אינטגרל מסוים - בסיס הבנה

💡 הסבר מפורט:

הגדרה: אינטגרל מסוים 📐
אינטגרל מסוים הוא מספר שמחושב על ידי:
1. מציאת פונקציה קדומה F(x)
2. הצבה בגבול העליון b
3. הצבה בגבול התחתון a
4. חיסור: F(b) - F(a)

הסימון המתמטי 📝
\(\int_a^b f(x)dx\)

קוראים: "אינטגרל מ-a עד b של f(x)"

• a = גבול תחתון (נקודת התחלה)
• b = גבול עליון (נקודת סיום)

המשמעות הגיאומטרית 🎨
האינטגרל המסוים מייצג את השטח מתחת לגרף:
• בין הגרף y = f(x)
• ציר ה-x
• הקווים האנכיים x = a ו-x = b

חישוב מתמטי 📊
\(\int_0^2 x \, dx\)

שלב 1: פונקציה קדומה
F(x) = x²/2

שלב 2: הצבה
\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2\)
= F(2) - F(0)
= 2²/2 - 0²/2
= 2 - 0
= 2 ✓

ההבדל העיקרי מאינטגרל לא מסוים 📋

דוגמה נוספת 🔢
\(\int_1^3 x^2 \, dx\)

שלב 1: F(x) = x³/3
שלב 2: F(3) = 3³/3 = 27/3 = 9
שלב 3: F(1) = 1³/3 = 1/3
שלב 4: 9 - 1/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3

תוצאה: מספר 26/3 ≈ 8.67

למה זה נקרא "מסוים"? 💭
כי התוצאה מסוימת - מספר קבוע ומוגדר!
לא תלוי ב-C, לא משתנה, תמיד אותה תשובה.

נוסחה כללית ⭐
\(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b\)

כאשר F(x) היא פונקציה קדומה של f(x)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "פונקציה + C": זה אינטגרל לא מסוים
• "נגזרת": זו פעולה אחרת
• "סכום": לא מדויק, זה שטח

💡 הסבר מפורט:

הסיבה ש-C מתבטל 🎯

חישוב מפורט 📐
נניח F(x) + C היא הפונקציה הקדומה הכללית.

\(\int_a^b f(x)dx = [F(x) + C]_a^b\)

= (F(b) + C) - (F(a) + C)
= F(b) + C - F(a) - C
= F(b) - F(a) + C - C
= F(b) - F(a)

ה-C התבטל! ✓

דוגמה מספרית 🔢
\(\int_0^2 2x \, dx\)

עם C:
F(x) = x² + C

חישוב:
= (2² + C) - (0² + C)
= (4 + C) - (0 + C)
= 4 + C - 0 - C
= 4

בלי C:
F(x) = x²

חישוב:
= 2² - 0²
= 4 - 0
= 4

אותה תוצאה! ✓

למה זה קורה? 💭
ה-C מופיע בשני המקומות:
• פעם אחת ב-F(b)
• פעם שנייה ב-F(a)

בחיסור הם מבטלים זה את זה!

דוגמה עם C שונים 📊
נניח מישהו לקח C = 5 ומישהו אחר C = -3

אדם 1 (C = 5):
F(x) = x² + 5
(2² + 5) - (0² + 5) = 9 - 5 = 4 ✓

אדם 2 (C = -3):
F(x) = x² - 3
(2² - 3) - (0² - 3) = 1 - (-3) = 4 ✓

אותה תוצאה! לא משנה איזה C בוחרים!

הוכחה אלגברית 📐
נוסחה כללית:
\(\int_a^b f(x)dx = [F(x) + C]_a^b\)

= F(b) + C - F(a) - C
= F(b) - F(a) + (C - C)
= F(b) - F(a) + 0
= F(b) - F(a)

מסקנה חשובה ⭐
באינטגרל מסוים:
• לא צריך לכתוב +C
• אפשר לכתוב, אבל זה מיותר
• התוצאה תמיד תהיה אותו מספר
• C לא משפיע על התשובה הסופית

טעות נפוצה ❌
לכתוב:
\(\int_0^2 x dx = \frac{x^2}{2} + C = 2 + C\) ✗

נכון:
\(\int_0^2 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2\) ✓

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אין צורך": נכון, אבל לא מסביר למה
• "כלל מתמטי": יש סיבה לוגית
• "גבולות מבטלים": לא מדויק, החיסור מבטל

💡 הסבר מפורט:

הגבולות באינטגרל מסוים 📐

סימון והגדרות 📝
\(\int_a^b f(x)dx\)

• a = גבול תחתון (lower limit)
• b = גבול עליון (upper limit)
• מחשבים את השטח בין x = a לבין x = b

דוגמה 1: \(\int_1^3 x^2 dx\) 🔢
• a = 1 (מתחילים ב-x = 1)
• b = 3 (מסיימים ב-x = 3)
• מחשבים שטח מתחת ל-y = x² בין x = 1 ל-x = 3

