולים יותר ויותר (חיוביים או שליליים), הפונקציה מתקרבת לערך קבוע מסוים L.

הגדרה מתמטית 📐
הישר y = L הוא אסימפטוטה אופקית אם:

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\)
או
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\)

דוגמה ויזואלית 🖼️
דמיינו פונקציה שמתקרבת לקו y = 2:
```
y = 2 ─────────────── ← אסימפטוטה
╱╱╱╱╱
╱╱╱╱
╱╱╱ ← הגרף מתקרב אבל לא נוגע
╱╱
╱
```
ככל ש-x גדל, הגרף מתקרב יותר ויותר ל-y = 2

למה "אסימפטוטה"? 🤔
המילה מגיעה מיוונית: "לא נופל ביחד"
• הגרף מתקרב לקו
• אבל לא בהכרח נוגע בו
• זה כמו לרדוף אחרי משהו שתמיד רחוק קצת

דוגמה מספרית 🔢
הפונקציה \(f(x) = \frac{1}{x}\):

תכונות חשובות ⭐
1. האסימפטוטה היא קו ישר
2. היא אופקית (מקבילה לציר x)
3. הגרף מתקרב אליה כש-x גדל/קטן
4. הגרף יכול לחתוך את האסימפטוטה באמצע!

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "קו אנכי": זו אסימפטוטה אנכית, לא אופקית
• "ערך מקסימלי": לא קשור לאסימפטוטה
• "שורש": זו נקודה שבה f(x) = 0

💡 הסבר מפורט:

למה אסימפטוטות חשובות? 🌟

1. הבנת התנהגות קיצונית 📊
אסימפטוטות מספרות לנו מה קורה לפונקציה:
• כאשר x → +∞ (ערכים גדולים מאוד)
• כאשר x → -∞ (ערכים קטנים מאוד)
• זה עוזר לשרטט את הגרף נכון

2. דוגמה מהחיים: ריכוז תרופה 💊
נניח שנתנו לחולה תרופה:
• בהתחלה: ריכוז גבוה בדם
• עם הזמן: הריכוז יורד
• אסימפטוטה אופקית = הריכוז המינימלי שנשאר

הפונקציה: \(C(t) = 10 \cdot e^{-0.1t} + 2\)
• כאשר t → ∞: C(t) → 2
• y = 2 היא האסימפטוטה
• משמעות: תמיד נשארים 2 יחידות בגוף

3. דוגמה: מהירות מקסימלית 🚗
רכב מאיץ:
• בהתחלה: מהירות עולה מהר
• אחר כך: עולה לאט יותר
• אסימפטוטה = המהירות המקסימלית

למשל: \(v(t) = \frac{200t}{t+1}\)
• כאשר t → ∞: v(t) → 200
• y = 200 היא האסימפטוטה
• הרכב לא יעבור 200 קמ"ש

4. יתרונות בשרטוט גרף 🎨
כשיודעים את האסימפטוטות:
• יודעים "לאן הגרף הולך"
• יודעים את גבולות הפונקציה
• קל יותר לשרטט במדויק
• מבינים את הצורה הכללית

5. יישומים מעשיים 💼
בכלכלה:
• עלות ממוצעת לטווח ארוך
• תשואה מקסימלית

בפיזיקה:
• מהירות גבולית
• טמפרטורה סופית

בביולוגיה:
• גודל אוכלוסייה מקסימלי
• קצב צמיחה מינימלי

6. דוגמה: קיבולת נשיאה 🌱
גידול חיידקים בצלחת:
\(N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0.5t}}\)
• בהתחלה: מעט חיידקים
• אחר כך: צמיחה מהירה
• בסוף: יציבות
• כאשר t → ∞: N(t) → 1000
• האסימפטוטה y = 1000 = קיבולת הצלחת

סיכום 📋
אסימפטוטות חשובות כי:
✓ מראות התנהגות לטווח ארוך
✓ עוזרות לשרטט גרפים
✓ בעלות משמעות מעשית
✓ מסייעות להבין גבולות המערכת

