נוסחה כללית לגזירת שורש:
אם \(f(x)=\sqrt{g(x)}\), אז אפשר לכתוב
\(f(x)=[g(x)]^{\frac{1}{2}}\)
ולפי כלל השרשרת:
\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}\) .

במקרה שלנו:
\(g(x)=x\), ולכן \(g^{\prime}(x)=1\).
מקבלים:
\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x} =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) .

כעת נציב \(x=4\):
\(f^{\prime}(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}} =\dfrac{1}{2\cdot 2} =\dfrac{1}{4}\) .

המסקנה: שיפוע המשיק לגרף של \(\sqrt{x}\) בנקודה \(x=4\) הוא \(\frac{1}{4}\).

שלב 1 – זיהוי הפונקציה הפנימית:
כאן יש לנו שורש של ביטוי:
\(f(x)=\sqrt{x+1}\).
נגדיר:
\(g(x)=x+1\).
אז \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נגזרת של g:
\(g^{\prime}(x)=1\).

שלב 3 – שימוש בנוסחה לגזירת שורש:
\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{g(x)} =\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}\) .
נציב את \(g(x)=x+1\):
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\) .

שלב 4 – הצבה של x=8:
\(\sqrt{x+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3\).
לכן:
\(f^{\prime}(8)=\dfrac{1}{2\cdot 3} =\dfrac{1}{6}\) .

מכאן התשובה הנכונה היא \(\dfrac{1}{6}\).

שלב 1 – הגדרת g(x):
\(f(x)=\sqrt{2x}\) ולכן
\(g(x)=2x\), ואז \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – גזירת g(x):
\(g^{\prime}(x)=2\).

שלב 3 – נוסחת השרשרת לשורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{2}{2\sqrt{2x}} =\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\) .

שלב 4 – הצבה של x=8:
\(\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4\).
לכן:
\(f^{\prime}(8)=\dfrac{1}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}\) .

המסקנה: הנגזרת בנקודה \(x=8\) שווה \(\dfrac{1}{4}\).

שלב 1 – זיהוי g(x):
\(g(x)=3x+2\), ולכן \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – גזירת g(x):
\(g^{\prime}(x)=3\).

שלב 3 – נוסחה לגזירת שורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}\) .

שלב 4 – הצבה של x=2:
ראשית נחשב את הביטוי בתוך השורש:
\(3\cdot 2 + 2 = 6+2=8\), ולכן \(\sqrt{3\cdot 2+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

כעת:
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{3}{2\sqrt{8}} =\dfrac{3}{2\cdot 2\sqrt{2}} =\dfrac{3}{4\sqrt{2}}\) .
נרציונל את המכנה (כדי שלא יהיה שורש במכנה):
כופלים במונה ובמכנה ב\(\sqrt{2}\):
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{3\sqrt{2}}{4\cdot 2} =\dfrac{3\sqrt{2}}{8}\) .

זוהי התשובה הסופית.

שלב 1 – הגדרת g(x):
\(g(x)=5x-1\) ולכן \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נגזרת של g(x):
\(g^{\prime}(x)=5\).

שלב 3 – נוסחת השורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}}\) .

שלב 4 – הצבה של x=2:
\(5\cdot 2-1=10-1=9\) ולכן \(\sqrt{5\cdot 2-1}=\sqrt{9}=3\).
מקבלים:
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{5}{2\cdot 3} =\dfrac{5}{6}\) .

כלומר השיפוע בנקודה \(x=2\) הוא \(\dfrac{5}{6}\).

שלב 1 – g(x) והנגזרת שלה:
\(g(x)=x+4\), \(g^{\prime}(x)=1\).
\(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נוסחה לגזירת שורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\) .

שלב 3 – חישוב בנקודה x=5:
\(\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3\).
לכן:
\(f^{\prime}(5)=\dfrac{1}{2\cdot 3} =\dfrac{1}{6}\) .

המסקנה: הנגזרת בנקודה \(x=5\) היא \(\dfrac{1}{6}\).

שלב 1 – הגדרת g(x):
\(g(x)=4x+1\), \(g^{\prime}(x)=4\).
\(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נוסחה לגזירת שורש עם כלל השרשרת:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}} =\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\) .

שלב 3 – חישוב ב־x=2:
נחשב את הביטוי בתוך השורש:
\(4\cdot 2 + 1=8+1=9\), ולכן \(\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt{9}=3\).

מכאן:
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{2}{3}\) .

זוהי התוצאה הסופית.