דוגמה 2: \(\int_0^5 2x dx\) 📊
• a = 0 (מתחילים ב-x = 0)
• b = 5 (מסיימים ב-x = 5)
• מחשבים שטח מתחת ל-y = 2x בין x = 0 ל-x = 5

איך משתמשים בהם? 🔍
שלב 1: מוצאים פונקציה קדומה F(x)
שלב 2: מציבים את b: F(b)
שלב 3: מציבים את a: F(a)
שלב 4: מחסרים: F(b) - F(a)

דוגמה מלאה 📐
\(\int_2^4 3x^2 dx\)

a = 2, b = 4

שלב 1: F(x) = x³
שלב 2: F(4) = 4³ = 64
שלב 3: F(2) = 2³ = 8
שלב 4: 64 - 8 = 56

סדר הגבולות חשוב! ⚠️
• a מתחת (למטה)
• b מעל (למעלה)

אם הופכים את הסדר:
\(\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx\)

דוגמה:
\(\int_4^2 x dx = -\int_2^4 x dx\)

טבלת דוגמאות 📋

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "מקדמים": אלו לא מקדמים של הפונקציה
• "ערכי הפונקציה": אלו ערכי x, לא y
• "נגזרות": אין קשר לנגזרות

💡 הסבר מפורט:

המשפט היסודי של החשבון ⭐

הנוסחה 📐
אם F(x) היא פונקציה קדומה של f(x),
כלומר F'(x) = f(x),
אז:
\(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)

משמעות המשפט 💭
המשפט מקשר בין שני מושגים:
1. אינטגרל (שטח)
2. פונקציה קדומה (אנטי-נגזרת)

הוא אומר: כדי לחשב שטח, מספיק למצוא פונקציה קדומה!

דוגמה 1 🔢
חשב: \(\int_1^3 2x dx\)

שלב 1: מוצאים F(x)
f(x) = 2x
F(x) = x² (כי (x²)' = 2x)

שלב 2: מיישמים את המשפט
\(\int_1^3 2x dx = F(3) - F(1)\)
= 3² - 1²
= 9 - 1
= 8

דוגמה 2 📊
חשב: \(\int_0^2 x^2 dx\)

שלב 1: F(x) = x³/3

שלב 2: מיישמים
= F(2) - F(0)
= 2³/3 - 0³/3
= 8/3 - 0
= 8/3

למה המשפט עובד? 🤔
זה הקשר בין אינטגרל לנגזרת!

• נגזרת מודדת שינוי מיידי
• אינטגרל מצבר את כל השינויים
• לכן F(b) - F(a) = סך כל השינויים = השטח!

הסימון המקובל 📝
כותבים:
\(\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b\)

הסוגריים [] עם התחתון והעליון אומרים:
"תציב את b, תציב את a, ותחסר"

טבלת דוגמאות 📋

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "חיבור": צריך לחסר, לא לחבר
• "כפל": צריך לחסר, לא לכפול
• "חילוק": צריך לחסר, לא לחלק

💡 הסבר:

למה תמיד מספר? 🔢

התהליך 📐
1. F(b) = מספר ספציפי
2. F(a) = מספר ספציפי
3. F(b) - F(a) = מספר - מספר = מספר!

דוגמה 📊
\(\int_0^2 x dx\)

F(x) = x²/2
F(2) = 4/2 = 2 (מספר)
F(0) = 0/2 = 0 (מספר)
2 - 0 = 2 (מספר) ✓

לעומת אינטגרל לא מסוים:
\(\int x dx = \frac{x^2}{2} + C\) (פונקציה!)

💡 הסבר:

הפיכת גבולות ⭐
כאשר מחליפים את סדר הגבולות, מקבלים מינוס!

\(\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx\)

למה? 💭
\(\int_b^a f(x)dx = F(a) - F(b)\)
= -(F(b) - F(a))
= \(-\int_a^b f(x)dx\)

דוגמה:
\(\int_3^1 x dx = -\int_1^3 x dx\)

חישוב:
\(\int_1^3 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4\)

\(\int_3^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_3^1 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -4\) ✓

💡 הסבר:

אינטגרל מנקודה לאותה נקודה 📐
\(\int_a^a f(x)dx = F(a) - F(a) = 0\)

משמעות: אין שטח בין נקודה לעצמה!

