אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה פונקציית שורש

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

תחום הגדרה פונקציית שורש

מבחן תחום הגדרה פונקציית שורש - 30 שאלות: ביטוי תחת שורש ≥0, פרבולות, ניתוח על ציר המספרים. הסברים מפורטים עם כללים.

תכנים שכוסו: ✅ שאלות בסיסיות (1-3): ביטויים לינאריים פשוטים ✅ פרבולות רגילות (4, 6, 10, 16, 22, 26): חיוביות מחוץ לשורשים ✅ פרבולות הפוכות (5, 8, 11, 15, 17, 23, 25, 30): חיוביות בין השורשים ✅ ביטויים שתמיד חיוביים (13, 24, 28): x² + מספר חיובי ✅ פונקציות נקודתיות (19, 29): רק נקודה אחת! ✅ ביטויים לינאריים (9, 12, 18, 21, 27) ✅ ריבועים מושלמים (14, 24) ✅ פירוק טרינומים (7, 8, 10, 15, 16, 20, 25, 30) כל שאלה כוללת: ✅ הסברים מפורטים 6-8 שלבים ✅ ניתוח פשוט על ציר המספרים (ללא גרפים מסובכים) ✅ סימון ברור: ✓ חיובי / ✗ שלילי ✅ בדיקות מספריות מקיפות ✅ טבלאות עם dir="ltr" ✅ דגש על הבנה: למה חיובי/שלילי ✅ כללים וטיפים חשובים

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 30

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x-3}\)

כל המספרים הממשיים

\(x \geq 3\) או \([3, \infty)\)

\(x \neq 3\)

\(x > 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציית שורש? 📚
פונקציית שורש היא פונקציה מהצורה:
\(f(x) = \sqrt{g(x)}\)

כאשר g(x) הוא ביטוי כלשהו.

כלל תחום הגדרה ⭐
שורש מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים!

כלומר: הביטוי תחת השורש חייב להיות:
\(g(x) \geq 0\)

שלב 1: זיהוי הביטוי תחת השורש 🔍
במקרה שלנו:
הביטוי תחת השורש: x - 3

שלב 2: דרישת אי-שליליות 📐
צריך:
x - 3 ≥ 0

שלב 3: פתרון האי-שוויון 🔢
x - 3 ≥ 0
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

או בסימון קטעים:
\([3, \infty)\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
√(3-3) = √0 = 0 ✓ מוגדר

ב-x = 4:
√(4-3) = √1 = 1 ✓ מוגדר

ב-x = 7:
√(7-3) = √4 = 2 ✓ מוגדר

ב-x = 2:
√(2-3) = √(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 0:
√(0-3) = √(-3) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x	x-3	√(x-3)	מוגדר?
0	-3	אין	✗
2	-1	אין	✗
3	0	0	✓
4	1	1	✓
7	4	2	✓

ייצוג על ציר המספרים 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

למה x = 3 כלול? 💭
כי √0 = 0 זה בסדר גמור!
השורש של 0 מוגדר היטב.
הבעיה רק עם מספרים שליליים.

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "x > 3": גם x = 3 מוגדר!
• "x ≠ 3": x = 3 דווקא מוגדר
• "כל המספרים": x < 3 לא מוגדרים

תשובה: x ≥ 3

שאלה 2

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{2x+6}\)

\(x \geq 3\)

\(x \geq -6\)

\(x \geq 6\)

\(x \geq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הביטוי 🔍
תחת השורש: 2x + 6

שלב 2: דרישה 📐
2x + 6 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ -6
x ≥ -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
2(-3) + 6 = 0
√0 = 0 ✓

ב-x = 0:
2(0) + 6 = 6
√6 ≈ 2.45 ✓

ב-x = -2:
2(-2) + 6 = 2
√2 ≈ 1.41 ✓

ב-x = -4:
2(-4) + 6 = -2
√(-2) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x	2x+6	מוגדר?
-5	-4	✗
-4	-2	✗
-3	0	✓
-2	2	✓
0	6	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
               -3            x

תשובה: x ≥ -3

שאלה 3

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{5-x}\)

\(x < 5\)

\(x \leq 5\)

\(x \geq 5\)

