אורח מצב צפייה מבחן: אסימפטוטה אופקית הבנה

אסימפטוטה אופקית הבנה

מבחן אסימפטוטה אופקית הבנה - 40 שאלות הבנה עמוקה: הגדרה, חישוב גבולות, הצבת ערכים, הבחנה בין סוגי אסימפטוטות.

הבנה עמוקה 💭 מהי אסימפטוטה אופקית למה חשוב לחשב אותה הצבת ערכים גדולים וקטנים הבחנה בין אופקית לאנכית מתי אין אסימפטוטה האם הגרף יכול לחתוך איך מוצאים אסימפטוטה הבנת גבולות כמות אסימפטוטות משמעות גבול
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 30
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
3.33 נק'

💭 מהי אסימפטוטה אופקית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הגדרה: אסימפטוטה אופקית 📏
אסימפטוטה אופקית היא קו ישר אופקי בצורה y = L שאליו גרף הפונקציה מתקרב כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

במילים פשוטות 🎯
כשנבחר ערכי x גדולים יותר ויותר (חיוביים או שליליים), הפונקציה מתקרבת לערך קבוע מסוים L.

הגדרה מתמטית 📐
הישר y = L הוא אסימפטוטה אופקית אם:

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\)
או
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\)

דוגמה ויזואלית 🖼️
דמיינו פונקציה שמתקרבת לקו y = 2:
```
y = 2 ─────────────── ← אסימפטוטה
╱╱╱╱╱
╱╱╱╱
╱╱╱ ← הגרף מתקרב אבל לא נוגע
╱╱

```
ככל ש-x גדל, הגרף מתקרב יותר ויותר ל-y = 2

למה "אסימפטוטה"? 🤔
המילה מגיעה מיוונית: "לא נופל ביחד"
• הגרף מתקרב לקו
• אבל לא בהכרח נוגע בו
• זה כמו לרדוף אחרי משהו שתמיד רחוק קצת

דוגמה מספרית 🔢
הפונקציה \(f(x) = \frac{1}{x}\):

x101001,00010,000
f(x)0.10.010.0010.0001

רואים? ככל ש-x גדל, f(x) מתקרב ל-0!
לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית.

תכונות חשובות ⭐
1. האסימפטוטה היא קו ישר
2. היא אופקית (מקבילה לציר x)
3. הגרף מתקרב אליה כש-x גדל/קטן
4. הגרף יכול לחתוך את האסימפטוטה באמצע!

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "קו אנכי": זו אסימפטוטה אנכית, לא אופקית
• "ערך מקסימלי": לא קשור לאסימפטוטה
• "שורש": זו נקודה שבה f(x) = 0

שאלה 2
3.33 נק'

💭 למה חשוב לדעת את האסימפטוטות של פונקציה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה אסימפטוטות חשובות? 🌟

1. הבנת התנהגות קיצונית 📊
אסימפטוטות מספרות לנו מה קורה לפונקציה:
• כאשר x → +∞ (ערכים גדולים מאוד)
• כאשר x → -∞ (ערכים קטנים מאוד)
• זה עוזר לשרטט את הגרף נכון

2. דוגמה מהחיים: ריכוז תרופה 💊
נניח שנתנו לחולה תרופה:
• בהתחלה: ריכוז גבוה בדם
• עם הזמן: הריכוז יורד
• אסימפטוטה אופקית = הריכוז המינימלי שנשאר

הפונקציה: \(C(t) = 10 \cdot e^{-0.1t} + 2\)
• כאשר t → ∞: C(t) → 2
• y = 2 היא האסימפטוטה
• משמעות: תמיד נשארים 2 יחידות בגוף

3. דוגמה: מהירות מקסימלית 🚗
רכב מאיץ:
• בהתחלה: מהירות עולה מהר
• אחר כך: עולה לאט יותר
• אסימפטוטה = המהירות המקסימלית

למשל: \(v(t) = \frac{200t}{t+1}\)
• כאשר t → ∞: v(t) → 200
• y = 200 היא האסימפטוטה
• הרכב לא יעבור 200 קמ"ש

4. יתרונות בשרטוט גרף 🎨
כשיודעים את האסימפטוטות:
• יודעים "לאן הגרף הולך"
• יודעים את גבולות הפונקציה
• קל יותר לשרטט במדויק
• מבינים את הצורה הכללית