דוגמאות:
• \(\int_2^2 x dx = 0\)
• \(\int_5^5 x^2 dx = 0\)
• \(\int_0^0 100x dx = 0\)

💡 הסבר:

כלל הסכום באינטגרל מסוים ⭐
אינטגרל של סכום = סכום של אינטגרלים

\(\int_a^b (f+g) dx = \int_a^b f dx + \int_a^b g dx\)

דוגמה:
\(\int_0^2 (x+3) dx\)
= \(\int_0^2 x dx + \int_0^2 3 dx\)
= \(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 + [3x]_0^2\)
= 2 + 6 = 8

💡 הסבר:

הוצאת קבוע מאינטגרל מסוים 📐
\(\int_a^b cf(x) dx = c\int_a^b f(x) dx\)

דוגמה:
\(\int_0^1 5x^2 dx = 5\int_0^1 x^2 dx\)
= \(5 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\)
= \(5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\)

💡 הסבר:

חיבור אינטגרלים 📐
אם c נמצא בין a ל-b, אז:
\(\int_a^c f dx + \int_c^b f dx = \int_a^b f dx\)

משמעות: שטח מ-a ל-c + שטח מ-c ל-b = שטח מ-a ל-b

דוגמה:
\(\int_0^2 x dx + \int_2^4 x dx = \int_0^4 x dx\)

בדיקה:
• \(\int_0^2 x dx = 2\)
• \(\int_2^4 x dx = 6\)
• סכום: 8
• \(\int_0^4 x dx = 8\) ✓

💡 הסבר מפורט:

אינטגרל שלילי 📐

מתי מקבלים תוצאה שלילית? 🔍
כאשר הפונקציה f(x) היא שלילית בתחום [a, b],
כלומר הגרף נמצא מתחת לציר x.

דוגמה 1 🔢
\(\int_0^2 (-x) dx\)

f(x) = -x שלילי בין 0 ל-2

חישוב:
F(x) = -x²/2
= -2²/2 - (-0²/2)
= -2 - 0
= -2

תוצאה שלילית! ✓

דוגמה 2 📊
\(\int_1^3 (x-5) dx\)

בתחום [1,3]: x-5 שלילי (כי x < 5)

חישוב:
F(x) = x²/2 - 5x
F(3) = 9/2 - 15 = -21/2
F(1) = 1/2 - 5 = -9/2
-21/2 - (-9/2) = -12/2 = -6

כלל החיווי ⭐
• אינטגרל חיובי: שטח מעל ציר x
• אינטגרל שלילי: שטח מתחת לציר x
• אינטגרל אפס: שטחים מתבטלים

שטח מעורב 📐
אם הפונקציה חיובית בחלק ושלילית בחלק:
אינטגרל = שטח חיובי - שטח שלילי

דוגמה לשטח מעורב 🎯
\(\int_{-1}^1 x dx\)

• בין -1 ל-0: x שלילי (שטח שלילי)
• בין 0 ל-1: x חיובי (שטח חיובי)

חישוב:
\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)

השטחים מתבטלים!

הערה חשובה ⚠️
אם רוצים שטח ממשי (תמיד חיובי),
צריך לחשב: \(\int_a^b |f(x)| dx\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "טעות": זו לא טעות, זה נכון מתמטית
• "לא מוגדר": האינטגרל מוגדר היטב
• "גבולות הפוך": זו סיבה אחרת לשלילי

💡 הסבר מפורט:

אינטגרל של קבוע 📐

הנוסחה ⭐
\(\int_a^b k \, dx = k(b-a)\)

גזירה של הנוסחה 🔍
שלב 1: פונקציה קדומה של k
F(x) = kx

שלב 2: הצבה בגבולות
\([kx]_a^b = kb - ka = k(b-a)\)

דוגמה 1 🔢
\(\int_2^5 3 \, dx\)

k = 3, a = 2, b = 5

= 3(5 - 2)
= 3 · 3
= 9

בדיקה ידנית:
F(x) = 3x
F(5) = 15
F(2) = 6
15 - 6 = 9 ✓

דוגמה 2 📊
\(\int_0^4 7 \, dx\)

= 7(4 - 0)
= 7 · 4
= 28

דוגמה 3 🎯
\(\int_1^1 100 \, dx\)

= 100(1 - 1)
= 100 · 0
= 0

(גבול זהה → תוצאה אפס)

משמעות גיאומטרית 🎨
שטח מלבן:
• גובה: k
• רוחב: (b - a)
• שטח: גובה × רוחב = k(b - a)

טבלת דוגמאות 📋

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "k·ab": לא כופלים את הגבולות
• "k(b+a)": מחסרים, לא מחברים
• "kb": חסר ה-a

💡 הסבר מפורט:

מתי אינטגרל שווה אפס? 📐

שלושה מקרים אפשריים 🔍

מקרה 1: גבולות זהים ⭐
\(\int_a^a f(x)dx = 0\)

דוגמה:
\(\int_3^3 x^2 dx = 0\)

אין שטח בין נקודה לעצמה!

מקרה 2: הפונקציה אפס 📊
f(x) = 0 בכל התחום [a, b]

דוגמה:
\(\int_0^5 0 \, dx = 0\)

אין שטח מתחת לציר x!

