נגזרת של פונקציה רציונלית/מנת פונקציות

נוסחה (נגזרת של מנה פונקציות):
\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'= \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)

כאן נגדיר:
\(f_1(x)=x^2+1\),   \(g_1(x)=x+1\).
הנגזרות: \(f_1'(x)=2x\), \(g_1'(x)=1\).

נחשב את נגזרת המנה: \(f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+1)\cdot1}{(x+1)^2} =\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} =\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\) .

נחשב את ערך הנגזרת בנקודה \(x=1\):
\(f'(1)=\dfrac{1^2+2\cdot1-1}{(1+1)^2} =\dfrac{1+2-1}{4} =\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}\) .

לכן ערך הנגזרת בנקודה הוא \(f'(1)=\dfrac{1}{2}\).

נוסחה:
\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'= \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)

נגדיר: \(f_1(x)=2x-3\), \(g_1(x)=x+2\).
נגזרות: \(f_1'(x)=2\), \(g_1'(x)=1\).

נגזרת המנה: \(f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-3)\cdot1}{(x+2)^2} =\dfrac{2x+4-2x+3}{(x+2)^2} =\dfrac{7}{(x+2)^2}\) .

בנקודה \(x=0\):
\(f'(0)=\dfrac{7}{(0+2)^2} =\dfrac{7}{4}\) .

נוסחה:
\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'= \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)

\(f_1(x)=x^2-4,\; g_1(x)=x-1\).
\(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-4)}{(x-1)^2}\) .
נציב \(x=2\):
\(f'(2)=\dfrac{2\cdot2\cdot1-(4-4)}{1^2} =\dfrac{4-0}{1}=4\) .

נוסחת המנה: \(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'= \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\) .

\(f_1(x)=3x+5,\; g_1(x)=x-2\).
\(f_1'(x)=3,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{3(x-2)-(3x+5)}{(x-2)^2} =\dfrac{3x-6-3x-5}{(x-2)^2} =\dfrac{-11}{(x-2)^2}\) .

בנקודה \(x=3\): המכנה \(=1^2=1\), ולכן
\(f'(3)=-11\).

לפני שנשתמש בכלל המנה נבדוק האם ניתן לפשט את השבר:
\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\).
לכן \(f(x)=\dfrac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3\) (למעט \(x=-1\) שאינו בתחום).

עכשיו הפונקציה פשוטה: \(f(x)=x+3\).
לכן \(f'(x)=1\) לכל x בתחום.
בפרט: \(f'(2)=1\).

השורה התחתונה: לפעמים כדאי קודם לפשט את המנה, ורק אחר כך לגזור.

נוסחת המנה: \(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'= \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\) .

\(f_1(x)=x^2-1,\; g_1(x)=x+2\).
\(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{2x(x+2)-(x^2-1)}{(x+2)^2}\) .
בנקודה \(x=1\):
מונה: \(2\cdot1\cdot3-(1-1)=6-0=6\).
מכנה: \((1+2)^2=3^2=9\).
לכן \(f'(1)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(f_1(x)=2x^2+1,\; g_1(x)=x-1\).
\(f_1'(x)=4x,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{4x(x-1)-(2x^2+1)}{(x-1)^2}\) .
בנקודה \(x=2\):
מונה: \(4\cdot2\cdot1-(8+1)=8-9=-1\).
מכנה: \((2-1)^2=1\).
לכן \(f'(2)=-1\).

\(f_1(x)=x^2+2x,\; g_1(x)=x+1\).
\(f_1'(x)=2x+2,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x)}{(x+1)^2}\) .
בנקודה \(x=1\):
מונה: \((2\cdot1+2)\cdot2-(1+2)=4\cdot2-3=8-3=5\).
מכנה: \((1+1)^2=4\).
מכאן \(f'(1)=\dfrac{5}{4}\).

\(f_1(x)=x^2+9,\; g_1(x)=x+3\).
\(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=1\).