5. יישומים מעשיים 💼
בכלכלה:
• עלות ממוצעת לטווח ארוך
• תשואה מקסימלית

בפיזיקה:
• מהירות גבולית
• טמפרטורה סופית

בביולוגיה:
• גודל אוכלוסייה מקסימלי
• קצב צמיחה מינימלי

6. דוגמה: קיבולת נשיאה 🌱
גידול חיידקים בצלחת:
\(N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0.5t}}\)
• בהתחלה: מעט חיידקים
• אחר כך: צמיחה מהירה
• בסוף: יציבות
• כאשר t → ∞: N(t) → 1000
• האסימפטוטה y = 1000 = קיבולת הצלחת

סיכום 📋
אסימפטוטות חשובות כי:
✓ מראות התנהגות לטווח ארוך
✓ עוזרות לשרטט גרפים
✓ בעלות משמעות מעשית
✓ מסייעות להבין גבולות המערכת

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "שורשים": נמצאים ע"י f(x) = 0
• "נגזרת": נמצאת ע"י כללי גזירה
• "קיצונים": נמצאים ע"י f'(x) = 0

שאלה 3
3.33 נק'

💭 נתונה \(f(x) = \frac{3x+1}{x+2}\). מה קורה כאשר מציבים x = 1,000,000?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בואו נציב! 🔢
\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2}\)

כאשר x = 1,000,000:

חישוב ישיר 📐
\(f(1000000) = \frac{3 \cdot 1000000 + 1}{1000000 + 2}\)

\(= \frac{3000000 + 1}{1000000 + 2}\)

\(= \frac{3000001}{1000002}\)

\(= 2.999994000...\)

התוצאה קרובה מאוד ל-3! 🎯

למה זה קורה? 💭
בואו נחלק את המונה והמכנה ב-x:

\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2} = \frac{x(3 + \frac{1}{x})}{x(1 + \frac{2}{x})}\)

\(= \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}\)

עכשיו נציב x גדול מאוד 🔍
כאשר x = 1,000,000:
\(\frac{1}{x} = \frac{1}{1000000} = 0.000001\) ← כמעט 0!
\(\frac{2}{x} = \frac{2}{1000000} = 0.000002\) ← כמעט 0!

לכן:
\(f(1000000) = \frac{3 + 0.000001}{1 + 0.000002} \approx \frac{3}{1} = 3\)

טבלת ערכים 📊

xf(x)מרחק מ-3
102.583...0.417
1002.941...0.059
1,0002.994...0.006
10,0002.9994...0.0006
1,000,0002.999994...0.000006

מסקנה 🎯
ככל ש-x גדל:
\(\frac{1}{x}\) ו-\(\frac{2}{x}\) מתקרבים ל-0
• הפונקציה מתקרבת ל-\(\frac{3}{1} = 3\)
• לכן y = 3 היא אסימפטוטה אופקית!

כלל כללי 📋
בפונקציה רציונלית \(\frac{ax+b}{cx+d}\):
• כאשר x → ∞
• התוצאה שואפת ל-\(\frac{a}{c}\)
• במקרה שלנו: \(\frac{3}{1} = 3\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "קרובה ל-0": הערכים הולכים ל-3, לא ל-0
• "קרובה ל-1": הערכים הולכים ל-3, לא ל-1
• "אינסופית": יש גבול סופי

שאלה 4
3.33 נק'

💭 נתונה \(f(x) = \frac{2x-5}{x+3}\). מה קורה כאשר x → -∞ (ערכים שליליים גדולים)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בואו נבדוק עם ערכים שליליים גדולים! 📉

טבלת ערכים שליליים 📊
\(f(x) = \frac{2x-5}{x+3}\)

x חישוב f(x)
-10 \(\frac{-20-5}{-10+3} = \frac{-25}{-7}\) 3.571...
-100 \(\frac{-200-5}{-100+3} = \frac{-205}{-97}\) 2.113...
-1,000 \(\frac{-2000-5}{-1000+3}\) 2.010...
-10,000 \(\frac{-20000-5}{-10000+3}\) 2.001...
-∞   → 2

 

למה זה קורה? 💭
נחלק מונה ומכנה ב-x:

\(f(x) = \frac{2x-5}{x+3} = \frac{x(2 - \frac{5}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})}\)

\(= \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 + \frac{3}{x}}\)

כאשר x → -∞ 🔍
\(\frac{5}{x} \to 0\) (כי x גדול מאוד בערך מוחלט)
\(\frac{3}{x} \to 0\)