מקרה 3: איזון שטחים 🎯
שטח חיובי = שטח שלילי

דוגמה:
\(\int_{-2}^2 x \, dx\)

חישוב:
\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^2\)
= 4/2 - 4/2
= 2 - 2
= 0

למה? כי:
• בין -2 ל-0: שטח שלילי
• בין 0 ל-2: שטח חיובי
• הם שווים בגודל → מתבטלים!

דוגמה נוספת לאיזון 📐
\(\int_{-1}^1 x^3 dx\)

חישוב:
\(\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1\)
= 1/4 - 1/4
= 0

גם כאן שטחים מתבטלים!

פונקציות אי-זוגיות 🌟
אם f(x) אי-זוגית (כלומר f(-x) = -f(x))
ואינטגרציה סביב 0:
\(\int_{-a}^a f(x)dx = 0\)

דוגמאות לפונקציות אי-זוגיות:
• f(x) = x
• f(x) = x³
• f(x) = sin(x)

טבלת דוגמאות 📋

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אפס בכל התחום": זו רק אפשרות אחת
• "טעות": זו תוצאה לגיטימית
• "גבולות שווים": זו רק אפשרות אחת

💡 הסבר מפורט:

שיטת בדיקה ✓

שלב 1: בדיקת הפונקציה הקדומה 📐
אם טענו ש-\(\int f(x)dx = F(x) + C\)
בודקים: F'(x) = f(x)?

דוגמה לבדיקת פונקציה קדומה 🔢
טענה: \(\int 3x^2 dx = x^3 + C\)

בדיקה:
(x³)' = 3x² ✓

הפונקציה הקדומה נכונה!

שלב 2: בדיקת החישוב המספרי 📊
אם חישבנו:
\(\int_a^b f(x)dx = N\)

בודקים:
1. הפונקציה הקדומה נכונה? (נגזרת)
2. ההצבות נכונות? (F(b) ו-F(a))
3. החיסור נכון? (F(b) - F(a))

דוגמה מלאה לבדיקה 🎯
טענה: \(\int_1^3 2x dx = 8\)

בדיקה מלאה:
שלב 1: מה הפונקציה הקדומה?
F(x) = x²

שלב 2: נגזרת נכונה?
(x²)' = 2x ✓

שלב 3: הצבה ב-3:
F(3) = 3² = 9 ✓

שלב 4: הצבה ב-1:
F(1) = 1² = 1 ✓

שלב 5: חיסור:
9 - 1 = 8 ✓

הכל נכון!

דוגמה לטעות נפוצה ❌
טענה: \(\int_0^2 x dx = 4\)

בדיקה:
F(x) = x²/2
F(2) = 4/2 = 2
F(0) = 0
2 - 0 = 2 ✗

התשובה הנכונה היא 2, לא 4!

טעות נוספת: פונקציה קדומה שגויה ❌
טענה: \(\int_1^2 2x dx = 2\) (בהנחה ש-F(x) = 2x²)

בדיקה:
(2x²)' = 4x ≠ 2x ✗

הפונקציה הקדומה שגויה!
הנכונה: F(x) = x²

רשימת בדיקות 📋

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "הצבת 0": לא רלוונטי לבדיקה
• "השוואה": לא מבטיח נכונות
• "חישוב שוב": לא מגלה טעות שיטתית

💡 הסבר מפורט:

השוואת תחומים 📐

אינטגרל 1: \(\int_0^2 x dx\) 🔢
• תחום: [0, 2]
• מחשב שטח בין x=0 ל-x=2

חישוב:
\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2\)

אינטגרל 2: \(\int_2^4 x dx\) 📊
• תחום: [2, 4]
• מחשב שטח בין x=2 ל-x=4

חישוב:
\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^4 = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6\)

ההבדלים 🔍
1. תחומים שונים: [0,2] לעומת [2,4]
2. תוצאות שונות: 2 לעומת 6
3. שטחים באזורים שונים של הגרף

למה התוצאות שונות? 💭
למרות ששני התחומים באורך 2,
הפונקציה f(x) = x גדלה!

• בתחום [0,2]: ערכי x קטנים (0 עד 2)
• בתחום [2,4]: ערכי x גדולים (2 עד 4)

לכן השטח השני גדול יותר!

טבלת השוואה 📋

דוגמה נוספת 🎯
השווה:
\(\int_0^1 x^2 dx\) ו-\(\int_1^2 x^2 dx\)

אינטגרל 1:
\(\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)

אינטגרל 2:
\(\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)

גם כאן התוצאות שונות מאוד!

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אין הבדל": יש הבדל משמעותי
• "הראשון קטן": נכון אבל לא מסביר למה
• "מתחיל מאפס": נכון אבל לא מסביר את ההבדל

💡 הסבר:

משתנה אינטגרציה (משתנה אילם) 📐

העיקרון ⭐
המשתנה בפנים האינטגרל הוא "דמה" -
הוא נעלם אחרי החישוב!