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "שורשים": נמצאים ע"י f(x) = 0
• "נגזרת": נמצאת ע"י כללי גזירה
• "קיצונים": נמצאים ע"י f'(x) = 0

💡 הסבר מפורט:

בואו נציב! 🔢
\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2}\)

כאשר x = 1,000,000:

חישוב ישיר 📐
\(f(1000000) = \frac{3 \cdot 1000000 + 1}{1000000 + 2}\)

\(= \frac{3000000 + 1}{1000000 + 2}\)

\(= \frac{3000001}{1000002}\)

\(= 2.999994000...\)

התוצאה קרובה מאוד ל-3! 🎯

למה זה קורה? 💭
בואו נחלק את המונה והמכנה ב-x:

\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2} = \frac{x(3 + \frac{1}{x})}{x(1 + \frac{2}{x})}\)

\(= \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}\)

עכשיו נציב x גדול מאוד 🔍
כאשר x = 1,000,000:
• \(\frac{1}{x} = \frac{1}{1000000} = 0.000001\) ← כמעט 0!
• \(\frac{2}{x} = \frac{2}{1000000} = 0.000002\) ← כמעט 0!

לכן:
\(f(1000000) = \frac{3 + 0.000001}{1 + 0.000002} \approx \frac{3}{1} = 3\)

טבלת ערכים 📊

מסקנה 🎯
ככל ש-x גדל:
• \(\frac{1}{x}\) ו-\(\frac{2}{x}\) מתקרבים ל-0
• הפונקציה מתקרבת ל-\(\frac{3}{1} = 3\)
• לכן y = 3 היא אסימפטוטה אופקית!

כלל כללי 📋
בפונקציה רציונלית \(\frac{ax+b}{cx+d}\):
• כאשר x → ∞
• התוצאה שואפת ל-\(\frac{a}{c}\)
• במקרה שלנו: \(\frac{3}{1} = 3\) ✓

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "קרובה ל-0": הערכים הולכים ל-3, לא ל-0
• "קרובה ל-1": הערכים הולכים ל-3, לא ל-1
• "אינסופית": יש גבול סופי

💡 הסבר מפורט:

בואו נבדוק עם ערכים שליליים גדולים! 📉

טבלת ערכים שליליים 📊
\(f(x) = \frac{2x-5}{x+3}\)

למה זה קורה? 💭
נחלק מונה ומכנה ב-x:

\(f(x) = \frac{2x-5}{x+3} = \frac{x(2 - \frac{5}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})}\)

\(= \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 + \frac{3}{x}}\)

כאשר x → -∞ 🔍
• \(\frac{5}{x} \to 0\) (כי x גדול מאוד בערך מוחלט)
• \(\frac{3}{x} \to 0\)

לכן:
\(f(x) \to \frac{2 - 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2\)

משני הצדדים הגרף מתקרב ל-y = 2

נקודה חשובה! ⭐
לא משנה אם x → +∞ או x → -∞:
• באותה פונקציה רציונלית
• האסימפטוטה האופקית היא אותה!
• תמיד: \(\frac{\text{מקדם מוביל במונה}}{\text{מקדם מוביל במכנה}}\)

כלל 📋
עבור \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\):
• כאשר x → +∞: f(x) → \(\frac{a}{c}\)
• כאשר x → -∞: f(x) → \(\frac{a}{c}\)
• במקרה שלנו: \(\frac{2}{1} = 2\) ✓

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "0": הפונקציה לא מתאפסת
• "∞": יש גבול סופי
• "-5": זה קשור לקבוע במונה, לא לאסימפטוטה

💡 הסבר מפורט:

השוואה מקיפה 📊

אסימפטוטה אופקית 📏
צורה: y = L (קו אופקי)
מתי? כאשר x → ±∞
משמעות: הגרף מתקרב לערך קבוע
מציאה: \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)
דוגמה: \(f(x) = \frac{2x}{x+1}\) → y = 2

