אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה של פונקציה רציונלית

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

תחום הגדרה של פונקציה רציונלית

מבחן תחום הגדרה פונקציה רציונלית - 30 שאלות: מכנה שונה מאפס, פירוק לגורמים, הפרש ריבועים, טרינומים. הסברים מפורטים.

תכנים שכוסו: ✅ שאלות בסיסיות (1-5): מכנים פשוטים ✅ הפרש ריבועים (3, 4, 11, 14, 27) ✅ ריבועים מושלמים (12, 16, 24, 26, 30) ✅ טרינומים (7, 9, 17, 21, 22) ✅ הוצאת גורם משותף (8, 15, 23) ✅ מכנים שלא מתאפסים (6, 20) ✅ מכפלות מפורקות (5, 19) ✅ חזקות של x (18) ✅ מכנים עם שברים (25) ✅ סכום קוביות (28) ✅ מקרים מורכבים (29, 30) כל שאלה כוללת: ✅ כל הגרשיים מתוקנים ('') ✅ הסברים מפורטים 5-7 שלבים ✅ פירוקים מלאים של המכנה ✅ בדיקות מספריות מקיפות ✅ טבלאות עם dir="ltr" ✅ הערות חשובות על טעויות נפוצות ✅ הבחנה ברורה בין מונה למכנה ✅ ללא דוגמאות ויזואליות

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 30

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)

\(x \geq 3\)

\(x \neq 3\) או \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

כל המספרים הממשיים

\(x > 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציה רציונלית? 📚
פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה:
\(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\)
כאשר P(x) ו-Q(x) פולינומים.

כלל תחום הגדרה ⭐
תחום ההגדרה כולל את כל הערכים של x
למעט אלו שבהם המכנה = 0

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
במקרה שלנו:
מכנה = x - 3

שלב 2: מציאת איפוס המכנה 📐
מתי המכנה = 0?
x - 3 = 0
x = 3

שלב 3: כתיבת תחום ההגדרה ✍️
המכנה מתאפס ב-x = 3
לכן הפונקציה לא מוגדרת ב-x = 3

תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים חוץ מ-3

שלב 4: סימונים שונים 📝
ניתן לכתוב בכמה דרכים:
• \(x \neq 3\)
• \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)
• \((-\infty, 3) \cup (3, \infty)\)
• \(D_f = \{x \in \mathbb{R} : x \neq 3\}\)

בדיקה 🧪
ב-x = 3:
f(3) = 1/(3-3) = 1/0 = לא מוגדר ✓

ב-x = 2:
f(2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1 ✓ מוגדר

ב-x = 4:
f(4) = 1/(4-3) = 1/1 = 1 ✓ מוגדר

טבלה 📊

x	מכנה (x-3)	מוגדר?
2	-1	✓ כן
3	0	✗ לא
4	1	✓ כן
10	7	✓ כן

למה x = 3 בעייתי? 💭
כי חלוקה באפס לא מוגדרת במתמטיקה!
1/0 = אין משמעות

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "x > 3": גם x < 3 מוגדר!
• "x ≥ 3": גם x = 3 לא מוגדר
• "כל המספרים": x = 3 לא כלול

תשובה: x ≠ 3

שאלה 2

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+1}{x+5}\)

\(x \neq 5\)

\(x \neq -5\)

\(x \neq -1\)

\(x \neq -1, x \neq -5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מונה: x + 1
מכנה: x + 5

שים לב: רק המכנה משנה!

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x + 5 = 0
x = -5

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -5\)

שלב 4: בדיקה 🧪
ב-x = -5:
f(-5) = (-5+1)/(-5+5) = -4/0 ✗

ב-x = -1:
f(-1) = (-1+1)/(-1+5) = 0/4 = 0 ✓

המונה יכול להתאפס! זה בסדר!
הבעיה רק כשהמכנה = 0

טבלה 📊

x	מכנה	מוגדר?
-6	-1	✓
-5	0	✗
-1	4	✓
0	5	✓

תשובה: x ≠ -5

שאלה 3

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^2-4}\)

\(x > 2\)

\(x \neq 4\)

\(x \neq 2, x \neq -2\)

\(x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 4

שלב 2: זיהוי נוסחה מוכרת 📐
x² - 4 זו הפרש ריבועים!
x² - 4 = x² - 2²
= (x - 2)(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)(x + 2) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
המכנה מתאפס ב-שתי נקודות:
\(x \neq 2\) וגם \(x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
f(2) = 1/(4-4) = 1/0 ✗

ב-x = -2:
f(-2) = 1/(4-4) = 1/0 ✗

ב-x = 0:
f(0) = 1/(0-4) = -1/4 ✓

ב-x = 3:
f(3) = 1/(9-4) = 1/5 ✓

טבלה 📊

x	x²-4	מוגדר?
-3	5	✓
-2	0	✗
0	-4	✓
2	0	✗
3	5	✓

הערה חשובה ⚠️
כשיש ריבוע במכנה, בדוק תמיד:
• האם זה הפרש ריבועים?
• האם אפשר לפרק?
• יכולות להיות שתי תשובות!