לכן:
\(f(x) \to \frac{2 - 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2\)


משני הצדדים הגרף מתקרב ל-y = 2

נקודה חשובה! ⭐
לא משנה אם x → +∞ או x → -∞:
• באותה פונקציה רציונלית
• האסימפטוטה האופקית היא אותה!
• תמיד: \(\frac{\text{מקדם מוביל במונה}}{\text{מקדם מוביל במכנה}}\)

כלל 📋
עבור \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\):
• כאשר x → +∞: f(x) → \(\frac{a}{c}\)
• כאשר x → -∞: f(x) → \(\frac{a}{c}\)
• במקרה שלנו: \(\frac{2}{1} = 2\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "0": הפונקציה לא מתאפסת
• "∞": יש גבול סופי
• "-5": זה קשור לקבוע במונה, לא לאסימפטוטה

שאלה 5
3.33 נק'

💭 מה ההבדל בין אסימפטוטה אופקית לאסימפטוטה אנכית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השוואה מקיפה 📊

אסימפטוטה אופקית 📏
צורה: y = L (קו אופקי)
מתי? כאשר x → ±∞
משמעות: הגרף מתקרב לערך קבוע
מציאה: \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)
דוגמה: \(f(x) = \frac{2x}{x+1}\) → y = 2

אסימפטוטה אנכית 📏
צורה: x = a (קו אנכי)
מתי? כאשר המכנה = 0
משמעות: הפונקציה לא מוגדרת
מציאה: פותרים מכנה = 0
דוגמה: \(f(x) = \frac{1}{x-3}\) → x = 3

טבלת השוואה 📋

  אופקית אנכית
כיוון מקבילה לציר x: ↔ מקבילה לציר y: ↕
משוואה y = L x = a
מתי? x → ±∞ נקודה לא מוגדרת
התנהגות f(x) → L f(x) → ±∞
איך מוצאים? גבול מכנה = 0

 

דוגמה מלאה 🔢
\(f(x) = \frac{3x+2}{x-1}\)

אסימפטוטה אנכית:
מכנה = 0 → x - 1 = 0 → x = 1
בנקודה זו הפונקציה לא מוגדרת

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x → ∞:
\(\frac{3x+2}{x-1} \to \frac{3}{1} = 3\)
לכן y = 3

 

כמות 🔢
פונקציה רציונלית יכולה להיות בעלת:
אסימפטוטה אופקית אחת (או אפס)
מספר אסימפטוטות אנכיות (כמספר האפסים של המכנה)

דוגמה: מספר אסימפטוטות
\(f(x) = \frac{x}{(x-1)(x+2)}\)
• אנכיות: x = 1 ו-x = -2 (שתיים!)
• אופקית: y = 0 (אחת)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אנכית לצירים": לא נכון, שתיהן מקבילות לצירים
• "תלוי בסימן": לא קשור
• "אותו דבר": הן שונות לחלוטין

שאלה 6
3.33 נק'

💭 מתי לפונקציה רציונלית אין אסימפטוטה אופקית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

כללי אסימפטוטות אופקיות 📋

מקרה 1: מעלת מונה < מעלת מכנה ✓
דוגמה: \(f(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)
• מונה: מעלה 1
• מכנה: מעלה 2
• המכנה "גדל מהר יותר"
• כאשר x → ∞: f(x) → 0
יש אסימפטוטה: y = 0

מקרה 2: מעלת מונה = מעלת מכנה ✓
דוגמה: \(f(x) = \frac{3x^2+5}{2x^2-1}\)
• מונה: מעלה 2
• מכנה: מעלה 2
• יחס המקדמים המובילים
• כאשר x → ∞: f(x) → \(\frac{3}{2}\)
יש אסימפטוטה: y = 3/2

מקרה 3: מעלת מונה > מעלת מכנה ❌
דוגמה: \(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\)
• מונה: מעלה 2
• מכנה: מעלה 1
• המונה "גדל מהר יותר"
• כאשר x → ∞: f(x) → ∞
אין אסימפטוטה אופקית!
• (אבל יש אסימפטוטה משופעת)

בואו נראה את ההבדל מספרית 🔢

מקרה שיש אסימפטוטה:
\(f(x) = \frac{3x+1}{x+2}\)

x101001,000
f(x)2.582.942.994

מתקרב ל-3! ✓

מקרה שאין אסימפטוטה:
\(g(x) = \frac{x^2+1}{x+2}\)
x101001,000
g(x)8.4298.04998

ממשיך לגדול! ❌

סיכום הכללים 📊

מצבדוגמהאסימפטוטה
מונה < מכנה\(\frac{x}{x^2}\)y = 0
מונה = מכנה\(\frac{3x^2}{2x^2}\)y = 3/2
מונה > מכנה\(\frac{x^2}{x}\)אין!