\(x \geq -5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 5 - x

שלב 2: דרישה 📐
5 - x ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
5 - x ≥ 0
5 ≥ x
או: x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שים לב: כיוון האי-שוויון התהפך!
כי x עם מקדם שלילי

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
5 - 5 = 0
√0 = 0 ✓

ב-x = 0:
5 - 0 = 5
√5 ≈ 2.24 ✓

ב-x = 3:
5 - 3 = 2
√2 ≈ 1.41 ✓

ב-x = 6:
5 - 6 = -1
√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 10:
5 - 10 = -5
√(-5) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x	5-x	מוגדר?
0	5	✓
3	2	✓
5	0	✓
6	-1	✗
10	-5	✗

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

הערה חשובה ⚠️
כשיש -x (מינוס x), הכיוון מתהפך!
5 - x ≥ 0 → x ≤ 5
לא x ≥ 5!

תשובה: x ≤ 5

שאלה 4

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-4}\)

\(-2 \leq x \leq 2\)

\(x \geq 2\)

כל המספרים הממשיים

\(x \leq -2\) או \(x \geq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 4
זוהי פרבולה!

שלב 2: דרישה 📐
x² - 4 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 4 = x² - 2²
= (x - 2)(x + 2)

שלב 4: מציאת השורשים ✍️
(x - 2)(x + 2) = 0

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

השורשים: x = -2, x = 2

שלב 5: ניתוח הפרבולה 📊
זוהי פרבולה עם מקדם חיובי (1 > 0)
לכן היא "חיוכית" ∪

גרף הפרבולה y = x² - 4:

      y
      ▲
      │    חיובי  חיובי
    ──┼──✓───┬───✓──▶ x
      │      │
      -2     2
      
    ✓ חיובי: x ≤ -2 או x ≥ 2
    ✗ שלילי: -2 < x < 2

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
הפרבולה חיובית כאשר:
\(x \leq -2\) או \(x \geq 2\)

בסימון: \((-\infty, -2] \cup [2, \infty)\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
4 - 4 = 0 ✓

ב-x = 2:
4 - 4 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 4 = -4 ✗

ב-x = 3:
9 - 4 = 5 ✓

ב-x = -3:
9 - 4 = 5 ✓

טבלה 📊

x	x²-4	מוגדר?
-3	5	✓
-2	0	✓
0	-4	✗
2	0	✓
3	5	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר | ✗ לא | ✓ מוגדר
    ◀═══════●───────●═══════▶
           -2      2        x

תשובה: x ≤ -2 או x ≥ 2

שאלה 5

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{9-x^2}\)

\(-3 \leq x \leq 3\)

\(x \geq 3\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 9 - x²
זוהי פרבולה הפוכה!

שלב 2: דרישה 📐
9 - x² ≥ 0

שלב 3: סידור מחדש 🔢
9 - x² ≥ 0
9 ≥ x²
x² ≤ 9

שלב 4: פירוק ✍️
9 - x² = -(x² - 9)
= -(x - 3)(x + 3)

שלב 5: מציאת השורשים 📝
9 - x² = 0
x² = 9
x = ±3

השורשים: x = -3, x = 3

שלב 6: ניתוח הפרבולה 📊
y = 9 - x² היא פרבולה הפוכה (מקדם של x² שלילי)

גרף הפרבולה y = 9 - x²:

מסקנה מהגרף: 🎯
הפרבולה חיובית (מעל ציר x) בין השורשים:
\(-3 \leq x \leq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
9 - 0 = 9 ✓ חיובי

ב-x = 3:
9 - 9 = 0 ✓ חיובי (על הציר)

ב-x = -3:
9 - 9 = 0 ✓ חיובי (על הציר)

ב-x = 4:
9 - 16 = -7 ✗ שלילי

ב-x = -4:
9 - 16 = -7 ✗ שלילי

טבלה 📊

x	9-x²	מוגדר?
-4	-7	✗
-3	0	✓
0	9	✓
3	0	✓
4	-7	✗

ייצוג על ציר המספרים 📏

  שלילי    חיובי    שלילי
    ✗   |    ✓    |   ✗
────────●═════════●────────▶
       -3         3        x

כלל חשוב ⭐
פרבולה הפוכה (-x²) חיובית בין השורשים!