תשובה: x ≠ 2 וגם x ≠ -2

שאלה 4

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2x+3}{x^2-9}\)

\(x \neq 3, x \neq -3\)

\(x \neq 3\)

\(x \neq -\frac{3}{2}\)

\(x \neq 9\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 9

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 9 = x² - 3²
= (x - 3)(x + 3)

שלב 3: איפוס 🔢
(x - 3)(x + 3) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + 3 = 0 → x = -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 3, x \neq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = 0:
f(0) = 3/(-9) = -1/3 ✓

ב-x = -3/2:
מכנה: 9/4 - 9 = -27/4 ≠ 0 ✓
המונה: 0, אבל זה בסדר!

טבלה 📊

x	מכנה	מונה	מוגדר?
-3	0	-3	✗
-3/2	-27/4	0	✓
0	-9	3	✓
3	0	9	✗

תשובה: x ≠ 3, x ≠ -3

שאלה 5

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{(x-1)(x+2)}\)

\(x \neq 1\)

\(x \neq -2\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq 1, x \neq -2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: (x - 1)(x + 2)

המכנה כבר מפורק! ✓

שלב 2: איפוס המכנה 📐
מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1, x \neq -2\)

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: (1-1)(1+2) = 0·3 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: (-2-1)(-2+2) = -3·0 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: (0-1)(0+2) = -1·2 = -2 ≠ 0 ✓
f(0) = 1/(-2) = -1/2

טבלה 📊

x	x-1	x+2	מכפלה	מוגדר?
-3	-4	-1	4	✓
-2	-3	0	0	✗
0	-1	2	-2	✓
1	0	3	0	✗
2	1	4	4	✓

כלל חשוב ⭐
במכפלה של גורמים:
מספיק שאחד יהיה 0 → כל המכפלה = 0

תשובה: x ≠ 1, x ≠ -2

שאלה 6

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{x^2+4}\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \neq 2, x \neq -2\)

\(x > 0\)

\(x \neq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 4

שלב 2: ניסיון לאפס את המכנה 📐
x² + 4 = 0
x² = -4

בעיה! אין פתרון ממשי!
ריבוע של מספר ממשי תמיד ≥ 0
לכן x² ≥ 0
ולכן x² + 4 ≥ 4 > 0

שלב 3: מסקנה 💭
המכנה לעולם לא מתאפס!
לכן הפונקציה מוגדרת בכל מקום!

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 4 = 4 ✓

ב-x = 2:
מכנה: 4 + 4 = 8 ✓

ב-x = -2:
מכנה: 4 + 4 = 8 ✓

ב-x = 100:
מכנה: 10000 + 4 = 10004 ✓

טבלה 📊

x	x²	x²+4	מוגדר?
-3	9	13	✓
-2	4	8	✓
0	0	4	✓
2	4	8	✓
3	9	13	✓

כלל כללי ⭐
אם במכנה יש ביטוי מהצורה:
• x² + מספר חיובי
• x⁴ + מספר חיובי
• וכו'

המכנה לעולם לא מתאפס!
תחום ההגדרה: כל ℝ

למה x² + 4 לא יכול להתאפס? 💭
• המינימום של x² הוא 0 (ב-x=0)
• לכן המינימום של x² + 4 הוא 4
• אף פעם לא מגיע ל-0!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 7

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x-2}{x^2-5x+6}\)

\(x \neq -2, x \neq -3\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq 6\)

\(x \neq 2, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 5x + 6

זהו טרינום ריבועי!

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
צריך למצוא שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

ננסה אפשרויות:
• 1 · 6 = 6, אבל 1 + 6 = 7 ✗
• (-1) · (-6) = 6, וגם (-1) + (-6) = -7 ✗
• 2 · 3 = 6, אבל 2 + 3 = 5 ✗
• (-2) · (-3) = 6, וגם (-2) + (-3) = -5 ✓

מצאנו! -2 ו--3

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x - 2)(x - 3)
= x² - 3x - 2x + 6
= x² - 5x + 6 ✓

נכון!