אסימפטוטה אנכית 📏
צורה: x = a (קו אנכי)
מתי? כאשר המכנה = 0
משמעות: הפונקציה לא מוגדרת
מציאה: פותרים מכנה = 0
דוגמה: \(f(x) = \frac{1}{x-3}\) → x = 3

טבלת השוואה 📋

דוגמה מלאה 🔢
\(f(x) = \frac{3x+2}{x-1}\)

אסימפטוטה אנכית:
מכנה = 0 → x - 1 = 0 → x = 1
בנקודה זו הפונקציה לא מוגדרת

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x → ∞:
\(\frac{3x+2}{x-1} \to \frac{3}{1} = 3\)
לכן y = 3

כמות 🔢
פונקציה רציונלית יכולה להיות בעלת:
• אסימפטוטה אופקית אחת (או אפס)
• מספר אסימפטוטות אנכיות (כמספר האפסים של המכנה)

דוגמה: מספר אסימפטוטות
\(f(x) = \frac{x}{(x-1)(x+2)}\)
• אנכיות: x = 1 ו-x = -2 (שתיים!)
• אופקית: y = 0 (אחת)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אנכית לצירים": לא נכון, שתיהן מקבילות לצירים
• "תלוי בסימן": לא קשור
• "אותו דבר": הן שונות לחלוטין

💡 הסבר מפורט:

כללי אסימפטוטות אופקיות 📋

מקרה 1: מעלת מונה < מעלת מכנה ✓
דוגמה: \(f(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)
• מונה: מעלה 1
• מכנה: מעלה 2
• המכנה "גדל מהר יותר"
• כאשר x → ∞: f(x) → 0
• יש אסימפטוטה: y = 0 ✓

מקרה 2: מעלת מונה = מעלת מכנה ✓
דוגמה: \(f(x) = \frac{3x^2+5}{2x^2-1}\)
• מונה: מעלה 2
• מכנה: מעלה 2
• יחס המקדמים המובילים
• כאשר x → ∞: f(x) → \(\frac{3}{2}\)
• יש אסימפטוטה: y = 3/2 ✓

מקרה 3: מעלת מונה > מעלת מכנה ❌
דוגמה: \(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\)
• מונה: מעלה 2
• מכנה: מעלה 1
• המונה "גדל מהר יותר"
• כאשר x → ∞: f(x) → ∞
• אין אסימפטוטה אופקית! ❌
• (אבל יש אסימפטוטה משופעת)

בואו נראה את ההבדל מספרית 🔢

מקרה שיש אסימפטוטה:
\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2}\)

סיכום הכללים 📊

למה זה קורה? 💭
כאשר מעלת המונה גדולה יותר:
• המונה גדל מהר יותר מהמכנה
• השבר גדל לאינסוף
• אין ערך קבוע שאליו הוא מתקרב
• לכן אין אסימפטוטה אופקית

אבל! 🌟
במקרה זה יש אסימפטוטה משופעת:
y = mx + b
(זה נושא למבחן אחר)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "יש אנכית": לא קשור
• "פונקציה שלילית": לא משנה
• "תמיד יש": לא נכון, לפעמים אין

💡 הסבר מפורט:

האמת המפתיעה! 😲
הגרף יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית!

למה זה מפתיע? 💭
רבים חושבים ש"אסימפטוטה = קו שאסור לגעת בו"
אבל זה לא נכון!