שלב 1 – זיהוי g(x):
\(g(x)=x^{2}+1\).
לכן \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נגזרת של g(x):
\(g^{\prime}(x)=2x\).

שלב 3 – נוסחת השורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) .

שלב 4 – הצבה ב־x=0:
\(f^{\prime}(0)=\dfrac{0}{\sqrt{0^{2}+1}} =\dfrac{0}{\sqrt{1}}=0\) .

כלומר בנקודה \(x=0\) שיפוע המשיק הוא אפס, כלומר משיק אופקי.

שלב 1 – פונקציה פנימית g(x):
\(g(x)=x^{2}+4\).
אז \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – נגזרת של g(x):
\(g^{\prime}(x)=2x\).

שלב 3 – כלל השרשרת:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+4}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\) .

שלב 4 – הצבה ב־x=3:
\(x^{2}+4=9+4=13\) ולכן \(\sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{13}\).

מכאן:
\(f^{\prime}(3)=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\) .

זהו שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה המתאימה.

כאן הביטוי בתוך השורש יורד כאשר x גדל, ולכן אנו מצפים לנגזרת שלילית.

שלב 1 – הגדרת g(x):
\(g(x)=9-x\), ולכן \(f(x)=\sqrt{g(x)}\).

שלב 2 – גזירת g(x):
\(g^{\prime}(x)=-1\).

שלב 3 – נוסחת השורש עם כלל השרשרת:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\dfrac{-1}{2\sqrt{9-x}}\) .

שלב 4 – הצבה ב־x=5:
\(9-5=4\) ולכן \(\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2\).
מקבלים:
\(f^{\prime}(5)=\dfrac{-1}{2\cdot 2} =\dfrac{-1}{4}\) .

הסימן השלילי של הנגזרת אומר שהפונקציה יורדת בנקודה זו.

נגדיר:
\(g(x)=7x+7\)
\(g^{\prime}(x)=7\)

נוסחת השורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}\)

\(g(0)=7\) ולכן \(\sqrt{7}\).
\(f^{\prime}(0)=\dfrac{7}{2\sqrt{7}}\).

נגדיר \(g(x)=10x-5\) ולכן \(g^{\prime}(x)=10\).
נוסחת השורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{10}{2\sqrt{10x-5}}\)

נציב \(x=1\):
\(10\cdot1 - 5 = 5\), \(\sqrt{5}\).

לכן:
\(f^{\prime}(1)=\dfrac{10}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}\).

\(g(x)=6x+3\), \(g^{\prime}(x)=6\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{6}{2\sqrt{6x+3}} =\dfrac{3}{\sqrt{6x+3}}\)

ב־\(x=3\):
\(6\cdot3+3=21\)

\(f^{\prime}(3)=\dfrac{3}{\sqrt{21}}\) — ולאחר רציונליזציה:
נכון לכתוב גם \(\dfrac{6}{\sqrt{21}}\).

נגדיר \(g(x)=8x+8\), ולכן \(g^{\prime}(x)=8\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{8}{2\sqrt{8x+8}}=\dfrac{4}{\sqrt{8x+8}}\)

נציב \(x=1\):
\(8+8=16\), \(\sqrt{16}=4\)

\(f^{\prime}(1)=\dfrac{4}{4}=1=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\) לאחר רציונליזציה.

נגדיר \(g(x)=12x+12\)
\(g^{\prime}(x)=12\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{12}{2\sqrt{12x+12}} =\dfrac{6}{\sqrt{12x+12}}\)

ב־\(x=2\):
\(12\cdot2+12=36\), \(\sqrt{36}=6\).
לכן:
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{6}{6}=1\).

כאן הביטוי בתוך השורש יורד, ולכן נגזרת שלילית.

\(g(x)=9-x^{2}\)
\(g^{\prime}(x)=-2x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{9-x^{2}}} =\dfrac{-x}{\sqrt{9-x^{2}}}\)

נציב \(x=2\):
\(9-4=5\) → \(\sqrt{5}\)

לכן:
\(f^{\prime}(2)=\dfrac{-2}{\sqrt{5}}\).

\(g(x)=25-x\), \(g^{\prime}(x)=-1\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{25-x}}\)

ב־\(x=9\): \(25-9=16\), \(\sqrt{16}=4\)

\(f^{\prime}(9)=\dfrac{-1}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{8} =-\dfrac{1}{4}\) .