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)(x - 3) = 0

• x - 2 = 0 → x = 2
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות מספריות 🔍
ב-x = 2:
מכנה: 4 - 10 + 6 = 0 ✗

ב-x = 3:
מכנה: 9 - 15 + 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 5 + 6 = 2 ✓

ב-x = 4:
מכנה: 16 - 20 + 6 = 2 ✓

טבלה 📊

x	x²-5x+6	מוגדר?
0	6	✓
1	2	✓
2	0	✗
3	0	✗
4	2	✓

הערה חשובה ⚠️
שים לב שגם המונה מתאפס ב-x = 2,
אבל זה לא משנה!
הבעיה היא רק כשהמכנה = 0

תשובה: x ≠ 2, x ≠ 3

שאלה 8

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^2-x}\)

\(x \neq 0\)

\(x \neq 0, x \neq 1\)

\(x \neq -1, x \neq 1\)

\(x \neq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
יש x בשני האיברים!
x² - x = x(x - 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
x(x - 1) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0, x \neq 1\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 2 = 2 ✓
f(2) = 1/2

ב-x = -1:
מכנה: 1 - (-1) = 2 ✓
f(-1) = 1/2

טבלה 📊

x	x²-x	פירוק	מוגדר?
-1	2	(-1)(-2)	✓
0	0	0·(-1)	✗
0.5	-0.25	0.5·(-0.5)	✓
1	0	1·0	✗
2	2	2·1	✓

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
אנשים לפעמים זוכרים רק x = 1
אבל גם x = 0 מאפס את המכנה!

כלל חשוב ⭐
כשרואים x² - x או x² + x,
תמיד הוצא x משותף!

תשובה: x ≠ 0, x ≠ 1

שאלה 9

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{3x+1}{x^2+x-6}\)

\(x \neq 6\)

\(x \neq 2, x \neq 3\)

\(x \neq 2, x \neq -3\)

\(x \neq -1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + x - 6

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = +1

אפשרויות:
• 1 · (-6) = -6, וגם 1 + (-6) = -5 ✗
• 2 · (-3) = -6, וגם 2 + (-3) = -1 ✗
• 3 · (-2) = -6, וגם 3 + (-2) = 1 ✓
• (-1) · 6 = -6, וגם (-1) + 6 = 5 ✗

מצאנו! 3 ו--2

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x + 3)(x - 2)
= x² - 2x + 3x - 6
= x² + x - 6 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x + 3)(x - 2) = 0

• x + 3 = 0 → x = -3
• x - 2 = 0 → x = 2

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2, x \neq -3\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = -3:
מכנה: 9 - 3 - 6 = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 4 + 2 - 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 - 6 = -6 ✓
f(0) = 1/(-6) = -1/6

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 1 - 6 = -4 ✓
f(1) = 4/(-4) = -1

טבלה 📊

x	x²+x-6	מוגדר?
-4	6	✓
-3	0	✗
0	-6	✓
1	-4	✓
2	0	✗
3	6	✓

תשובה: x ≠ 2, x ≠ -3

שאלה 10

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+5}{2x-8}\)

\(x \neq 4\)

\(x \neq -5\)

\(x \neq 8\)

\(x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 2x - 8

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
2x - 8 = 2(x - 4)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
2(x - 4) = 0

חלק ל-2:
x - 4 = 0
x = 4

או ישירות:
2x - 8 = 0
2x = 8
x = 4

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 4\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 8 = -8 ✓
f(0) = 5/(-8) = -5/8

ב-x = 5:
מכנה: 10 - 8 = 2 ✓
f(5) = 10/2 = 5

ב-x = -5:
מכנה: -10 - 8 = -18 ✓
f(-5) = 0/(-18) = 0

טבלה 📊

x	2x-8	מוגדר?
0	-8	✓
3	-2	✓
4	0	✗
5	2	✓
10	12	✓

הערה 💡
כשהמכנה הוא לינארי (ממעלה ראשונה),
תמיד יש רק נקודה אחת שאסורה!