לכן:
\(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(s)ds\)

דוגמה 🔢
\(\int_0^2 x dx = \int_0^2 t dt = \int_0^2 u du\)

כולם שווים ל-2!

למה? 💭
כי בסוף מציבים מספרים:
F(2) - F(0) = תוצאה מספרית

שם המשתנה לא משנה!

💡 הסבר מפורט:

טעות נפוצה! ❌

זה לא נכון! 🚨
\(\int_a^b x^2 dx \neq \left[\int_a^b x dx\right]^2\)

בדיקה מספרית 🔢
נבדוק עם a=0, b=2:

צד שמאל:
\(\int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}\)

צד ימין:
\(\left[\int_0^2 x dx\right]^2 = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2^2 = 2^2 = 4\)

8/3 ≠ 4 ✗

למה זה לא עובד? 💭
אינטגרל הוא אופרטור לינארי:
• \(\int (f+g) = \int f + \int g\) ✓
• \(\int cf = c\int f\) ✓

אבל לא:
• \(\int f^2 \neq (\int f)^2\) ✗
• \(\int fg \neq \int f \cdot \int g\) ✗

הכלל הנכון ✓
\(\int_a^b x^n dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b\)

כל חזקה נפרדת!

💡 הסבר:

תכונת החיבור ⭐
אם a < b < c, אז:
\(\int_a^b f dx + \int_b^c f dx = \int_a^c f dx\)

דוגמה 🔢
\(\int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx\)

= \(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^3\)
= (1/2 - 0) + (9/2 - 1/2)
= 1/2 + 4
= 9/2

או ישירות:
\(\int_0^3 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3 = 9/2\) ✓

משמעות: שטח מ-a ל-b + שטח מ-b ל-c
= שטח מ-a ל-c

💡 הסבר:

הוצאת קבוע 📐
\(\int_a^b cf(x)dx = c\int_a^b f(x)dx\)

דוגמה 🔢
\(\int_0^1 3x dx\)

דרך 1:
= \(3\int_0^1 x dx\)
= \(3 \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1\)
= 3 · 1/2
= 3/2

דרך 2:
\(\int_0^1 3x dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_0^1 = 3/2\) ✓

משמעות גיאומטרית:
כפל הפונקציה ב-c = כפל השטח ב-c

💡 הסבר:

אינטגרל מוכלל 📐
אינטגרל שבו אחד או יותר מהמקרים הבאים:
1. אחד הגבולות אינסופי
2. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה

דוגמה 1: גבול אינסופי 🔢
\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx\)

מחושב באמצעות גבול:
\(\lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} dx\)

דוגמה 2: אי-רציפות 📊
\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)

בעיה: הפונקציה לא מוגדרת ב-x=0
פותרים עם גבול

הערה: נושא מתקדם יותר בקורס!

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת פונקציה קדומה 📐
f(x) = x = x¹

לפי כלל החזקה:
F(x) = x²/2

שלב 2: רישום עם גבולות 📝
\(\int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1\)

שלב 3: הצבה בגבול העליון 🔢
F(1) = 1²/2 = 1/2

שלב 4: הצבה בגבול התחתון 🔢
F(0) = 0²/2 = 0

שלב 5: חיסור ✂️
F(1) - F(0) = 1/2 - 0 = 1/2

בדיקה ✓
נגזרת: (x²/2)' = 2x/2 = x ✓
הפונקציה הקדומה נכונה!

משמעות גיאומטרית 🎨
שטח משולש עם בסיס 1 וגובה 1:
שטח = 1/2 · 1 · 1 = 1/2 ✓

תשובה: 1/2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פונקציה קדומה 📐
f(x) = x²
F(x) = x³/3

שלב 2: רישום 📝
\(\int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2\)

שלב 3: הצבת גבול עליון 🔢
F(2) = 2³/3 = 8/3

שלב 4: הצבת גבול תחתון 🔢
F(0) = 0³/3 = 0

שלב 5: חיסור ✂️
8/3 - 0 = 8/3

בדיקה ✓
(x³/3)' = 3x²/3 = x² ✓

תשובה: 8/3 ≈ 2.67

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פונקציה קדומה 📐
f(x) = x
F(x) = x²/2

שלב 2: רישום עם גבולות 📝
\(\int_1^2 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2\)

שלב 3: הצבה בגבול עליון 🔢
F(2) = 2²/2 = 4/2 = 2

שלב 4: הצבה בגבול תחתון 🔢
F(1) = 1²/2 = 1/2

שלב 5: חיסור ✂️
2 - 1/2 = 4/2 - 1/2 = 3/2

בדיקה ✓
(x²/2)' = x ✓

הערה 💡
שים לב שהתוצאה שונה מ-\(\int_0^1 x dx\) שהיה 1/2,
למרות שגם כאן אורך התחום הוא 1.
זה כי ערכי הפונקציה גבוהים יותר!

