גאומטריה אנליטית מעגל - בסיס

משוואת מעגל: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
המרכז הוא \((a, b) = (3, 2)\)

מהמשוואה: \(r^2 = 16\) לכן \(r = \sqrt{16} = 4\)

נציב את הנקודה במשוואה: \((6-3)^2 + (2-2)^2 = 9 + 0 = 9 = r^2\)
התוצאה שווה ל-9, לכן כן - הנקודה על המעגל!

מעגל עם מרכז בראשית הצירים: \(x^2 + y^2 = r^2 = 5^2 = 25\)

משוואה: \((x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2\)
כלומר: \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\)

מרחק בין נקודות: \(d = \sqrt{(5-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(r^2 = 36\) לכן \(r = \sqrt{36} = 6\)

נציב: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 ✓\)
כן! משולש 3-4-5 - הנקודה על המעגל

\((x+1)^2 = (x-(-1))^2\)
המרכז: \((-1, 4)\)

רדיוס = מרחק מהמרכז לנקודה:
\(r = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

\(r^2 = 49\) לכן \(r = \sqrt{49} = 7\)

נציב: \(0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25 ✓\)
כן! הנקודה על ציר y במרחק 5 מהראשית

משוואה: \((x-(-2))^2 + (y-3)^2 = 6^2\)
כלומר: \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 36\)

משוואה מהצורה \(x^2 + y^2 = r^2\) - המרכז תמיד בראשית \((0,0)\)

מרחק מ-(0,0) למרכז (3,4): \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
המרחק שווה לרדיוס, כן!

\(r^2 = 64\) לכן \(r = \sqrt{64} = 8\)

רדיוס = מרחק:
\(r = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)

מהמשוואה: \((x-7)^2 + (y-(-4))^2\)
המרכז: \((7, -4)\)

נציב: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 ✓\)
כן! משולש 6-8-10

משוואה: \((x-5)^2 + (y-(-1))^2 = 3^2\)
כלומר: \((x-5)^2 + (y+1)^2 = 9\)

על ציר x: \(y=0\)
נציב: \(x^2 + 0 = 16\) → \(x = ±4\)
נקודות: \((4,0), (-4,0)\)

על ציר y: \(x=0\)
נציב: \(0 + y^2 = 25\) → \(y = ±5\)
נקודות: \((0,5), (0,-5)\)

על ציר y: \(x=0\)
נציב: \((0-3)^2 + y^2 = 4\)
\(9 + y^2 = 4\) → \(y^2 = -5\)
אין פתרון! המעגל רחוק מדי מציר y

על ציר x: \(y=0\)
נציב: \((x-2)^2 + (0-3)^2 = 9\)
\((x-2)^2 + 9 = 9\) → \((x-2)^2 = 0\)
אין פתרון ממשי מלבד נגיעה

על ציר x: \(y=0\)
נציב: \(x^2 + 16 = 16\) → \(x^2 = 0\) → \(x = 0\)
נגיעה בנקודה אחת, אבל יש "חיתוך"

עם ציר x: \((3,0), (-3,0)\) - 2 נקודות
עם ציר y: \((0,3), (0,-3)\) - 2 נקודות
סה"כ: 4 נקודות

מרכז על ציר x, רדיוס 5
חותך את ציר x ב-\((0,0)\) ו-\((10,0)\)
לא חותך את ציר y (רחוק מדי)

נציב \(y=3\) במשוואת המעגל:
\(x^2 + 9 = 25\) → \(x^2 = 16\) → \(x = ±4\)
2 נקודות: \((4,3), (-4,3)\)

נציב \(x=5\):
\(25 + y^2 = 16\) → \(y^2 = -9\)
אין פתרון! הישר רחוק מדי (רדיוס=4, הישר ב-x=5)

נציב \(y=x\):
\(x^2 + x^2 = 8\) → \(2x^2 = 8\) → \(x^2 = 4\) → \(x = ±2\)
נקודות: \((2,2), (-2,-2)\)

הישר \(y=4\) עובר דרך מרכז המעגל \((3,4)\)
נציב: \((x-3)^2 + 0 = 25\) → \(x-3 = ±5\)
נקודות: \((8,4), (-2,4)\)

נציב \(x=0\):
\(1 + y^2 = 1\) → \(y^2 = 0\) → \(y = 0\)
נקודה אחת: \((0,0)\) - נגיעה!

במשולש ישר זווית: מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
רדיוס = חצי היתר = \(\frac{10}{2} = 5\)

היתר הוא 5 (הצלע הארוכה ביותר)
רדיוס = \(\frac{5}{2} = 2.5\)

היתר = קוטר המעגל = \(2r = 2 \cdot 6 = 12\)

הזווית הישרה ב-A. היתר הוא BC
מרכז המעגל = אמצע היתר = \((\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}) = (4,3)\)

היתר = 13, רדיוס = \(\frac{13}{2} = 6.5\)
משוואה: \(x^2 + y^2 = 6.5^2 = 42.25\)

מהמשוואה: \(r^2 = 100\) → \(r = 10\)
יתר = קוטר = \(2r = 20\)

במשולש ישר זווית, מרכז המעגל החוסם תמיד נמצא באמצע היתר (הצלע הארוכה ביותר)

אלכסון המלבן: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\)
רדיוס המעגל = חצי האלכסון = \(\frac{10}{2} = 5\)

אלכסון הריבוע: \(d = 10\sqrt{2}\)
רדיוס = חצי האלכסון = \(\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\)

רדיוס = 13 → אלכסון = 26
אלכסון מלבן: \(\sqrt{10^2 + b^2} = 26\)
\(100 + b^2 = 676\) → \(b^2 = 576\) → \(b = 24\)

\(r^2 = 50\) → \(r = 5\sqrt{2}\)
אלכסון = \(2r = 10\sqrt{2}\)
צלע = \(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10\)

צלעות המלבן: 6 ו-8
אלכסון: \(\sqrt{6^2+8^2} = 10\)
רדיוס: \(r = 5\)
משוואה: \(x^2 + y^2 = 25\)

נוסחת רדיוס המעגל החוסם: \(R = \frac{abc}{4S}\)
\(R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 14.7} = \frac{210}{58.8} \approx 3.57\)

\(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125\)

במשולש שווה צלעות: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\)
\(R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

צלעות: AB=6, AC=5, BC=5 (משולש שווה שוקיים)
שטח = 12
\(R = \frac{6 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = 3.125\)

נוסחת \(R = \frac{abc}{4S}\) דורשת את אורכי הצלעות הבודדים, לא רק היקף.
אי אפשר לחשב רק מהיקף ושטח.

גובה: \(h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)
שטח: \(S = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12\)
\(R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}\)

גובה: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\)
שטח: \(S = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\)
\(R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = 6.25\)

מנוסחת \(R = \frac{a \cdot a \cdot b}{4S}\) ושטח \(S = \frac{b \cdot h}{2}\)
גובה: \(h = \sqrt{a^2 - 9}\)
אחרי פתרון: \(a = 5\)

משטח: \(30 = \frac{10 \cdot h}{2}\) → \(h = 6\)
שוק: \(a = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}\)
\(R = \frac{\sqrt{61} \cdot \sqrt{61} \cdot 10}{4 \cdot 30} = \frac{610}{120} \approx 6.01\)

גובה: \(h = 12\) (משולש 5-12-13)
שטח: \(S = 60\)
\(R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = 6.5\)
משוואה: \(x^2 + y^2 = 6.5^2 = 42.25\)