תשובה: x ≠ 4

שאלה 11

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-16}\)

\(x \neq 4\)

\(x \neq 16\)

\(x \neq 4, x \neq -4\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 16

שלב 2: זיהוי הפרש ריבועים 📐
x² - 16 = x² - 4²
= (x - 4)(x + 4)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 4)(x + 4) = 0

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 4 = 0 → x = -4

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 4, x \neq -4\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה: x² + 1
זה תמיד חיובי!
x² ≥ 0, לכן x² + 1 ≥ 1 > 0

אבל זה לא משנה לתחום ההגדרה!
רק המכנה משנה!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 16 - 16 = 0 ✗

ב-x = -4:
מכנה: 16 - 16 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 16 = -16 ✓
f(0) = 1/(-16) = -1/16

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 16 = 9 ✓
f(5) = 26/9

טבלה 📊

x	x²-16	מוגדר?
-5	9	✓
-4	0	✗
0	-16	✓
4	0	✗
5	9	✓

תשובה: x ≠ 4, x ≠ -4

שאלה 12

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^2+6x+9}\)

\(x \neq -3, x \neq 3\)

\(x \neq 3\)

כל המספרים הממשיים

\(x \neq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 6x + 9

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
האם זה ריבוע מושלם?
בואו נבדוק: (x + 3)²

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3²
= x² + 6x + 9 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x + 3)² = 0

ריבוע = 0 רק כאשר הבסיס = 0:
x + 3 = 0
x = -3

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -3\)

שים לב: רק נקודה אחת אסורה!
למרות שהמכנה ממעלה שנייה!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
מכנה: 9 - 18 + 9 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 + 9 = 9 ✓
f(0) = 1/9

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 12 + 9 = 1 ✓
f(-2) = 1/1 = 1

ב-x = -4:
מכנה: 16 - 24 + 9 = 1 ✓
f(-4) = 1/1 = 1

טבלה 📊

x	(x+3)²	מוגדר?
-5	4	✓
-4	1	✓
-3	0	✗
-2	1	✓
0	9	✓

כלל חשוב ⭐
ריבוע מושלם מתאפס רק ב-נקודה אחת!
(x + a)² = 0 רק כאשר x = -a

תשובה: x ≠ -3

שאלה 13

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2x-1}{3x+6}\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq 6\)

\(x \neq \frac{1}{2}\)

\(x \neq -2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 3x + 6

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
3x + 6 = 3(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
3(x + 2) = 0

חלק ב-3:
x + 2 = 0
x = -2

או ישירות:
3x + 6 = 0
3x = -6
x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 3(-2) + 6 = -6 + 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 6 = 6 ✓
f(0) = -1/6

ב-x = 1/2:
מכנה: 3/2 + 6 = 15/2 ✓
f(1/2) = 0/(15/2) = 0
המונה = 0, אבל זה בסדר!

ב-x = 1:
מכנה: 3 + 6 = 9 ✓
f(1) = 1/9

טבלה 📊

x	3x+6	מוגדר?
-3	-3	✓
-2	0	✗
-1	3	✓
0	6	✓
1	9	✓

תשובה: x ≠ -2

שאלה 14

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^3}{x^2-1}\)

\(x \neq 1, x \neq -1\)

\(x \neq 0\)

כל המספרים הממשיים

\(x \neq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מונה: x³ (לא משנה)
מכנה: x² - 1

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 1 = x² - 1²
= (x - 1)(x + 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 1)(x + 1) = 0

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1, x \neq -1\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה x³ מתאפס ב-x = 0
אבל זה בסדר גמור!
f(0) = 0/(-1) = 0 ✓

המכנה ב-x = 0 הוא -1 ≠ 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 1 = -1 ✓
f(0) = 0/(-1) = 0

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 1 = 3 ✓
f(2) = 8/3

טבלה 📊

x	מונה x³	מכנה x²-1	מוגדר?
-2	-8	3	✓
-1	-1	0	✗
0	0	-1	✓
1	1	0	✗
2	8	3	✓

תשובה: x ≠ 1, x ≠ -1

שאלה 15

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{5}{x^2+2x}\)

\(x \neq 0\)

\(x \neq -2\)

\(x \neq 0, x \neq -2\)

\(x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 2x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
x² + 2x = x(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
x(x + 2) = 0

• x = 0
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0, x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 4 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 2 = 3 ✓
f(1) = 5/3

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 2 = -1 ✓
f(-1) = 5/(-1) = -5

טבלה 📊

x	x²+2x	פירוק	מוגדר?
-3	3	(-3)(-1)	✓
-2	0	(-2)(0)	✗
-1	-1	(-1)(1)	✓
0	0	0(2)	✗
1	3	1(3)	✓

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
תמיד כשיש x² ± bx, יש אפס!

תשובה: x ≠ 0, x ≠ -2

שאלה 16

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\)

\(x \neq 2, x \neq -2\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq 4\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 4x + 4

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
האם זה ריבוע מושלם?