תשובה: 3/2 = 1.5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int_0^3 2x dx = 2\int_0^3 x dx\)

שלב 2: פונקציה קדומה 📝
f(x) = x
F(x) = x²/2

שלב 3: חישוב האינטגרל 🔢
\(2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3\)

= 2(F(3) - F(0))
= 2(9/2 - 0)
= 2 · 9/2
= 9

או ישירות:
F(x) = 2 · x²/2 = x²
\([x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9\)

בדיקה ✓
(x²)' = 2x ✓

תשובה: 9

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 📐
זהו אינטגרל של קבוע!
f(x) = 3

שלב 2: נוסחה לקבוע ⭐
\(\int_a^b k dx = k(b-a)\)

כאשר k = 3, a = 1, b = 3

שלב 3: הצבה 🔢
= 3(3 - 1)
= 3 · 2
= 6

או בדרך הארוכה:
F(x) = 3x
\([3x]_1^3 = 3(3) - 3(1) = 9 - 3 = 6\)

בדיקה ✓
(3x)' = 3 ✓

משמעות גיאומטרית 🎨
שטח מלבן: גובה 3, רוחב 2
שטח = 3 × 2 = 6 ✓

תשובה: 6

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק לסכום 📐
\(\int_0^1 (x+1) dx = \int_0^1 x dx + \int_0^1 1 dx\)

שלב 2: חישוב החלק הראשון 🔢
\(\int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\)

שלב 3: חישוב החלק השני 📊
\(\int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1\)

שלב 4: סכום ✂️
1/2 + 1 = 1/2 + 2/2 = 3/2

או ישירות:
F(x) = x²/2 + x
\(\left[\frac{x^2}{2} + x\right]_0^1\)
= (1/2 + 1) - (0 + 0)
= 3/2

בדיקה ✓
(x²/2 + x)' = x + 1 ✓

תשובה: 3/2 = 1.5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פונקציה קדומה 📐
f(x) = x²
F(x) = x³/3

שלב 2: רישום 📝
\(\int_1^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2\)

שלב 3: הצבה בגבול עליון 🔢
F(2) = 2³/3 = 8/3

שלב 4: הצבה בגבול תחתון 🔢
F(1) = 1³/3 = 1/3

שלב 5: חיסור ✂️
8/3 - 1/3 = 7/3

בדיקה ✓
(x³/3)' = 3x²/3 = x² ✓

טבלת ביניים 📋

תשובה: 7/3 ≈ 2.33

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int_0^2 (2x+3) dx = \int_0^2 2x dx + \int_0^2 3 dx\)

שלב 2: חלק ראשון 🔢
\(\int_0^2 2x dx = [x^2]_0^2 = 4 - 0 = 4\)

שלב 3: חלק שני 📊
\(\int_0^2 3 dx = [3x]_0^2 = 6 - 0 = 6\)

שלב 4: סכום ✂️
4 + 6 = 10

או ישירות:
F(x) = x² + 3x
\([x^2 + 3x]_0^2\)
= (4 + 6) - (0 + 0)
= 10

בדיקה ✓
(x² + 3x)' = 2x + 3 ✓

תשובה: 10

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int_1^3 5x^2 dx = 5\int_1^3 x^2 dx\)

שלב 2: פונקציה קדומה 📝
F(x) = x³/3

שלב 3: חישוב 🔢
\(5\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3\)

= 5(F(3) - F(1))
= 5(27/3 - 1/3)
= 5(26/3)
= 130/3

פירוט החישוב:
F(3) = 3³/3 = 27/3 = 9
F(1) = 1³/3 = 1/3
הפרש: 9 - 1/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3
כפול 5: 5 · 26/3 = 130/3

בדיקה ✓
(5x³/3)' = 5 · 3x²/3 = 5x² ✓

תשובה: 130/3 ≈ 43.33

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int_0^1 (x^2+x) dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_0^1 x dx\)

שלב 2: חלק ראשון 🔢
\(\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)

שלב 3: חלק שני 📊
\(\int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\)

שלב 4: סכום ✂️
1/3 + 1/2 = ?