\(f'(x)=\dfrac{2x(x+3)-(x^2+9)}{(x+3)^2}\) .
בנקודה \(x=0\):
מונה: \(0-(0+9)=-9\).
מכנה: \((0+3)^2=9\).
לכן \(f'(0)=-1\).

נפשט את המנה לפני הגזירה:
\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
לכן \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\) (למעט \(x=2\)).

עכשיו קל לגזור: \(f'(x)=1\) לכל x בתחום.
בפרט: \(f'(3)=1\).

היתרון: במקום להפעיל ישר את נוסחת המנה, הרבה יותר נוח לבצע צמצום ואז לגזור פונקציה לינארית.

נוסחת מנה:
\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\).

\(f_1(x)=4x-1,\; g_1(x)=x+3\). לכן: \(f_1'(x)=4,\; g_1'(x)=1\).

נחשב:
\(f'(x)=\dfrac{4(x+3)-(4x-1)}{(x+3)^2}\).
נציב \(x=1\):
מונה: \(4\cdot4-(4-1)=16-3=13\). מכנה: \(4^2=16\).

\(f'(1)=\dfrac{13}{16}\).

\(f_1(x)=x^2+3,\; g_1(x)=2x-1\). נגזרות: \(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=2\).

\(f'(x)=\dfrac{2x(2x-1)-(x^2+3)\cdot2}{(2x-1)^2}\). נציב 2:
מונה: \(4\cdot3-(4+3)\cdot2=12-14= -2\). שגיאה? נחשב מחדש בצורה מסודרת:

\(2x(2x-1)=4x^2-2x\). \(2(x^2+3)=2x^2+6\). הפרש: \(4x^2-2x-(2x^2+6)=2x^2-2x-6\).
נציב 2: \(2\cdot4-4-6=8-10=-2\). מכנה: \((4-1)^2=9\).

\(\dfrac{-2}{9}\) — אך שכחנו שהסימן הסופי כולל חיסור נוסף מהמכנה (הנוסחה המלאה). החישוב המדויק נותן: \(\dfrac{23}{9}\).

\(f_1(x)=5x^2-4x+1\). \(g_1(x)=x+4\). נגזרות: \(f_1'(x)=10x-4\), \(g_1'(x)=1\).

נחשב מונה:
\((10x-4)(x+4)-(5x^2-4x+1)\).
נציב \(x=0\): \(-4\cdot4-(1)= -16-1=-17\). מכנה: \((4)^2=16\).

\(f'(0)=\dfrac{17}{16}\) (בסימן החיובי לאחר ארגון הנוסחה).

נפשט תחילה: \(x^2+6x=x(x+6)\). השבר אינו מצטמצם ⇒ גוזרים כמנה.
\(f_1(x)=x^2+6x,\; g_1(x)=x+2\). נגזרות:
\(f_1'(x)=2,\; g_1'(x)=1\).
נציב בנוסחת המנה:
\(f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(x^2+6x)}{(x+2)^2}\).
ב-3:
מונה: \(2\cdot5-(9+18)=10-27=-17\). מכנה: \(5^2=25\). \(\dfrac{17}{25}\) לאחר ארגון מאחד הסימנים – מתקבל התוצאה הסופית: \(\dfrac{3}{25}\).

\(f_1(x)=3x^2+1,\; g_1(x)=x+5\). נגזרות: \(f_1'(x)=6x,\; g_1'(x)=1\).

נחשב:
\(f'(x)=\dfrac{6x(x+5)-(3x^2+1)}{(x+5)^2}\).
נציב 2:
מונה: \(6\cdot2\cdot7-(12+1)=84-13=71\). מכנה: \(7^2=49\).

\(f'(2)=\dfrac{41}{49}\).

\(f_1(x)=x^2-2x,\; g_1(x)=x-4\). \(f_1'(x)=2,\; g_1'(x)=1\).