(x - 2)² = x² - 2·2·x + 2²
= x² - 4x + 4 ✓

כן!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
מכנה: (x - 2)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2\)

שלב 6: הערה על המונה 💭
המונה: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

המונה מתאפס ב-x = 2 וגם ב-x = -2
אבל זה לא משנה!

רק המכנה קובע את תחום ההגדרה!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
מכנה: (2-2)² = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: (-2-2)² = 16 ✓
f(-2) = (4-4)/16 = 0/16 = 0

ב-x = 0:
מכנה: (0-2)² = 4 ✓
f(0) = (0-4)/4 = -4/4 = -1

ב-x = 3:
מכנה: (3-2)² = 1 ✓
f(3) = (9-4)/1 = 5

טבלה 📊

x	מונה	מכנה	מוגדר?
-2	0	16	✓
0	-4	4	✓
1	-3	1	✓
2	0	0	✗
3	5	1	✓

תשובה: x ≠ 2

שאלה 17

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^2-7x+12}\)

\(x \neq -3, x \neq -4\)

\(x \neq 7\)

\(x \neq 12\)

\(x \neq 3, x \neq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 7x + 12

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 12
• סכומם = -7

אפשרויות עבור מכפלה 12:
• 1 · 12 → סכום: 13 ✗
• 2 · 6 → סכום: 8 ✗
• 3 · 4 → סכום: 7 ✗
• (-3) · (-4) → סכום: -7 ✓

מצאנו! -3 ו--4

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x - 3)(x - 4)
= x² - 4x - 3x + 12
= x² - 7x + 12 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x - 3)(x - 4) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x - 4 = 0 → x = 4

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 3, x \neq 4\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 21 + 12 = 0 ✗

ב-x = 4:
מכנה: 16 - 28 + 12 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 12 = 12 ✓
f(0) = 1/12

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 35 + 12 = 2 ✓
f(5) = 1/2

טבלה 📊

x	x²-7x+12	מוגדר?
0	12	✓
2	2	✓
3	0	✗
4	0	✗
5	2	✓

תשובה: x ≠ 3, x ≠ 4

שאלה 18

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+3}{x^2}\)

כל המספרים הממשיים

\(x > 0\)

\(x \neq 0\)

\(x \neq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x²

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x² = 0
x = 0

רק נקודה אחת!

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0\)

שלב 4: הערה חשובה 💭
למרות שהמכנה ממעלה שנייה,
יש רק נקודה אחת אסורה!

למה? כי x² = 0 רק כאשר x = 0

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0² = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1² = 1 ✓
f(1) = 4/1 = 4

ב-x = -1:
מכנה: (-1)² = 1 ✓
f(-1) = 2/1 = 2

ב-x = -3:
מכנה: (-3)² = 9 ✓
f(-3) = 0/9 = 0
המונה = 0, אבל זה בסדר!

טבלה 📊

x	x²	מוגדר?
-2	4	✓
-1	1	✓
0	0	✗
1	1	✓
2	4	✓

כלל כללי ⭐
כשהמכנה הוא חזקה של x:
• x² → רק x = 0 אסור
• x³ → רק x = 0 אסור
• x⁴ → רק x = 0 אסור
וכו'

תשובה: x ≠ 0

שאלה 19

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x-1}{(x+2)(x-3)}\)

\(x \neq 1\)

\(x \neq -2, x \neq 3, x \neq 1\)

\(x \neq 2, x \neq -3\)

\(x \neq -2, x \neq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: (x + 2)(x - 3)

המכנה כבר מפורק! זה מקל עלינו ✓

שלב 2: איפוס המכנה 📐
(x + 2)(x - 3) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -2, x \neq 3\)

שלב 4: הערה על המונה 💭
המונה: x - 1
מתאפס ב-x = 1

אבל x = 1 מוגדר!
כי המכנה ב-x = 1:
(1 + 2)(1 - 3) = 3·(-2) = -6 ≠ 0 ✓

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 0·(-5) = 0 ✗

ב-x = 3:
מכנה: 5·0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 3·(-2) = -6 ✓
f(1) = 0/(-6) = 0

ב-x = 0:
מכנה: 2·(-3) = -6 ✓
f(0) = -1/(-6) = 1/6

טבלה 📊

x	x+2	x-3	מכפלה	מוגדר?
-2	0	-5	0	✗
0	2	-3	-6	✓
1	3	-2	-6	✓
3	5	0	0	✗
4	6	1	6	✓

תשובה: x ≠ -2, x ≠ 3

שאלה 20

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2}{x^2+9}\)

\(x \neq 3, x \neq -3\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \neq 9\)

\(x > 0\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 9

שלב 2: ניסיון לאפס 📐
x² + 9 = 0
x² = -9

בעיה! אין פתרון ממשי!
ריבוע לא יכול להיות שלילי

שלב 3: ניתוח 💭
x² ≥ 0 תמיד
לכן x² + 9 ≥ 9 > 0 תמיד!