למה זה קורה? 💭
כאשר מעלת המונה גדולה יותר:
• המונה גדל מהר יותר מהמכנה
• השבר גדל לאינסוף
• אין ערך קבוע שאליו הוא מתקרב
• לכן אין אסימפטוטה אופקית

אבל! 🌟
במקרה זה יש אסימפטוטה משופעת:
y = mx + b
(זה נושא למבחן אחר)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "יש אנכית": לא קשור
• "פונקציה שלילית": לא משנה
• "תמיד יש": לא נכון, לפעמים אין

שאלה 7
3.33 נק'

💭 האם גרף יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

האמת המפתיעה! 😲
הגרף יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית!

למה זה מפתיע? 💭
רבים חושבים ש"אסימפטוטה = קו שאסור לגעת בו"
אבל זה לא נכון!

ההגדרה האמיתית 📐
אסימפטוטה אופקית y = L פירושה:
• כאשר x → ±∞, הפונקציה מתקרבת ל-L
• אין אמירה על מה קורה בערכי x סופיים!
• הגרף יכול לחתוך את y = L כמה שהוא רוצה

דוגמה קלאסית 🔢
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)

• האסימפטוטה: y = 0
• אבל הפונקציה מתנדנדת סביב y = 0
• היא חותכת את y = 0 אינסוף פעמים!
• בכל זאת, כאשר x → ∞: f(x) → 0

דוגמה פשוטה יותר 📊
\(f(x) = \frac{x^2-4}{x^2+1}\)

בואו נמצא את האסימפטוטה:
• מעלות שוות → מחלקים מקדמים
\(\frac{1}{1} = 1\)
• אסימפטוטה: y = 1

האם הגרף חותך את y = 1?
נפתור: f(x) = 1
\(\frac{x^2-4}{x^2+1} = 1\)
x² - 4 = x² + 1
-4 = 1 ✗

במקרה הזה הגרף לא חותך את האסימפטוטה.

דוגמה שבה כן חותך 🎯
\(g(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\)

אסימפטוטה: y = 1

חיתוך עם y = 1:
\(\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1\)
x² - 1 = x² + 1
-1 = 1 ✗

גם כאן לא... בואו ננסה דוגמה אחרת!

דוגמה שבטוח חותך 🌟
\(h(x) = \frac{2x^2+\sin(x)}{x^2+1}\)

• האסימפטוטה: y = 2
• אבל sin(x) גורם לתנודות
• הפונקציה חותכת את y = 2 הרבה פעמים!
• בכל זאת, כאשר x → ∞: h(x) → 2

הכלל החשוב 📋
אסימפטוטה אופקית:
• מתארת התנהגות ב-x → ±∞
לא מגבילה התנהגות בערכים סופיים
• הגרף חופשי לחתוך אותה

אסימפטוטה אנכית:
• הגרף לא יכול לחתוך אותה
• כי הפונקציה לא מוגדרת שם

סיכום 🎯
✓ גרף יכול לחתוך אסימפטוטה אופקית
✓ אפילו מספר פעמים
✓ האסימפטוטה רק מתארת מה קורה ב-∞
✗ גרף לא יכול לחתוך אסימפטוטה אנכית

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "לעולם לא": לא נכון, יכול
• "רק פעם אחת": יכול כמה פעמים
• "רק אם y=0": יכול עם כל אסימפטוטה

שאלה 8
3.33 נק'

💭 איך מוצאים אסימפטוטה אופקית של פונקציה רציונלית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השיטה המתמטית 📐
אסימפטוטה אופקית = \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)

אלגוריתם למציאה 🔍
1. מחלקים מונה ומכנה בחזקה הגבוהה של x
2. מחשבים את הגבול כש-x → ∞
3. כל \(\frac{1}{x^n} \to 0\)

דוגמה 📝
\(f(x) = \frac{3x^2+2x}{x^2-5}\)

מחלקים ב-x²:
\(= \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{5}{x^2}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{3+0}{1-0} = 3\)

אסימפטוטה: y = 3

שאלה 9
3.33 נק'

💭 מה קורה ל-\(\frac{1}{x}\) כאשר x הולך ל-∞?