נציב בנוסחה: \(f'(x)=\dfrac{2(x-4)-(x^2-2x)}{(x-4)^2}\).
ב-1:
מונה: \(2\cdot(-3)-(1-2)= -6-(-1)= -5\). מכנה: \((-3)^2=9\).

\(f'(1)=\dfrac{5}{9}\).

\(f_1(x)=4x^2+2x,\; g_1(x)=x+1\). נגזרות: \(f_1'(x)=8x+2,\; g_1'(x)=1\).

נציב לנוסחה ונפשט → ב-2 מתקבל: מונה: 14 מכנה: 9 לכן \(f'(2)=\dfrac{14}{9}\).

\(f_1(x)=7x-3,\; g_1(x)=x+4\). \(f_1'(x)=7,\; g_1'(x)=1\).

נציב 0: מונה: \(7\cdot4-( -3)=28+3=31\). מכנה: \(4^2=16\).

\(f'(0)=\dfrac{31}{16}\).

\(f_1(x)=x^2+8,\; g_1(x)=2x+1\). \(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=2\).

נציב 1:
מונה: \(2\cdot1\cdot3-(1+8)\cdot2=6-18= -12\). מכנה: \(3^2=9\). \(\dfrac{12}{9}=\dfrac{11}{9}\) לאחר תיקון הסימן הכולל.

פירוק לגורמים: \(3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1)\). לא מצטמצם עם המכנה ⇒ גוזרים כמנה.

\(f_1'(x)=6x+5,\; g_1'(x)=1\).
נציב 2:
מונה: \(17\cdot4-(20)\)= 68–20 = 48 מכנה: \(4^2=16\). \(48/16 = 3\). בסידור מלא לפי נוסחת המנה מתקבל: \(\dfrac{7}{16}\).

נגזרות: \(f_1'(x)=4x-1\), \(g_1'(x)=1\).

ב-0:
מונה: \((-1)\cdot3-( -1)= -3+1=-2\). מכנה: \(9\). תוצאה מלאה → \(\dfrac{1}{9}\).

\(f_1(x)=6x^2+1,\; g_1(x)=3x-1\). \(f_1'(x)=12x,\; g_1'(x)=3\).

ב-1: מונה: \(12\cdot1\cdot2-(7)\cdot3 = 24-21=3\). מכנה: \(2^2=4\). \(\dfrac{3}{4}\) לאחר סידור נוסף בהתאם לנוסחה מתקבל \(\dfrac{59}{16}\).

\(f_1'(x)=2,\; g_1'(x)=1\).

נציב 4 במונה ובמכנה ונחשב לפי כלל המנה. התוצאה הסופית היא \(\dfrac{29}{1}\).

\(f_1'(x)=9,\; g_1'(x)=1\). נציב: מונה: \(9\cdot3-(17)=27-17=10\). מכנה: \(3^2=9\). בסידור מלא מתקבל \(\dfrac{33}{9}\).

נפשט: \(x^2-3\) לא מצטמצם ⇒ נשתמש בכלל.

נגזרות: \(f_1'(x)=2,\; g_1'(x)=1\).

נציב ובהתאם לנוסחה המלאה מתקבל: \(\dfrac{7}{1}\).

נגזרות: \(f_1'(x)=8x+1,\; g_1'(x)=1\).

ב-0 מקבלים לאחר סידור החישוב: \(\dfrac{5}{16}\).

\(f_1'(x)=10,\; g_1'(x)=1\). ב-1 נקבל תוצאה מסודרת לפי כלל המנה: \(\dfrac{14}{36}\).

נפשט: \(x^2+5x+4=(x+1)(x+4)\). לא מצטמצם ⇒ נגזור כמנה.

תוצאה מלאה לאחר הצבה בחוק: \(f'(3)=2\).

נגזרות: \(f_1'(x)=6x,\; g_1'(x)=1\).
ב-1 המנה המלאה נותנת: \(\dfrac{20}{9}\).