תשובה: -3 ≤ x ≤ 3

שאלה 6

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-9}\)

\(x \geq 3\)

כל המספרים הממשיים

\(-3 \leq x \leq 3\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 9
פרבולה רגילה (פונה כלפי מעלה)

שלב 2: דרישה 📐
x² - 9 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

שלב 4: השורשים ✍️
x² - 9 = 0
x = ±3

השורשים: -3 ו-3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -3 או x ≥ 3
✗ שלילי: -3 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים:
\(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
9 - 9 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 - 9 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 9 = -9 ✗

ב-x = 4:
16 - 9 = 7 ✓

ב-x = -4:
16 - 9 = 7 ✓

טבלה 📊

x	x²-9	מוגדר?
-4	7	✓
-3	0	✓
0	-9	✗
3	0	✓
4	7	✓

כלל חשוב ⭐
פרבולה רגילה (+x²) חיובית מחוץ לשורשים!

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ 3

שאלה 7

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2+5x+6}\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq -2\)

כל המספרים הממשיים

\(-3 \leq x \leq -2\)

\(x \geq -2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 5x + 6
טרינום ריבועי - פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² + 5x + 6 ≥ 0

שלב 3: פירוק הטרינום 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = 5

המספרים: 2 ו-3

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x + 2)(x + 3) = 0

• x + 2 = 0 → x = -2
• x + 3 = 0 → x = -3

השורשים: -3 ו--2

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3      -2       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -3 או x ≥ -2
✗ שלילי: -3 < x < -2

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -3\) או \(x \geq -2\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
9 - 15 + 6 = 0 ✓

ב-x = -2:
4 - 10 + 6 = 0 ✓

ב-x = -2.5:
6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 ✗

ב-x = 0:
0 + 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = -5:
25 - 25 + 6 = 6 ✓

טבלה 📊

x	x²+5x+6	מוגדר?
-5	6	✓
-3	0	✓
-2.5	-0.25	✗
-2	0	✓
0	6	✓

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ -2

שאלה 8

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2+4x-3}\)

\(x \geq 3\)

כל המספרים הממשיים

\(x \leq 1\) או \(x \geq 3\)

\(1 \leq x \leq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 4x - 3
פרבולה הפוכה (מקדם x² שלילי)

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 4x - 3 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 4x - 3 = -(x² - 4x + 3)

שלב 4: פירוק הטרינום ✍️
x² - 4x + 3

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

לכן:
-x² + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + 4x - 3 = 0
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0

• x = 1
• x = 3

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
        1       3        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: 1 ≤ x ≤ 3 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < 1 או x > 3

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
הפרבולה ההפוכה חיובית בין השורשים:
\(1 \leq x \leq 3\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
-1 + 4 - 3 = 0 ✓

ב-x = 3:
-9 + 12 - 3 = 0 ✓

ב-x = 2:
-4 + 8 - 3 = 1 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 - 3 = -3 ✗

ב-x = 4:
-16 + 16 - 3 = -3 ✗

טבלה 📊

x	-x²+4x-3	מוגדר?
0	-3	✗
1	0	✓
2	1	✓
3	0	✓
4	-3	✗

תשובה: 1 ≤ x ≤ 3

שאלה 9

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{4x-12}\)

\(x \geq 12\)

\(x \geq 4\)

\(x \geq 3\)

\(x \leq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 4x - 12
ביטוי לינארי (קו ישר)

שלב 2: דרישה 📐
4x - 12 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
4x - 12 ≥ 0
4x ≥ 12
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
4(3) - 12 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
4(4) - 12 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 5:
4(5) - 12 = 8 ✓
√8 ≈ 2.83

ב-x = 2:
4(2) - 12 = -4 ✗

ב-x = 0:
4(0) - 12 = -12 ✗

טבלה 📊

x	4x-12	מוגדר?
0	-12	✗
2	-4	✗
3	0	✓
4	4	✓
5	8	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

תשובה: x ≥ 3

שאלה 10

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-2x-8}\)

\(x \leq -2\)

\(-2 \leq x \leq 4\)

\(x \leq -2\) או \(x \geq 4\)

\(x \geq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 2x - 8
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 2x - 8 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = -2

המספרים: -4 ו-2

x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 4)(x + 2) = 0

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 2 = 0 → x = -2

השורשים: -2 ו-4

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -2       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -2 או x ≥ 4
✗ שלילי: -2 < x < 4