ההגדרה האמיתית 📐
אסימפטוטה אופקית y = L פירושה:
• כאשר x → ±∞, הפונקציה מתקרבת ל-L
• אין אמירה על מה קורה בערכי x סופיים!
• הגרף יכול לחתוך את y = L כמה שהוא רוצה

דוגמה קלאסית 🔢
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)

• האסימפטוטה: y = 0
• אבל הפונקציה מתנדנדת סביב y = 0
• היא חותכת את y = 0 אינסוף פעמים!
• בכל זאת, כאשר x → ∞: f(x) → 0

דוגמה פשוטה יותר 📊
\(f(x) = \frac{x^2-4}{x^2+1}\)

בואו נמצא את האסימפטוטה:
• מעלות שוות → מחלקים מקדמים
• \(\frac{1}{1} = 1\)
• אסימפטוטה: y = 1

האם הגרף חותך את y = 1?
נפתור: f(x) = 1
\(\frac{x^2-4}{x^2+1} = 1\)
x² - 4 = x² + 1
-4 = 1 ✗

במקרה הזה הגרף לא חותך את האסימפטוטה.

דוגמה שבה כן חותך 🎯
\(g(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\)

אסימפטוטה: y = 1

חיתוך עם y = 1:
\(\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1\)
x² - 1 = x² + 1
-1 = 1 ✗

גם כאן לא... בואו ננסה דוגמה אחרת!

דוגמה שבטוח חותך 🌟
\(h(x) = \frac{2x^2+\sin(x)}{x^2+1}\)

• האסימפטוטה: y = 2
• אבל sin(x) גורם לתנודות
• הפונקציה חותכת את y = 2 הרבה פעמים!
• בכל זאת, כאשר x → ∞: h(x) → 2

הכלל החשוב 📋
אסימפטוטה אופקית:
• מתארת התנהגות ב-x → ±∞
• לא מגבילה התנהגות בערכים סופיים
• הגרף חופשי לחתוך אותה

אסימפטוטה אנכית:
• הגרף לא יכול לחתוך אותה
• כי הפונקציה לא מוגדרת שם

סיכום 🎯
✓ גרף יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית
✓ אפילו מספר פעמים
✓ האסימפטוטה רק מתארת מה קורה ב-∞
✗ גרף לא יכול לחתוך אסימפטוטה אנכית

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "לעולם לא": לא נכון, יכול
• "רק פעם אחת": יכול כמה פעמים
• "רק אם y=0": יכול עם כל אסימפטוטה

💡 הסבר מפורט:

השיטה המתמטית 📐
אסימפטוטה אופקית = \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)

אלגוריתם למציאה 🔍
1. מחלקים מונה ומכנה בחזקה הגבוהה של x
2. מחשבים את הגבול כש-x → ∞
3. כל \(\frac{1}{x^n} \to 0\)

דוגמה 📝
\(f(x) = \frac{3x^2+2x}{x^2-5}\)

מחלקים ב-x²:
\(= \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{5}{x^2}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{3+0}{1-0} = 3\)

אסימפטוטה: y = 3

💡 הסבר:

טבלה 📊

מסקנה: ככל ש-x גדל, \(\frac{1}{x}\) קטן ומתקרב ל-0!

גבולית:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)

💡 הסבר:

כאשר x → ∞:
\(\frac{5}{x} \to 0\)

הסבר:
5 ÷ (מספר ענק) = מספר קטן מאוד → 0

דוגמאות:
• x = 1000 → f(x) = 0.005
• x = 10000 → f(x) = 0.0005
• x → ∞ → f(x) → 0

אסימפטוטה: y = 0 (ציר x)

💡 הסבר:

כלל חשוב 📋
פונקציה רציונלית יכולה להיות בעלת:
• אפס אסימפטוטות אופקיות (אם מונה > מכנה במעלה)
• אחת אסימפטוטה אופקית (אם מונה ≤ מכנה במעלה)

למה לא יותר מאחת? 💭
כי הגבול יחיד:
\(\lim_{x \to \infty} f(x)\) יכול להיות רק מספר אחד!