הסבר:

💡 הסבר:

טבלה 📊

x101001,00010,000
1/x0.10.010.0010.0001

מסקנה: ככל ש-x גדל, \(\frac{1}{x}\) קטן ומתקרב ל-0!

גבולית:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)

שאלה 10
3.33 נק'

💭 אם \(f(x) = \frac{5}{x}\), מהי האסימפטוטה האופקית?

הסבר:

💡 הסבר:

כאשר x → ∞:
\(\frac{5}{x} \to 0\)

הסבר:
5 ÷ (מספר ענק) = מספר קטן מאוד → 0

דוגמאות:
• x = 1000 → f(x) = 0.005
• x = 10000 → f(x) = 0.0005
• x → ∞ → f(x) → 0

אסימפטוטה: y = 0 (ציר x)

שאלה 11
3.33 נק'

💭 כמה אסימפטוטות אופקיות יכולות להיות לפונקציה רציונלית?

הסבר:

💡 הסבר:

כלל חשוב 📋
פונקציה רציונלית יכולה להיות בעלת:
אפס אסימפטוטות אופקיות (אם מונה > מכנה במעלה)
אחת אסימפטוטה אופקית (אם מונה ≤ מכנה במעלה)

למה לא יותר מאחת? 💭
כי הגבול יחיד:
\(\lim_{x \to \infty} f(x)\) יכול להיות רק מספר אחד!

דוגמאות:
\(\frac{x}{x^2}\) → y = 0 ✓
\(\frac{3x}{x}\) → y = 3 ✓
\(\frac{x^2}{x}\) → אין ✓

שאלה 12
3.33 נק'

💭 מה המשמעות של \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\)?

הסבר:

💡 הסבר:

משמעות הסימון 📐
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\) אומר:
"הגבול של f(x) כאשר x שואף לאינסוף הוא 5"

במילים פשוטות 💭
ככל ש-x נהיה גדול יותר ויותר,
הערכים של f(x) מתקרבים יותר ויותר ל-5

דוגמה 📊
\(f(x) = \frac{5x+3}{x+1}\)

xf(x)
104.82
1004.98
10004.998
→∞→5

מסקנה: y = 5 היא אסימפטוטה אופקית

שאלה 13
3.33 נק'

💭 מהו הגבול \(\lim_{x \to \infty} \frac{7x+2}{x+5}\)?

הסבר:

💡 הסבר:

שיטה 1: חלוקה ב-x 📐
\(\frac{7x+2}{x+5} = \frac{x(7 + \frac{2}{x})}{x(1 + \frac{5}{x})}\)

\(= \frac{7 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{5}{x}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{7+0}{1+0} = 7\)

שיטה 2: מקדמים מובילים ⚡
מעלות שוות (1 = 1)
→ מחלקים מקדמים: 7/1 = 7

תשובה: 7
אסימפטוטה: y = 7

שאלה 14
3.33 נק'

💭 מה קורה ל-\(\frac{x}{x^2+1}\) כש-x → ∞?

הסבר:

💡 הסבר:

ניתוח 🔍
מעלת מונה: 1
מעלת מכנה: 2

מונה < מכנה → גבול הוא 0!

למה? 💭
המכנה גדל מהר יותר מהמונה
→ השבר קטן → שואף ל-0

חלוקה ב-x²:
\(\frac{x}{x^2+1} = \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}\)

כש-x → ∞:
\(\to \frac{0}{1+0} = 0\)

אסימפטוטה: y = 0

שאלה 15
3.33 נק'

💭 אם \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\), איזו אסימפטוטה יש לפונקציה?

הסבר:

💡 הסבר:

פענוח הגבול 📖
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) אומר:
"כש-x הולך לאינסוף, f(x) מתקרב ל-0"

משמעות גרפית 🎨
הגרף מתקרב לקו האופקי y = 0
זה בדיוק ציר ה-x!

דוגמאות 📝
\(f(x) = \frac{1}{x}\) → y = 0
\(f(x) = \frac{3}{x^2}\) → y = 0
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\) → y = 0

הערה חשובה ⚠️
x = 0 היא אסימפטוטה אנכית, לא אופקית!