המכנה לעולם לא מתאפס!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 9 = 9 ✓
f(0) = 2/9

ב-x = 3:
מכנה: 9 + 9 = 18 ✓
f(3) = 2/18 = 1/9

ב-x = -3:
מכנה: 9 + 9 = 18 ✓
f(-3) = 1/9

ב-x = 100:
מכנה: 10000 + 9 = 10009 ✓
f(100) = 2/10009

טבלה 📊

x	x²	x²+9	מוגדר?
-3	9	18	✓
-1	1	10	✓
0	0	9	✓
1	1	10	✓
3	9	18	✓

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד חיובי!
לעולם לא מתאפס!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 21

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{x^2-3x-10}\)

\(x \neq -5, x \neq 2\)

\(x \neq 5, x \neq -2\)

\(x \neq 3\)

\(x \neq 10\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 3x - 10

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -10
• סכומם = -3

אפשרויות:
• 1 · (-10) → סכום: -9 ✗
• 2 · (-5) → סכום: -3 ✓
• (-2) · 5 → סכום: 3 ✗

מצאנו! 2 ו--5

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x + 2)(x - 5)
= x² - 5x + 2x - 10
= x² - 3x - 10 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x + 2)(x - 5) = 0

• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 5 = 0 → x = 5

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 5, x \neq -2\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = 5:
מכנה: 25 - 15 - 10 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: 4 + 6 - 10 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 - 10 = -10 ✓
f(0) = 0/(-10) = 0

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 3 - 10 = -12 ✓
f(1) = 1/(-12) = -1/12

טבלה 📊

x	x²-3x-10	מוגדר?
-3	8	✓
-2	0	✗
0	-10	✓
1	-12	✓
5	0	✗
6	8	✓

תשובה: x ≠ 5, x ≠ -2

שאלה 22

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^2+5x+6}{x^2-9}\)

\(x \neq 6, x \neq 9\)

\(x \neq -2, x \neq -3\)

כל המספרים הממשיים

\(x \neq 3, x \neq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי - רק המכנה חשוב! 🔍
מונה: x² + 5x + 6 (לא משנה)
מכנה: x² - 9 (זה מה שחשוב!)

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 9 = x² - 3²
= (x - 3)(x + 3)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 3)(x + 3) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + 3 = 0 → x = -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 3, x \neq -3\)

שלב 5: פירוק המונה (סתם מעניין) 💭
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

המונה מתאפס ב-x = -2 וב-x = -3
אבל זה לא משנה לתחום ההגדרה!

שלב 6: הערה חשובה ⚠️
ב-x = -3 גם המונה וגם המכנה מתאפסים!
זה נקרא "חור" בגרף,
אבל עדיין x = -3 לא בתחום ההגדרה!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗
(גם המונה = 0, אבל עדיין לא מוגדר!)

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 9 = -9 ✓
f(0) = 6/(-9) = -2/3

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 9 = -5 ✓
f(-2) = 0/(-5) = 0

טבלה 📊

x	מונה	מכנה	מוגדר?
-4	2	7	✓
-3	0	0	✗
-2	0	-5	✓
0	6	-9	✓
3	30	0	✗

תשובה: x ≠ 3, x ≠ -3

שאלה 23

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^3-x}\)

\(x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1\)

\(x \neq 0\)

\(x \neq 1, x \neq -1\)

\(x \neq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x³ - x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
x³ - x = x(x² - 1)

שלב 3: פירוק נוסף ✍️
x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

לכן:
x³ - x = x(x - 1)(x + 1)

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
x(x - 1)(x + 1) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1\)

שלוש נקודות אסורות!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1:
מכנה: -1 - (-1) = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 8 - 2 = 6 ✓
f(2) = 1/6

ב-x = -2:
מכנה: -8 - (-2) = -6 ✓
f(-2) = 1/(-6) = -1/6

טבלה 📊

x	x³-x	פירוק	מוגדר?
-2	-6	(-2)(-3)(-1)	✓
-1	0	(-1)(-2)(0)	✗
0	0	0(-1)(1)	✗
1	0	1(0)(2)	✗
2	6	2(1)(3)	✓

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
אנשים רואים x³ - x ופותרים רק x² - 1 = 0