דוגמאות:
• \(\frac{x}{x^2}\) → y = 0 ✓
• \(\frac{3x}{x}\) → y = 3 ✓
• \(\frac{x^2}{x}\) → אין ✓

💡 הסבר:

משמעות הסימון 📐
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\) אומר:
"הגבול של f(x) כאשר x שואף לאינסוף הוא 5"

במילים פשוטות 💭
ככל ש-x נהיה גדול יותר ויותר,
הערכים של f(x) מתקרבים יותר ויותר ל-5

דוגמה 📊
\(f(x) = \frac{5x+3}{x+1}\)

מסקנה: y = 5 היא אסימפטוטה אופקית

💡 הסבר:

שיטה 1: חלוקה ב-x 📐
\(\frac{7x+2}{x+5} = \frac{x(7 + \frac{2}{x})}{x(1 + \frac{5}{x})}\)

\(= \frac{7 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{5}{x}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{7+0}{1+0} = 7\)

שיטה 2: מקדמים מובילים ⚡
מעלות שוות (1 = 1)
→ מחלקים מקדמים: 7/1 = 7

תשובה: 7
אסימפטוטה: y = 7

💡 הסבר:

ניתוח 🔍
מעלת מונה: 1
מעלת מכנה: 2

מונה < מכנה → גבול הוא 0!

למה? 💭
המכנה גדל מהר יותר מהמונה
→ השבר קטן → שואף ל-0

חלוקה ב-x²:
\(\frac{x}{x^2+1} = \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{0}{1+0} = 0\)

אסימפטוטה: y = 0

💡 הסבר:

פענוח הגבול 📖
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) אומר:
"כש-x הולך לאינסוף, f(x) מתקרב ל-0"

משמעות גרפית 🎨
הגרף מתקרב לקו האופקי y = 0
זה בדיוק ציר ה-x!

דוגמאות 📝
• \(f(x) = \frac{1}{x}\) → y = 0
• \(f(x) = \frac{3}{x^2}\) → y = 0
• \(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\) → y = 0

הערה חשובה ⚠️
x = 0 היא אסימפטוטה אנכית, לא אופקית!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי מעלות 🔍
• מעלת מונה: 1 (2x)
• מעלת מכנה: 1 (x)
• מעלות שוות!

שלב 2: כלל מעלות שוות ⭐
כאשר מעלת מונה = מעלת מכנה:
האסימפטוטה היא \(y = \frac{\text{מקדם מוביל במונה}}{\text{מקדם מוביל במכנה}}\)

שלב 3: חישוב 📐
• מקדם מוביל במונה: 2
• מקדם מוביל במכנה: 1
• אסימפטוטה: \(y = \frac{2}{1} = 2\)

שלב 4: אימות עם גבול 🔢
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1}\)

נחלק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)

\(= \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\) ✓

שלב 5: בדיקה מספרית 📊

תשובה סופית: y = 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
מעלות: 1 = 1 (שוות)

שלב 2: מקדמים מובילים ⚡
מונה: 5x → מקדם 5
מכנה: 2x → מקדם 2

אסימפטוטה: \(y = \frac{5}{2} = 2.5\)

שלב 3: אימות בגבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{5x-7}{2x+3}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{5 - \frac{7}{x}}{2 + \frac{3}{x}} \to \frac{5}{2}\) ✓

בדיקה:
x = 100: f(100) = 493/203 ≈ 2.4286
x = 1000: f(1000) ≈ 2.4975
→ מתקרב ל-2.5!

💡 הסבר:

ניתוח 🔍
מעלת מונה: 0 (קבוע)
מעלת מכנה: 1

מונה < מכנה → y = 0!

הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל מאוד:
• המכנה הופך ענק
• 3 חלקי (מספר ענק) → 0
• לכן הפונקציה → 0

גבולית:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x+2} = 0\)

הערה: x = -2 היא אסימפטוטה אנכית!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: כלל מהיר ⚡
אסימפטוטה = \(\frac{\text{מקדם מוביל מונה}}{\text{מקדם מוביל מכנה}} = \frac{4}{3}\)

שלב 3: אימות בגבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{3x-5}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{3 - \frac{5}{x}}\)

כש-x → ∞:
• \(\frac{1}{x} \to 0\)
• \(\frac{5}{x} \to 0\)