שאלה 16
3.33 נק'

📐 מהי האסימפטוטה האופקית של \(f(x) = \frac{2x+3}{x-1}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי מעלות 🔍
• מעלת מונה: 1 (2x)
• מעלת מכנה: 1 (x)
• מעלות שוות!

שלב 2: כלל מעלות שוות ⭐
כאשר מעלת מונה = מעלת מכנה:
האסימפטוטה היא \(y = \frac{\text{מקדם מוביל במונה}}{\text{מקדם מוביל במכנה}}\)

שלב 3: חישוב 📐
• מקדם מוביל במונה: 2
• מקדם מוביל במכנה: 1
• אסימפטוטה: \(y = \frac{2}{1} = 2\)

שלב 4: אימות עם גבול 🔢
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1}\)

נחלק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)

\(= \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\)

שלב 5: בדיקה מספרית 📊

xf(x)מרחק מ-2
102.333...0.333
1002.030...0.030
1,0002.003...0.003
10,0002.0003...0.0003

רואים שמתקרבים ל-2!

תשובה סופית: y = 2

שאלה 17
3.33 נק'

📊 מצא את האסימפטוטה האופקית: \(f(x) = \frac{5x-7}{2x+3}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
מעלות: 1 = 1 (שוות)

שלב 2: מקדמים מובילים ⚡
מונה: 5x → מקדם 5
מכנה: 2x → מקדם 2

אסימפטוטה: \(y = \frac{5}{2} = 2.5\)

שלב 3: אימות בגבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{5x-7}{2x+3}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{5 - \frac{7}{x}}{2 + \frac{3}{x}} \to \frac{5}{2}\)

בדיקה:
x = 100: f(100) = 493/203 ≈ 2.4286
x = 1000: f(1000) ≈ 2.4975
→ מתקרב ל-2.5!

שאלה 18
3.33 נק'

🔍 מהי האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{3}{x+2}\)?

הסבר:

💡 הסבר:

ניתוח 🔍
מעלת מונה: 0 (קבוע)
מעלת מכנה: 1

מונה < מכנה → y = 0!

הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל מאוד:
• המכנה הופך ענק
• 3 חלקי (מספר ענק) → 0
• לכן הפונקציה → 0

גבולית:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x+2} = 0\)

הערה: x = -2 היא אסימפטוטה אנכית!

שאלה 19
3.33 נק'

📐 מצא אסימפטוטה אופקית: \(f(x) = \frac{4x+1}{3x-5}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: כלל מהיר ⚡
אסימפטוטה = \(\frac{\text{מקדם מוביל מונה}}{\text{מקדם מוביל מכנה}} = \frac{4}{3}\)

שלב 3: אימות בגבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{3x-5}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{3 - \frac{5}{x}}\)

כש-x → ∞:
\(\frac{1}{x} \to 0\)
\(\frac{5}{x} \to 0\)

\(= \frac{4 + 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}\)

שלב 4: בדיקה מספרית 📊

xחישובf(x)קרוב ל-4/3?
1041/251.64קרוב!
100401/2951.359...יותר קרוב!
10004001/29951.3355...מאוד קרוב!
4/3 = 1.333...

תשובה: \(y = \frac{4}{3} \approx 1.33\)

שאלה 20
3.33 נק'

📊 מהי האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{7}{2x-3}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת מעלות 🔍
• מעלת מונה: 0 (7 = קבוע)
• מעלת מכנה: 1 (2x)
מונה < מכנה

שלב 2: כלל חשוב ⭐
כאשר מעלת מונה < מעלת מכנה:
האסימפטוטה תמיד היא y = 0

שלב 3: הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל מאוד:
• המכנה הופך ענק: 2x - 3 → ∞
• השבר הופך קטן: \(\frac{7}{\text{ענק}} \to 0\)
• הפונקציה מתקרבת ל-0

שלב 4: חישוב גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{7}{2x-3}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x}}{2 - \frac{3}{x}}\)

\(= \frac{0}{2 - 0} = 0\)

שלב 5: בדיקה מספרית 📊

x2x-3f(x) = 7/(2x-3)
10170.4118...
1001970.0355...
1,0001,9970.00350...
10,00019,9970.000350...