תשובה: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1

שאלה 24

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x-4}{x^2-8x+16}\)

\(x \neq 8, x \neq 16\)

\(x \neq 4\)

\(x \neq 4, x \neq -4\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 8x + 16

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
בואו נבדוק אם זה (x - 4)²:

(x - 4)² = x² - 2·4·x + 4²
= x² - 8x + 16 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² - 8x + 16 = (x - 4)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x - 4)² = 0
x - 4 = 0
x = 4

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 4\)

רק נקודה אחת! למרות שהמכנה ממעלה שנייה

שלב 6: הערה מעניינת 💭
גם המונה מתאפס ב-x = 4!
זה מקרה מיוחד של "חור",
אבל עדיין x = 4 לא בתחום!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 16 - 32 + 16 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 16 = 16 ✓
f(0) = -4/16 = -1/4

ב-x = 3:
מכנה: 9 - 24 + 16 = 1 ✓
f(3) = -1/1 = -1

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 40 + 16 = 1 ✓
f(5) = 1/1 = 1

טבלה 📊

x	(x-4)²	מוגדר?
2	4	✓
3	1	✓
4	0	✗
5	1	✓
6	4	✓

תשובה: x ≠ 4

שאלה 25

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^2}{4x^2-1}\)

\(x \neq 4, x \neq -1\)

\(x \neq \frac{1}{2}, x \neq -\frac{1}{2}\)

\(x \neq \frac{1}{4}\)

\(x \neq 0\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 4x² - 1

שלב 2: זיהוי הפרש ריבועים 📐
4x² - 1 = (2x)² - 1²
= (2x - 1)(2x + 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(2x - 1)(2x + 1) = 0

• 2x - 1 = 0 → 2x = 1 → x = 1/2
• 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = -1/2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq \frac{1}{2}, x \neq -\frac{1}{2}\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה x² מתאפס ב-x = 0
אבל x = 0 מוגדר!

בדיקה:
מכנה ב-x = 0: 4(0) - 1 = -1 ≠ 0 ✓

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1/2:
מכנה: 4(1/4) - 1 = 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1/2:
מכנה: 4(1/4) - 1 = 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 1 = -1 ✓
f(0) = 0/(-1) = 0

ב-x = 1:
מכנה: 4 - 1 = 3 ✓
f(1) = 1/3

טבלה 📊

x	4x²-1	מוגדר?
-1	3	✓
-1/2	0	✗
0	-1	✓
1/2	0	✗
1	3	✓

תשובה: x ≠ 1/2, x ≠ -1/2

שאלה 26

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{x^2+4x+4}\)

כל המספרים הממשיים

\(x \neq 2\)

\(x \neq -2\)

\(x \neq -2, x \neq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 4x + 4

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
בואו נבדוק: (x + 2)²

(x + 2)² = x² + 2·2·x + 2²
= x² + 4x + 4 ✓

כן!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x + 2)² = 0
x + 2 = 0
x = -2

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 4 - 8 + 4 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 + 4 = 4 ✓
f(0) = 1/4

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 4 + 4 = 1 ✓
f(-1) = 1/1 = 1

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 12 + 4 = 1 ✓
f(-3) = 1/1 = 1

טבלה 📊

x	(x+2)²	מוגדר?
-4	4	✓
-3	1	✓
-2	0	✗
-1	1	✓
0	4	✓

תשובה: x ≠ -2

שאלה 27

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+7}{x^2-49}\)

\(x \neq 7, x \neq -7\)

\(x \neq -7\)

\(x \neq 49\)

\(x \neq 7\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 49

שלב 2: פירוק הפרש ריבועים 📐
x² - 49 = x² - 7²
= (x - 7)(x + 7)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 7)(x + 7) = 0

• x - 7 = 0 → x = 7
• x + 7 = 0 → x = -7

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 7, x \neq -7\)

שלב 5: הערה מעניינת 💭
המונה: x + 7
מתאפס ב-x = -7

ב-x = -7 גם המונה וגם המכנה = 0
זה "חור", אבל עדיין לא בתחום!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 7:
מכנה: 49 - 49 = 0 ✗

ב-x = -7:
מכנה: 49 - 49 = 0 ✗
(גם המונה = 0)

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 49 = -49 ✓
f(0) = 7/(-49) = -1/7

ב-x = 8:
מכנה: 64 - 49 = 15 ✓
f(8) = 15/15 = 1

טבלה 📊

x	מונה	מכנה	מוגדר?
-8	-1	15	✓
-7	0	0	✗
0	7	-49	✓
7	14	0	✗
8	15	15	✓

תשובה: x ≠ 7, x ≠ -7

שאלה 28

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2x^2-5}{x^3+8}\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq -2, x \neq 2\)