\(= \frac{4 + 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}\) ✓

שלב 4: בדיקה מספרית 📊

תשובה: \(y = \frac{4}{3} \approx 1.33\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת מעלות 🔍
• מעלת מונה: 0 (7 = קבוע)
• מעלת מכנה: 1 (2x)
• מונה < מכנה

שלב 2: כלל חשוב ⭐
כאשר מעלת מונה < מעלת מכנה:
האסימפטוטה תמיד היא y = 0

שלב 3: הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל מאוד:
• המכנה הופך ענק: 2x - 3 → ∞
• השבר הופך קטן: \(\frac{7}{\text{ענק}} \to 0\)
• הפונקציה מתקרבת ל-0

שלב 4: חישוב גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{7}{2x-3}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x}}{2 - \frac{3}{x}}\)

\(= \frac{0}{2 - 0} = 0\) ✓

שלב 5: בדיקה מספרית 📊

תשובה סופית: y = 0 (ציר x)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: מקדמים מובילים ⚡
• במונה: -3x → מקדם = -3
• במכנה: x → מקדם = 1
• אסימפטוטה: \(y = \frac{-3}{1} = -3\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{-3x+8}{x+4}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{-3 + \frac{8}{x}}{1 + \frac{4}{x}}\)

\(\to \frac{-3 + 0}{1 + 0} = -3\) ✓

שלב 4: בדיקה 📊
x = 100:
\(f(100) = \frac{-300+8}{100+4} = \frac{-292}{104} \approx -2.808\)

x = 1000:
\(f(1000) = \frac{-3000+8}{1000+4} \approx -2.980\)

מתקרב ל--3! ✓

הערה חשובה ⚠️
שימו לב שהאסימפטוטה שלילית!
הסימן של המקדם המוביל חשוב.

תשובה: y = -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
מעלות שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים ⚡
• מונה: x (מקדם = 1)
• מכנה: 2x (מקדם = 2)
• אסימפטוטה: \(\frac{1}{2} = 0.5\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x-5}{2x+7}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{1 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{7}{x}}\)

\(\to \frac{1}{2}\) ✓

שלב 4: טבלה 📊

תשובה: \(y = \frac{1}{2}\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות שוות 🔍
שתיהן במעלה 1

שלב 2: מקדמים ⚡
מונה: 10x → 10
מכנה: 5x → 5
אסימפטוטה: \(\frac{10}{5} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{10x}{5x-2}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{10}{5 - \frac{2}{x}} \to \frac{10}{5} = 2\) ✓

שלב 4: אימות 📊
x = 100:
\(\frac{1000}{498} \approx 2.008\) ← קרוב ל-2!

x = 1000:
\(\frac{10000}{4998} \approx 2.0008\) ← יותר קרוב!

תשובה: y = 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סידור מחדש 📝
נכתוב בצורה סטנדרטית:
\(f(x) = \frac{3x+2}{4x-1}\)

שלב 2: מקדמים 🔍
• מונה: 3x → 3
• מכנה: 4x → 4
• אסימפטוטה: \(\frac{3}{4} = 0.75\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{4x-1}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{1}{x}}\)

\(\to \frac{3}{4}\) ✓

שלב 4: טבלה 📊

תשובה: \(y = \frac{3}{4}\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
• מונה: 0 (קבוע 9)
• מכנה: 1 (x)
• מונה < מכנה → y = 0

שלב 2: הסבר 💭
\(\frac{9}{x}\) כש-x → ∞:
• x = 10 → f = 0.9
• x = 100 → f = 0.09
• x = 1000 → f = 0.009
• x → ∞ → f → 0

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{9}{x} = 0\)

הערה חשובה ⚠️
• y = 0 אסימפטוטה אופקית ✓
• x = 0 אסימפטוטה אנכית ✓
• לפונקציה זו יש שתיהן!