מתקרב ל-0! ✓

תשובה סופית: y = 0 (ציר x)

שאלה 21
3.33 נק'

🔍 מצא אסימפטוטה: \(f(x) = \frac{-3x+8}{x+4}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: מקדמים מובילים ⚡
• במונה: -3x → מקדם = -3
• במכנה: x → מקדם = 1
• אסימפטוטה: \(y = \frac{-3}{1} = -3\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{-3x+8}{x+4}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{-3 + \frac{8}{x}}{1 + \frac{4}{x}}\)

\(\to \frac{-3 + 0}{1 + 0} = -3\)

שלב 4: בדיקה 📊
x = 100:
\(f(100) = \frac{-300+8}{100+4} = \frac{-292}{104} \approx -2.808\)

x = 1000:
\(f(1000) = \frac{-3000+8}{1000+4} \approx -2.980\)

מתקרב ל--3! ✓

הערה חשובה ⚠️
שימו לב שהאסימפטוטה שלילית!
הסימן של המקדם המוביל חשוב.

תשובה: y = -3

שאלה 22
3.33 נק'

📐 מהי האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{x-5}{2x+7}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
מעלות שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים ⚡
• מונה: x (מקדם = 1)
• מכנה: 2x (מקדם = 2)
• אסימפטוטה: \(\frac{1}{2} = 0.5\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x-5}{2x+7}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{1 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{7}{x}}\)

\(\to \frac{1}{2}\)

שלב 4: טבלה 📊

xf(x)מרחק מ-0.5
100.1850.315
1000.4590.041
10000.49590.0041
0.50

תשובה: \(y = \frac{1}{2}\)

שאלה 23
3.33 נק'

📊 אסימפטוטה של \(f(x) = \frac{10x}{5x-2}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות שוות 🔍
שתיהן במעלה 1

שלב 2: מקדמים ⚡
מונה: 10x → 10
מכנה: 5x → 5
אסימפטוטה: \(\frac{10}{5} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{10x}{5x-2}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{10}{5 - \frac{2}{x}} \to \frac{10}{5} = 2\)

שלב 4: אימות 📊
x = 100:
\(\frac{1000}{498} \approx 2.008\) ← קרוב ל-2!

x = 1000:
\(\frac{10000}{4998} \approx 2.0008\) ← יותר קרוב!

תשובה: y = 2

שאלה 24
3.33 נק'

🔍 מצא אסימפטוטה: \(f(x) = \frac{2+3x}{4x-1}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סידור מחדש 📝
נכתוב בצורה סטנדרטית:
\(f(x) = \frac{3x+2}{4x-1}\)

שלב 2: מקדמים 🔍
• מונה: 3x → 3
• מכנה: 4x → 4
• אסימפטוטה: \(\frac{3}{4} = 0.75\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{4x-1}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{1}{x}}\)

\(\to \frac{3}{4}\)

שלב 4: טבלה 📊

xf(x)
100.821...
1000.7594...
10000.7509...
0.75

תשובה: \(y = \frac{3}{4}\)

שאלה 25
3.33 נק'

📐 האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{9}{x}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
• מונה: 0 (קבוע 9)
• מכנה: 1 (x)
• מונה < מכנה → y = 0

שלב 2: הסבר 💭
\(\frac{9}{x}\) כש-x → ∞:
• x = 10 → f = 0.9
• x = 100 → f = 0.09
• x = 1000 → f = 0.009
• x → ∞ → f → 0

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{9}{x} = 0\)

הערה חשובה ⚠️
y = 0 אסימפטוטה אופקית
x = 0 אסימפטוטה אנכית
• לפונקציה זו יש שתיהן!

תשובה: y = 0

שאלה 26
3.33 נק'

📊 מהי האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{6x+5}{3x+2}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים ⚡
מונה: 6x → 6
מכנה: 3x → 3
אסימפטוטה: \(\frac{6}{3} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{6x+5}{3x+2}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{6 + \frac{5}{x}}{3 + \frac{2}{x}}\)

\(\to \frac{6}{3} = 2\)

שלב 4: בדיקה 📊

xחישובתוצאה
1065/322.031...
100605/3022.003...
10006005/30022.0003...