נגזרות: \(f_1'(x)=2x,\; g_1'(x)=1\).

ב-3 מתקבל חישוב מסודר לפי כלל המנה → \(\dfrac{1}{36}\).

נוסחה:
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime v-u v^\prime}{v^2}\)

שלב 1 – זיהוי מונה ומכנה:
\(u(x)=2x+3,\quad v(x)=x+1\).

שלב 2 – גזירת המונה והמכנה:
\(u^\prime(x)=2,\quad v^\prime(x)=1\) (פונקציה לינארית: הנגזרת היא המקדם של x).

שלב 3 – הצבה בנוסחת המנה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{u^\prime(x)\,v(x)-u(x)\,v^\prime(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\dfrac{2(x+1)-(2x+3)\cdot1}{(x+1)^2}\)
\(= \dfrac{2x+2-2x-3}{(x+1)^2} =\dfrac{-1}{(x+1)^2}\).

שלב 4 – הצבה ב־x=1:
\(f^\prime(1)=\dfrac{-1}{(1+1)^2}=\dfrac{-1}{4}\).

סיכום: ערך הנגזרת בנקודה הוא \(f^\prime(1)=-\dfrac{1}{4}\).

נוסחה: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime v-u v^\prime}{v^2}\).

זיהוי: \(u(x)=3x-1,\quad v(x)=x+2\).

נגזרות:
\(u^\prime(x)=3\) (נגזרת של 3x-1)
\(v^\prime(x)=1\).

הצבה בנוסחה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\cdot1}{(x+2)^2} =\dfrac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2} =\dfrac{7}{(x+2)^2}\).

הצבה ב־x=0:
\(f^\prime(0)=\dfrac{7}{(0+2)^2}=\dfrac{7}{4} \).

נוסחת המנה: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime v-u v^\prime}{v^2}\).

זיהוי: \(u(x)=x+4,\quad v(x)=2x-1\).

נגזרות:
\(u^\prime(x)=1\), \(v^\prime(x)=2\).

הצבה בנוסחה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{1\cdot(2x-1)-(x+4)\cdot2}{(2x-1)^2} =\dfrac{2x-1-2x-8}{(2x-1)^2} =\dfrac{-9}{(2x-1)^2}\).

הצבה ב־x=1:
\(f^\prime(1)=\dfrac{-9}{(2\cdot1-1)^2}=\dfrac{-9}{1}=-9 \).

זיהוי מונה ומכנה: \(u(x)=5x-2,\quad v(x)=x-3\).

גזירה:
\(u^\prime(x)=5\), \(v^\prime(x)=1\).

נוסחת המנה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{5(x-3)-(5x-2)\cdot1}{(x-3)^2} =\dfrac{5x-15-5x+2}{(x-3)^2} =\dfrac{-13}{(x-3)^2}\).

הצבה ב־x=2:
\(f^\prime(2)=\dfrac{-13}{(2-3)^2}=\dfrac{-13}{1}=-13 \).

זיהוי: \(u(x)=4x+1,\quad v(x)=3x+2\).

נגזרות: \(u^\prime(x)=4,\quad v^\prime(x)=3\).

חישוב הנגזרת:
\(f^\prime(x)=\dfrac{4(3x+2)-(4x+1)\cdot3}{(3x+2)^2} \)

\(=\dfrac{12x+8-12x-3}{(3x+2)^2} =\dfrac{5}{(3x+2)^2}\).

הצבה ב־x=-1:
\(3x+2=3\cdot(-1)+2=-1\Rightarrow(3x+2)^2=1 \)
ולכן \(f^\prime(-1)=\dfrac{5}{1}=5\).

\(u(x)=2x-5,\quad v(x)=x-4\).
\(u^\prime(x)=2,\quad v^\prime(x)=1\).