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -2\) או \(x \geq 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
4 + 4 - 8 = 0 ✓

ב-x = 4:
16 - 8 - 8 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 0 - 8 = -8 ✗

ב-x = 5:
25 - 10 - 8 = 7 ✓

ב-x = -3:
9 + 6 - 8 = 7 ✓

טבלה 📊

x	x²-2x-8	מוגדר?
-3	7	✓
-2	0	✓
0	-8	✗
4	0	✓
5	7	✓

תשובה: x ≤ -2 או x ≥ 4

שאלה 11

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{16-x^2}\)

כל המספרים הממשיים

\(-4 \leq x \leq 4\)

\(x \geq 4\)

\(x \leq -4\) או \(x \geq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 16 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
16 - x² ≥ 0

שלב 3: סידור 🔢
16 - x² ≥ 0
16 ≥ x²
x² ≤ 16

שלב 4: פירוק ✍️
16 - x² = 4² - x²
= (4 - x)(4 + x)
= -(x - 4)(x + 4)

שלב 5: השורשים 📝
16 - x² = 0
x² = 16
x = ±4

השורשים: -4 ו-4

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -4 ≤ x ≤ 4 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -4 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-4 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
16 - 0 = 16 ✓
√16 = 4

ב-x = 4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = -4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = 5:
16 - 25 = -9 ✗

ב-x = -5:
16 - 25 = -9 ✗

טבלה 📊

x	16-x²	מוגדר?
-5	-9	✗
-4	0	✓
0	16	✓
4	0	✓
5	-9	✗

תשובה: -4 ≤ x ≤ 4

שאלה 12

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-3x+15}\)

\(x \geq 15\)

\(x \leq 15\)

\(x \leq 5\)

\(x \geq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -3x + 15
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
-3x + 15 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
-3x + 15 ≥ 0
-3x ≥ -15

שים לב! כשמחלקים ב--3,
הכיוון מתהפך:

x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
-3(5) + 15 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
-3(0) + 15 = 15 ✓
√15 ≈ 3.87

ב-x = 3:
-3(3) + 15 = 6 ✓
√6 ≈ 2.45

ב-x = 6:
-3(6) + 15 = -3 ✗

ב-x = 10:
-3(10) + 15 = -15 ✗

טבלה 📊

x	-3x+15	מוגדר?
0	15	✓
3	6	✓
5	0	✓
6	-3	✗
10	-15	✗

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

הערה חשובה ⚠️
כשמחלקים במספר שלילי,
כיוון האי-שוויון מתהפך!

תשובה: x ≤ 5

שאלה 13

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2+4}\)

\(x \neq -2, x \neq 2\)

\(x \geq -2\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \geq 0\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 4

שלב 2: דרישה 📐
x² + 4 ≥ 0

שלב 3: ניתוח 🔢
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע תמיד אי-שלילי)

לכן:
x² + 4 ≥ 0 + 4 = 4 > 0

המסקנה: x² + 4 תמיד חיובי!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה תמיד חיובי? 💭
• ריבוע של כל מספר ≥ 0
• הכי קטן ש-x² יכול להיות: 0 (ב-x=0)
• לכן הכי קטן ש-x² + 4 יכול להיות: 4
• אף פעם לא מגיע ל-0!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0 + 4 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 1:
1 + 4 = 5 ✓
√5 ≈ 2.24

ב-x = -1:
1 + 4 = 5 ✓

ב-x = 100:
10000 + 4 = 10004 ✓

ב-x = -100:
10000 + 4 = 10004 ✓

טבלה 📊

x	x²	x²+4	מוגדר?
-2	4	8	✓
-1	1	5	✓
0	0	4	✓
1	1	5	✓
2	4	8	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד חיובי!
תחום ההגדרה: כל ℝ

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 14

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-6x+9}\)

\(x \neq 3\)

\(x \geq 3\)

\(x \leq 3\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 6x + 9
טרינום ריבועי

שלב 2: דרישה 📐
x² - 6x + 9 ≥ 0

שלב 3: זיהוי ריבוע מושלם 🔢
האם זה ריבוע מושלם?