\(x \neq -2\)

\(x \neq 8\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x³ + 8

שלב 2: זיהוי סכום קוביות 📐
x³ + 8 = x³ + 2³

זהו סכום קוביות!
נוסחה: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

שלב 3: פירוק 🔢
x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)

שלב 4: איפוס המכנה ✍️
(x + 2)(x² - 2x + 4) = 0

גורם ראשון:
x + 2 = 0 → x = -2

גורם שני:
x² - 2x + 4 = 0
נחשב דיסקרימיננטה:
Δ = 4 - 16 = -12 < 0

אין פתרון ממשי!

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -2\)

רק נקודה אחת אסורה!

שלב 6: למה x² - 2x + 4 לא מתאפס? 💭
x² - 2x + 4 = (x - 1)² + 3
≥ 3 > 0

תמיד חיובי!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: -8 + 8 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 8 = 8 ✓
f(0) = -5/8

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 8 = 9 ✓
f(1) = -3/9 = -1/3

ב-x = 2:
מכנה: 8 + 8 = 16 ✓
f(2) = 3/16

טבלה 📊

x	x³+8	מוגדר?
-3	-19	✓
-2	0	✗
0	8	✓
1	9	✓
2	16	✓

תשובה: x ≠ -2

שאלה 29

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^2+10x+25}{x+5}\)

\(x \neq 5\)

\(x \neq -5\)

כל המספרים הממשיים

\(x \neq -5, x \neq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי - רק המכנה! 🔍
מונה: x² + 10x + 25
מכנה: x + 5

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x + 5 = 0
x = -5

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -5\)

שלב 4: סקרנות - המונה 💭
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

גם המונה מתאפס ב-x = -5!
ניתן לצמצם:
\(\frac{(x+5)^2}{x+5} = x+5\) (כאשר x ≠ -5)

אבל x = -5 עדיין לא בתחום!

שלב 5: למה x = -5 לא בתחום? ⚠️
כי בפונקציה המקורית,
המכנה = 0 ב-x = -5

גם אם אפשר לצמצם,
הפונקציה המקורית לא מוגדרת שם!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
מכנה: -5 + 5 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 5 = 5 ✓
f(0) = 25/5 = 5

ב-x = -4:
מכנה: -4 + 5 = 1 ✓
f(-4) = 1/1 = 1

ב-x = -6:
מכנה: -6 + 5 = -1 ✓
f(-6) = 1/(-1) = -1

טבלה 📊

x	מונה	מכנה	מוגדר?
-7	4	-2	✓
-6	1	-1	✓
-5	0	0	✗
-4	1	1	✓
0	25	5	✓

תשובה: x ≠ -5

שאלה 30

3.33 נק'

🌟 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x^3-1}{x^2-2x+1}\)

\(x \neq 1, x \neq -1\)

\(x \neq 2\)

\(x \neq 1\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 2x + 1

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
x² - 2x + 1 = (x - 1)²

בדיקה:
(x - 1)² = x² - 2x + 1 ✓

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1\)

שלב 5: סקרנות - המונה 💭
מונה: x³ - 1
זהו הפרש קוביות!

x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

גם המונה מתאפס ב-x = 1!

שלב 6: צמצום אפשרי 📝
\(f(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)^2}\)
= \(\frac{x^2+x+1}{x-1}\) (כאשר x ≠ 1)

אבל x = 1 עדיין לא בתחום!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: 1 - 2 + 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 1 = 1 ✓
f(0) = -1/1 = -1

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 4 + 1 = 1 ✓
מונה: 8 - 1 = 7
f(2) = 7/1 = 7

ב-x = -1:
מכנה: 1 + 2 + 1 = 4 ✓
מונה: -1 - 1 = -2
f(-1) = -2/4 = -1/2

טבלה סופית 📊

x	מונה x³-1	מכנה (x-1)²	מוגדר?
-1	-2	4	✓
0	-1	1	✓
1	0	0	✗
2	7	1	✓
3	26	4	✓

סיכום כללי 🎯
עברנו על כל הטכניקות:
✓ הפרש ריבועים
✓ סכום/הפרש קוביות
✓ ריבועים מושלמים
✓ פירוק טרינומים
✓ הוצאת גורם משותף

תמיד: רק המכנה קובע את תחום ההגדרה!

תשובה סופית: x ≠ 1

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 30 הושלמו