תשובה: y = 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים ⚡
מונה: 6x → 6
מכנה: 3x → 3
אסימפטוטה: \(\frac{6}{3} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{6x+5}{3x+2}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{6 + \frac{5}{x}}{3 + \frac{2}{x}}\)

\(\to \frac{6}{3} = 2\) ✓

שלב 4: בדיקה 📊

תשובה: y = 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים (שימו לב לסימן!) ⚡
• מונה: -x → מקדם = -1
• מכנה: 2x → מקדם = 2
• אסימפטוטה: \(\frac{-1}{2} = -0.5\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{-x+4}{2x-3}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{-1 + \frac{4}{x}}{2 - \frac{3}{x}}\)

\(\to \frac{-1}{2} = -0.5\) ✓

שלב 4: אימות מספרי 📊
x = 100:
\(f(100) = \frac{-100+4}{200-3} = \frac{-96}{197} \approx -0.487\)

x = 1000:
\(f(1000) = \frac{-996}{1997} \approx -0.499\)

מתקרב ל--0.5! ✓

הערה חשובה ⭐
האסימפטוטה שלילית!
אל תשכחו את הסימן של המקדם המוביל.

תשובה: \(y = -\frac{1}{2}\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת מעלות 🔍
• מונה: מעלה 0 (קבוע)
• מכנה: מעלה 1
• מונה < מכנה

שלב 2: כלל ⭐
כאשר מעלת מונה < מעלת מכנה:
תמיד האסימפטוטה היא y = 0

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{15}{3x+7}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{15}{x}}{3 + \frac{7}{x}}\)

\(= \frac{0}{3 + 0} = 0\) ✓

שלב 4: הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל:
• המכנה: 3x + 7 → ∞
• השבר: \(\frac{15}{\text{מספר ענק}} \to 0\)

שלב 5: טבלה 📊

תשובה: y = 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות: 1 = 1

שלב 2: מקדמים ⚡
• מונה: 8x → 8
• מכנה: 4x → 4
• אסימפטוטה: \(\frac{8}{4} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{8x-2}{4x+9}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{8 - \frac{2}{x}}{4 + \frac{9}{x}}\)

\(\to \frac{8 - 0}{4 + 0} = \frac{8}{4} = 2\) ✓

שלב 4: אימות 📊
x = 50:
\(f(50) = \frac{398}{209} \approx 1.904\)

x = 500:
\(f(500) = \frac{3998}{2009} \approx 1.990\)

x = 5000:
\(f(5000) = \frac{39998}{20009} \approx 1.999\)

מתקרב ל-2! ✓

תשובה: y = 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי מעלות 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: חישוב מקדמים ⚡
• במונה: 12x → מקדם מוביל = 12
• במכנה: 6x → מקדם מוביל = 6
• יחס המקדמים: \(\frac{12}{6} = 2\)

שלב 3: חישוב גבול מפורט 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{12x+1}{6x-5}\)

נחלק את המונה והמכנה ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{x(12 + \frac{1}{x})}{x(6 - \frac{5}{x})}\)

\(= \lim_{x \to \infty} \frac{12 + \frac{1}{x}}{6 - \frac{5}{x}}\)

כאשר x → ∞:
• \(\frac{1}{x} \to 0\)
• \(\frac{5}{x} \to 0\)

\(= \frac{12 + 0}{6 - 0} = \frac{12}{6} = 2\) ✓

שלב 4: אימות מספרי מקיף 📊

שלב 5: הסבר גרפי 🎨
הגרף של הפונקציה:
• מתחיל רחוק מהקו y = 2
• ככל ש-x גדל, הגרף מתקרב יותר ויותר
• הגרף "רודף" אחרי הקו y = 2
• אבל אף פעם לא מגיע אליו ממש (אלא אם חותך)

סיכום 🎯
• אסימפטוטה אופקית: y = 2
• זו הערך שאליו הפונקציה מתכנסת
• משני הכיוונים: x → +∞ וגם x → -∞