(x - 3)² = x² - 2·3·x + 3²
= x² - 6x + 9 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 4: כתיבה מחדש ✍️
x² - 6x + 9 = (x - 3)²

שלב 5: ניתוח 💭
(x - 3)² ≥ 0

ריבוע תמיד אי-שלילי!
(x - 3)² ≥ 0 לכל x

המינימום הוא 0 (ב-x = 3)

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
(3 - 3)² = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
(0 - 3)² = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = 5:
(5 - 3)² = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 1:
(1 - 3)² = 4 ✓

ב-x = -10:
(-10 - 3)² = 169 ✓
√169 = 13

טבלה 📊

x	(x-3)²	√(x-3)²	מוגדר?
0	9	3	✓
1	4	2	✓
3	0	0	✓
5	4	2	✓
10	49	7	✓

הערה מעניינת 💡
√((x-3)²) = |x-3|
זוהי פונקציית ערך מוחלט!

כלל חשוב ⭐
ריבוע מושלם תמיד ≥ 0
לכן תמיד מוגדר בשורש!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 15

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2-2x+8}\)

כל המספרים הממשיים

\(x \geq 2\)

\(-4 \leq x \leq 2\)

\(x \leq -4\) או \(x \geq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² - 2x + 8
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² - 2x + 8 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² - 2x + 8 = -(x² + 2x - 8)

שלב 4: פירוק ✍️
x² + 2x - 8

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = 2

המספרים: 4 ו--2

x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

לכן:
-x² - 2x + 8 = -(x + 4)(x - 2)

שלב 5: השורשים 📝
-x² - 2x + 8 = 0
x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0

• x = -4
• x = 2

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       2        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -4 ≤ x ≤ 2 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -4 או x > 2

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-4 \leq x \leq 2\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
-16 + 8 + 8 = 0 ✓

ב-x = 2:
-4 - 4 + 8 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 0 + 8 = 8 ✓

ב-x = -5:
-25 + 10 + 8 = -7 ✗

ב-x = 3:
-9 - 6 + 8 = -7 ✗

טבלה 📊

x	-x²-2x+8	מוגדר?
-5	-7	✗
-4	0	✓
0	8	✓
2	0	✓
3	-7	✗

תשובה: -4 ≤ x ≤ 2

שאלה 16

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-5x+6}\)

\(x \leq 2\) או \(x \geq 3\)

\(x \geq 3\)

\(2 \leq x \leq 3\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 5x + 6
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 5x + 6 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

המספרים: -2 ו--3

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 2)(x - 3) = 0

• x = 2
• x = 3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
        2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ 2 או x ≥ 3
✗ שלילי: 2 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq 2\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
4 - 10 + 6 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 - 15 + 6 = 0 ✓

ב-x = 2.5:
6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 ✗

ב-x = 0:
0 - 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = 5:
25 - 25 + 6 = 6 ✓

טבלה 📊

x	x²-5x+6	מוגדר?
0	6	✓
2	0	✓
2.5	-0.25	✗
3	0	✓
5	6	✓

תשובה: x ≤ 2 או x ≥ 3

שאלה 17

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{25-x^2}\)

\(x \leq -5\) או \(x \geq 5\)

\(x \leq 5\)

\(-5 \leq x \leq 5\)

\(x \geq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 25 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
25 - x² ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
25 - x² = 5² - x²
= (5 - x)(5 + x)
= -(x - 5)(x + 5)

שלב 4: השורשים ✍️
25 - x² = 0
x² = 25
x = ±5

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -5       5        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -5 ≤ x ≤ 5
✗ שלילי: x < -5 או x > 5

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(-5 \leq x \leq 5\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
25 - 0 = 25 ✓
√25 = 5

ב-x = 5:
25 - 25 = 0 ✓

ב-x = -5:
25 - 25 = 0 ✓

ב-x = 6:
25 - 36 = -11 ✗

ב-x = 3:
25 - 9 = 16 ✓
√16 = 4

טבלה 📊

x	25-x²	מוגדר?
-6	-11	✗
-5	0	✓
0	25	✓
5	0	✓
6	-11	✗

תשובה: -5 ≤ x ≤ 5

שאלה 18

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{6x+18}\)

\(x \geq -3\)

\(x \geq 18\)

\(x \geq 3\)

\(x \leq -3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 6x + 18
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
6x + 18 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
6x + 18 ≥ 0
6x ≥ -18
x ≥ -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
6(-3) + 18 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
6(0) + 18 = 18 ✓
√18 ≈ 4.24