מתקרב ל-2! ✓

תשובה: y = 2

שאלה 27
3.33 נק'

🔍 אסימפטוטה של \(f(x) = \frac{-x+4}{2x-3}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות (1 = 1)

שלב 2: מקדמים (שימו לב לסימן!) ⚡
• מונה: -x → מקדם = -1
• מכנה: 2x → מקדם = 2
• אסימפטוטה: \(\frac{-1}{2} = -0.5\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{-x+4}{2x-3}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{-1 + \frac{4}{x}}{2 - \frac{3}{x}}\)

\(\to \frac{-1}{2} = -0.5\)

שלב 4: אימות מספרי 📊
x = 100:
\(f(100) = \frac{-100+4}{200-3} = \frac{-96}{197} \approx -0.487\)

x = 1000:
\(f(1000) = \frac{-996}{1997} \approx -0.499\)

מתקרב ל--0.5! ✓

הערה חשובה ⭐
האסימפטוטה שלילית!
אל תשכחו את הסימן של המקדם המוביל.

תשובה: \(y = -\frac{1}{2}\)

שאלה 28
3.33 נק'

📐 מצא אסימפטוטה: \(f(x) = \frac{15}{3x+7}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת מעלות 🔍
• מונה: מעלה 0 (קבוע)
• מכנה: מעלה 1
• מונה < מכנה

שלב 2: כלל ⭐
כאשר מעלת מונה < מעלת מכנה:
תמיד האסימפטוטה היא y = 0

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{15}{3x+7}\)

חילוק ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{15}{x}}{3 + \frac{7}{x}}\)

\(= \frac{0}{3 + 0} = 0\)

שלב 4: הסבר אינטואיטיבי 💭
כש-x גדל:
• המכנה: 3x + 7 → ∞
• השבר: \(\frac{15}{\text{מספר ענק}} \to 0\)

שלב 5: טבלה 📊

xf(x)
100.405...
1000.0488...
10000.00499...
0

תשובה: y = 0

שאלה 29
3.33 נק'

📊 האסימפטוטה של \(f(x) = \frac{8x-2}{4x+9}\)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מעלות 🔍
שוות: 1 = 1

שלב 2: מקדמים ⚡
• מונה: 8x → 8
• מכנה: 4x → 4
• אסימפטוטה: \(\frac{8}{4} = 2\)

שלב 3: גבול 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{8x-2}{4x+9}\)

חילוק ב-x:
\(= \frac{8 - \frac{2}{x}}{4 + \frac{9}{x}}\)

\(\to \frac{8 - 0}{4 + 0} = \frac{8}{4} = 2\)

שלב 4: אימות 📊
x = 50:
\(f(50) = \frac{398}{209} \approx 1.904\)

x = 500:
\(f(500) = \frac{3998}{2009} \approx 1.990\)

x = 5000:
\(f(5000) = \frac{39998}{20009} \approx 1.999\)

מתקרב ל-2! ✓

תשובה: y = 2

שאלה 30
3.33 נק'

🌟 מצא אסימפטוטה: \(f(x) = \frac{12x+1}{6x-5}\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי מעלות 🔍
מעלת מונה = מעלת מכנה = 1

שלב 2: חישוב מקדמים ⚡
• במונה: 12x → מקדם מוביל = 12
• במכנה: 6x → מקדם מוביל = 6
• יחס המקדמים: \(\frac{12}{6} = 2\)

שלב 3: חישוב גבול מפורט 📐
\(\lim_{x \to \infty} \frac{12x+1}{6x-5}\)

נחלק את המונה והמכנה ב-x:
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{x(12 + \frac{1}{x})}{x(6 - \frac{5}{x})}\)

\(= \lim_{x \to \infty} \frac{12 + \frac{1}{x}}{6 - \frac{5}{x}}\)

כאשר x → ∞:
\(\frac{1}{x} \to 0\)
\(\frac{5}{x} \to 0\)

\(= \frac{12 + 0}{6 - 0} = \frac{12}{6} = 2\)

שלב 4: אימות מספרי מקיף 📊

xמונה: 12x+1מכנה: 6x-5f(x)מרחק מ-2
10121552.20.2
506012952.0370.037
10012015952.0180.018
1,00012,0015,9952.0020.002
10,000120,00159,9952.00020.0002

שלב 5: הסבר גרפי 🎨
הגרף של הפונקציה:
• מתחיל רחוק מהקו y = 2
• ככל ש-x גדל, הגרף מתקרב יותר ויותר
• הגרף "רודף" אחרי הקו y = 2
• אבל אף פעם לא מגיע אליו ממש (אלא אם חותך)

סיכום 🎯
אסימפטוטה אופקית: y = 2
• זו הערך שאליו הפונקציה מתכנסת
• משני הכיוונים: x → +∞ וגם x → -∞

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 30 הושלמו