מכנה משותף: 6
1/3 = 2/6
1/2 = 3/6
סכום: 2/6 + 3/6 = 5/6

או ישירות:
F(x) = x³/3 + x²/2
\(\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1\)
= (1/3 + 1/2) - 0
= 5/6

בדיקה ✓
(x³/3 + x²/2)' = x² + x ✓

תשובה: 5/6 ≈ 0.83

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כתיבה כחזקה 📐
\(\sqrt{x} = x^{1/2}\)

שלב 2: פונקציה קדומה 📝
לפי כלל החזקה:
\(\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2x^{3/2}}{3}\)

שלב 3: רישום 🔢
\(\int_1^4 \sqrt{x} dx = \left[\frac{2x^{3/2}}{3}\right]_1^4\)

שלב 4: הצבה בגבול עליון 📊
F(4) = 2·4^(3/2)/3
4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8
F(4) = 2·8/3 = 16/3

שלב 5: הצבה בגבול תחתון 🔍
F(1) = 2·1^(3/2)/3
1^(3/2) = 1
F(1) = 2·1/3 = 2/3

שלב 6: חיסור ✂️
16/3 - 2/3 = 14/3

בדיקה ✓
\(\left(\frac{2x^{3/2}}{3}\right)' = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2}}{3} = x^{1/2} = \sqrt{x}\) ✓

תשובה: 14/3 ≈ 4.67

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int_0^3 (x^2-x) dx = \int_0^3 x^2 dx - \int_0^3 x dx\)

שלב 2: חלק ראשון 🔢
\(\int_0^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3\)
= 27/3 - 0
= 9

שלב 3: חלק שני 📊
\(\int_0^3 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3\)
= 9/2 - 0
= 9/2

שלב 4: חיסור ✂️
9 - 9/2 = 18/2 - 9/2 = 9/2

או ישירות:
F(x) = x³/3 - x²/2
\(\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_0^3\)
= (27/3 - 9/2) - 0
= (9 - 4.5)
= 4.5 = 9/2

בדיקה ✓
(x³/3 - x²/2)' = x² - x ✓

תשובה: 9/2 = 4.5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פונקציה קדומה 📐
f(x) = x²
F(x) = x³/3

שלב 2: רישום 📝
\(\int_{-1}^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1\)

שלב 3: הצבה בגבול עליון 🔢
F(1) = 1³/3 = 1/3

שלב 4: הצבה בגבול תחתון 📊
F(-1) = (-1)³/3 = -1/3

שלב 5: חיסור ✂️
1/3 - (-1/3) = 1/3 + 1/3 = 2/3

הערה חשובה 💡
למרות שהתחום סימטרי סביב 0,
התוצאה לא אפס!

למה? כי x² היא פונקציה זוגית:
• f(-x) = f(x)
• השטחים משני צדדי הציר מתחברים, לא מתבטלים
• שניהם חיוביים (מעל ציר x)

השוואה:
\(\int_{-1}^1 x dx = 0\) (x אי-זוגית)
\(\int_{-1}^1 x^2 dx = 2/3\) (x² זוגית)

תשובה: 2/3 ≈ 0.67

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 📐
שים לב: x² + 2x + 1 = (x+1)²
אבל נחשב בדרך הרגילה

שלב 2: פירוק 📝
\(\int_0^2 (x^2+2x+1) dx\)
= \(\int_0^2 x^2 dx + \int_0^2 2x dx + \int_0^2 1 dx\)

שלב 3: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}\)

חלק 2:
\([x^2]_0^2 = 4 - 0 = 4\)

חלק 3:
\([x]_0^2 = 2 - 0 = 2\)

שלב 4: סכום ✂️
8/3 + 4 + 2
= 8/3 + 12/3 + 6/3
= (8 + 12 + 6)/3
= 26/3

רגע! בואו נבדוק שוב 🔍
חלק 2: \(\int_0^2 2x dx = [x^2]_0^2 = 4\) ✓
חלק 3: \(\int_0^2 1 dx = [x]_0^2 = 2\) ✓

סכום: 8/3 + 4 + 2 = 8/3 + 6 = 8/3 + 18/3 = 26/3

רגע, התשובה צריכה להיות 14/3!
בואו נחשב מחדש בזהירות:

F(x) = x³/3 + x² + x
F(2) = 8/3 + 4 + 2 = 8/3 + 6 = 8/3 + 18/3 = 26/3
F(0) = 0

26/3 ≠ 14/3

אופס! טעות בתשובה הנכונה. התשובה הנכונה היא 26/3, לא 14/3

תשובה: 26/3 ≈ 8.67

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int_1^3 4x^3 dx = 4\int_1^3 x^3 dx\)

שלב 2: פונקציה קדומה 📝
F(x) = x⁴/4

שלב 3: חישוב 🔢
\(4\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^3\)

= 4(F(3) - F(1))
= 4(3⁴/4 - 1⁴/4)
= 4(81/4 - 1/4)
= 4 · 80/4
= 4 · 20
= 80

או בצורה פשוטה יותר:
המקדם 4 והמכנה 4 מצטמצמים!
F(x) = x⁴
\([x^4]_1^3 = 81 - 1 = 80\)

בדיקה ✓
(x⁴)' = 4x³ ✓

תשובה: 80

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פונקציה קדומה 📐
f(x) = x
F(x) = x²/2

שלב 2: רישום 📝
\(\int_{-1}^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1\)

שלב 3: הצבה 🔢
F(1) = 1²/2 = 1/2
F(-1) = (-1)²/2 = 1/2

שלב 4: חיסור ✂️
1/2 - 1/2 = 0

למה התוצאה אפס? 💭
כי f(x) = x היא פונקציה אי-זוגית:
• f(-x) = -f(x)
• השטח בין -1 ל-0 שלילי
• השטח בין 0 ל-1 חיובי
• הם שווים בערך מוחלט → מתבטלים!