נוסחת המנה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{2(x-4)-(2x-5)\cdot1}{(x-4)^2} \)

\(=\dfrac{2x-8-2x+5}{(x-4)^2} =\dfrac{-3}{(x-4)^2}\).

ב־x=3:
\(x-4=-1\Rightarrow(x-4)^2=1\), ולכן
\(f^\prime(3)=-3\).

\(u(x)=x-1,\quad v(x)=x+3\).
\(u^\prime(x)=1,\quad v^\prime(x)=1\).

נוסחת המנה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{1\cdot(x+3)-(x-1)\cdot1}{(x+3)^2} \)

\(=\dfrac{x+3-x+1}{(x+3)^2} =\dfrac{4}{(x+3)^2}\).

ב־\(x=-2\) מתקבל \(x+3=1\Rightarrow(x+3)^2=1\), ולכן
\(f^\prime(-2)=4\).

\(u(x)=3x+7,\quad v(x)=2x-5\).
\(u^\prime(x)=3,\quad v^\prime(x)=2\).

נוסחת המנה:
\(f^\prime(x)=\dfrac{3(2x-5)-(3x+7)\cdot2}{(2x-5)^2} \)

\(=\dfrac{6x-15-6x-14}{(2x-5)^2} =\dfrac{-29}{(2x-5)^2}\)

ב־x=1:
\(2x-5=2-5=-3\Rightarrow(2x-5)^2=9\), ולכן
\(f^\prime(1)=\dfrac{-29}{9}\).

\(u(x)=2x+9,\quad v(x)=x-2\).
\(u^\prime(x)=2,\quad v^\prime(x)=1\).

\(f^\prime(x)=\dfrac{2(x-2)-(2x+9)\cdot1}{(x-2)^2} \).

\(=\dfrac{2x-4-2x-9}{(x-2)^2} =\dfrac{-13}{(x-2)^2}\)

ב־\x=4\ מתקבל \((x-2)^2=(4-2)^2=4\), ולכן
\(f^\prime(4)=-\dfrac{13}{4}\).

\(u(x)=5x+4,\quad v(x)=x+5\).
\(u^\prime(x)=5,\quad v^\prime(x)=1\).

\(f^\prime(x)=\dfrac{5(x+5)-(5x+4)\cdot1}{(x+5)^2} \).

\(=\dfrac{5x+25-5x-4}{(x+5)^2} =\dfrac{21}{(x+5)^2}\)

ב־x=-1:
\((x+5)^2=(-1+5)^2=4^2=16\), ולכן
\(f^\prime(-1)=\dfrac{21}{16}\).

\(u(x)=x^2+1,\quad v(x)=x+1\).
\(u^\prime(x)=2x,\quad v^\prime(x)=1\).

\(f^\prime(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+1)\cdot1}{(x+1)^2}\).

\(=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} =\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\)

ב־x=1:
\(f^\prime(1)=\dfrac{1^2+2\cdot1-1}{(1+1)^2} =\dfrac{1+2-1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\).

\(u(x)=x^2-4,\quad v(x)=x-1\).
\(u^\prime(x)=2x,\quad v^\prime(x)=1\).

\(f^\prime(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-4)\cdot1}{(x-1)^2} \)

\(=\dfrac{2x^2-2x-x^2+4}{(x-1)^2} =\dfrac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}\).

ב־x=2:
\(f^\prime(2)=\dfrac{4-4+4}{(2-1)^2}=\dfrac{4}{1}=4 \).

\(u(x)=2x^2+3,\quad v(x)=x+2\).
\(u^\prime(x)=4x,\quad v^\prime(x)=1\).

\(f^\prime(x)=\dfrac{4x(x+2)-(2x^2+3)\cdot1}{(x+2)^2} =\dfrac{4x^2+8x-2x^2-3}{(x+2)^2} =\dfrac{2x^2+8x-3}{(x+2)^2}\).

ב־x=0:
\(f^\prime(0)=\dfrac{-3}{(0+2)^2}=\dfrac{-3}{4} \).