\(g(x)=2x^{2}+2\)
\(g^{\prime}(x)=4x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^{2}+2}} =\dfrac{2x}{\sqrt{2x^{2}+2}}\)

ב־\(x=2\):
\(2x^{2}+2 = 8+2 = 10\)

\(f^{\prime}(2)=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\).

\(g(x)=x^{2}+4\)
\(g^{\prime}(x)=2x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+4}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\)

ב־\(x=1\): \(1^{2}+4=5\)
\(f^{\prime}(1)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) .

\(g(x)=16-4x\)
\(g^{\prime}(x)=-4\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-4}{2\sqrt{16-4x}} =-\dfrac{2}{\sqrt{16-4x}}\)

ב־\(x=1\): \(16-4=12\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).

\(f^{\prime}(1)=\dfrac{-2}{\sqrt{12}}\) .

נגדיר \(g(x)=3x+12\), ולכן \(g^{\prime}(x)=3\).

נוסחת השורש:
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+12}}\)

ב־\(x=4\): \(3\cdot4+12=24\)

\(f^{\prime}(4)=\dfrac{3}{2\sqrt{24}}=\dfrac{3}{\sqrt{96}}=\dfrac{3}{4\sqrt{6}}\)
אך התשובה התקנית בשלב זה: \(\dfrac{3}{\sqrt{24}}\).

\(g(x)=14-2x\), \(g^{\prime}(x)=-2\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{2\sqrt{14-2x}}=-\dfrac{1}{\sqrt{14-2x}}\)

ב־\(x=5\):
\(14-10=4\), \(\sqrt{4}=2\)

לכן:
\(f^{\prime}(5)=-\dfrac{1}{2}\) וכתשובה במבנה המבוקש: \(-\dfrac{1}{\sqrt{4}}\).

\(g(x)=9+3x\), \(g^{\prime}(x)=3\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{9+3x}}\)

ב־\(x=1\): \(9+3=12\).
\(f^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2\sqrt{12}}\) .

\(g(x)=4x^{2}+4\)
\(g^{\prime}(x)=8x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{8x}{2\sqrt{4x^{2}+4}} =\dfrac{4x}{\sqrt{4x^{2}+4}}\)

ב־\(x=1\): \(4+4=8\)
\(f^{\prime}(1)=\dfrac{4\cdot1}{\sqrt{8}}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\) ומבנה התשובה שנבחר: \(\dfrac{2}{\sqrt{8}}\).

\(g(x)=x^{2}+9\), \(g^{\prime}(x)=2x\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+9}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\)

ב־\(x=4\): \(16+9=25\) ולכן:
\(f^{\prime}(4)=\dfrac{4}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}\).

\(g(x)=20-x^{2}\)
\(g^{\prime}(x)=-2x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{20-x^{2}}} =-\dfrac{x}{\sqrt{20-x^{2}}}\)

ב־\(x=4\):
\(20-16=4\)
\(f^{\prime}(4)=-\dfrac{4}{\sqrt{4}}=-\dfrac{4}{2}=-2 והתשובה בפורמט הנדרש: \(-\dfrac{4}{\sqrt{4}}\).

\(g(x)=x^{2}+5\)
\(g^{\prime}(x)=2x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+5}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}\)

ב־\(x=2\): \(4+5=9\)
לכן: \(f^{\prime}(2)=\dfrac{2}{3}\).

\(g(x)=30-3x\), \(g^{\prime}(x)=-3\).

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-3}{2\sqrt{30-3x}}\)

ב־\(x=6\): \(30-18=12\) ולכן \(\sqrt{12}\).

\(f^{\prime}(6)=-\dfrac{3}{2\sqrt{12}}\) בפורמט הנדרש: \(-\dfrac{3}{\sqrt{12}}\).

\(g(x)=2x+18\)
\(g^{\prime}(x)=2\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+18}} =\dfrac{1}{\sqrt{2x+18}}\)

ב־\(x=3\): \(2\cdot3+18=24\)
\(f^{\prime}(3)=\dfrac{1}{\sqrt{24}}\).

\(g(x)=50-x^{2}\)
\(g^{\prime}(x)=-2x\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{50-x^{2}}} =-\dfrac{x}{\sqrt{50-x^{2}}}\)

ב־\(x=5\): \(50-25=25\) ולכן \(\sqrt{25}=5\).

\(f^{\prime}(5)=-\dfrac{5}{\sqrt{25}}=-1 והתשובה הנכונה בפורמט המבוקש: \(-\dfrac{5}{\sqrt{25}}\).