כלל כללי ⭐
אם f אי-זוגית:
\(\int_{-a}^a f(x) dx = 0\)

דוגמאות נוספות לפונקציות אי-זוגיות:
• x³
• x⁵
• sin(x)

תשובה: 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int_0^4 6x dx = 6\int_0^4 x dx\)

שלב 2: פונקציה קדומה 📝
F(x) = x²/2

שלב 3: חישוב 🔢
\(6\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4\)

= 6(F(4) - F(0))
= 6(16/2 - 0)
= 6 · 8
= 48

או:
F(x) = 6 · x²/2 = 3x²
\([3x^2]_0^4 = 3(16) - 0 = 48\)

בדיקה ✓
(3x²)' = 6x ✓

תשובה: 48

💡 הסבר מפורט:

כלל חשוב ⭐
\(\int_a^a f(x) dx = 0\)

תמיד! לכל פונקציה!

למה? 💭
כי:
F(a) - F(a) = 0

במקרה שלנו 📐
\(\int_2^2 x^{100} dx = F(2) - F(2) = 0\)

גם אם הפונקציה מסובכת מאוד!
• אין צורך לחשב את הפונקציה הקדומה
• אין צורך להציב
• התשובה תמיד 0

משמעות גיאומטרית 🎨
אין שטח בין נקודה לעצמה!
רוחב התחום = 0
שטח = 0

דוגמאות נוספות:
• \(\int_5^5 e^x dx = 0\)
• \(\int_{-3}^{-3} \sin(x) dx = 0\)
• \(\int_\pi^\pi \sqrt{x} dx = 0\)

תשובה: 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int_1^2 (3x^2-2x+1) dx\)
= \(\int_1^2 3x^2 dx - \int_1^2 2x dx + \int_1^2 1 dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\int_1^2 3x^2 dx = [x^3]_1^2 = 8 - 1 = 7\)

חלק 2:
\(\int_1^2 2x dx = [x^2]_1^2 = 4 - 1 = 3\)

חלק 3:
\(\int_1^2 1 dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1\)

שלב 3: חישוב סופי ✂️
7 - 3 + 1 = 4

או ישירות:
F(x) = x³ - x² + x
F(2) = 8 - 4 + 2 = 6
F(1) = 1 - 1 + 1 = 1
6 - 1 = 5

רגע! שתי דרכים, שתי תוצאות שונות? 🤔
בואו נבדוק שוב בזהירות:

דרך נכונה:
F(x) = 3x³/3 - 2x²/2 + x = x³ - x² + x
F(2) = 8 - 4 + 2 = 6
F(1) = 1 - 1 + 1 = 1
6 - 1 = 5

בדיקת חלק 1 מחדש:
\(\int_1^2 3x^2 dx = 3\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = [x^3]_1^2 = 7\) ✓

אז למעשה התשובה הנכונה היא 5, לא 4!

תשובה: 5

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: מציאת פונקציה קדומה 📐
f(x) = x³ - 3x² + 2x

לפי כלל החזקה לכל איבר:
• \(\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}\)
• \(\int 3x^2 dx = x^3\)
• \(\int 2x dx = x^2\)

F(x) = x⁴/4 - x³ + x²

שלב 2: רישום עם גבולות 📝
\(\left[\frac{x^4}{4} - x^3 + x^2\right]_0^3\)

שלב 3: הצבה בגבול עליון (x=3) 🔢
F(3) = 3⁴/4 - 3³ + 3²
= 81/4 - 27 + 9
= 81/4 - 27 + 9
= 81/4 - 18
= 81/4 - 72/4
= 9/4

שלב 4: הצבה בגבול תחתון (x=0) 📊
F(0) = 0⁴/4 - 0³ + 0²
= 0

שלב 5: חיסור ✂️
F(3) - F(0) = 9/4 - 0 = 9/4

בדיקה מפורטת ✓
נבדוק שהנגזרת של F(x) היא f(x):

F(x) = x⁴/4 - x³ + x²
F'(x) = 4x³/4 - 3x² + 2x
= x³ - 3x² + 2x ✓

מצוין!

טבלת חישוב 📋

סיכום 🎯
זו הייתה השאלה המסכמת!
השתמשנו בכל הכלים:
• פירוק לסכום והפרש
• כלל החזקה
• הצבה בגבולות
• חיסור
• בדיקה

תשובה סופית: 9/4 = 2.25