ב-x = 1:
6(1) + 18 = 24 ✓
√24 ≈ 4.90

ב-x = -4:
6(-4) + 18 = -6 ✗

ב-x = -5:
6(-5) + 18 = -12 ✗

טבלה 📊

x	6x+18	מוגדר?
-5	-12	✗
-4	-6	✗
-3	0	✓
0	18	✓
1	24	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
               -3            x

תשובה: x ≥ -3

שאלה 19

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2+6x-9}\)

\(x \leq 3\)

\(x \geq 3\)

\(x = 3\) בלבד

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 6x - 9
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 6x - 9 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 6x - 9 = -(x² - 6x + 9)

שלב 4: זיהוי ריבוע מושלם ✍️
x² - 6x + 9

בואו נבדוק: (x - 3)²
(x - 3)² = x² - 6x + 9 ✓

לכן:
-x² + 6x - 9 = -(x - 3)²

שלב 5: ניתוח 💭
-(x - 3)² ≥ 0

• (x - 3)² ≥ 0 תמיד (ריבוע)
• -(x - 3)² ≤ 0 תמיד!

מתי -(x - 3)² = 0?
רק כאשר x = 3

לכל x אחר: -(x - 3)² < 0

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
רק נקודה אחת!
x = 3 בלבד

שלב 7: למה רק נקודה אחת? 🤔
-(x - 3)² הוא:
• שלילי לכל x ≠ 3
• אפס רק ב-x = 3
• אף פעם לא חיובי!

לכן השורש מוגדר רק ב-x = 3

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
-9 + 18 - 9 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 2:
-4 + 12 - 9 = -1 ✗

ב-x = 4:
-16 + 24 - 9 = -1 ✗

ב-x = 0:
0 + 0 - 9 = -9 ✗

ב-x = 5:
-25 + 30 - 9 = -4 ✗

טבלה 📊

x	-(x-3)²	מוגדר?
0	-9	✗
2	-1	✗
3	0	✓
4	-1	✗
5	-4	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗     ✗  |✓|  ✗     ✗
    ─────────●─────────▶
             3         x

מקרה מיוחד! ⭐
זה נקרא "פונקציה נקודתית"
מוגדרת רק בנקודה אחת!

תשובה: x = 3 בלבד

שאלה 20

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2+2x-15}\)

\(x \leq -5\) או \(x \geq 3\)

\(x \leq -5\)

\(-5 \leq x \leq 3\)

\(x \geq 3\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 2x - 15
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² + 2x - 15 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -15
• סכומם = 2

המספרים: 5 ו--3

x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x + 5)(x - 3) = 0

• x + 5 = 0 → x = -5
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -5       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -5 או x ≥ 3
✗ שלילי: -5 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -5\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
25 - 10 - 15 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 + 6 - 15 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 - 15 = -15 ✗

ב-x = -6:
36 - 12 - 15 = 9 ✓

ב-x = 4:
16 + 8 - 15 = 9 ✓

טבלה 📊

x	x²+2x-15	מוגדר?
-6	9	✓
-5	0	✓
0	-15	✗
3	0	✓
4	9	✓

תשובה: x ≤ -5 או x ≥ 3

שאלה 21

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-2x+10}\)

\(x \leq 10\)

\(x \geq 5\)

\(x \geq 10\)

\(x \leq 5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -2x + 10
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
-2x + 10 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
-2x + 10 ≥ 0
-2x ≥ -10

חלוקה ב--2 (הכיוון מתהפך!):
x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
-2(5) + 10 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
-2(0) + 10 = 10 ✓
√10 ≈ 3.16

ב-x = 3:
-2(3) + 10 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 6:
-2(6) + 10 = -2 ✗

ב-x = 10:
-2(10) + 10 = -10 ✗

טבלה 📊

x	-2x+10	מוגדר?
0	10	✓
3	4	✓
5	0	✓
6	-2	✗
10	-10	✗

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

תזכורת חשובה ⚠️
חלוקה במספר שלילי → כיוון מתהפך!

תשובה: x ≤ 5

שאלה 22

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-1}\)

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1\)

\(x \geq 1\)

כל המספרים הממשיים

\(-1 \leq x \leq 1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 1
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 1 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 1 = x² - 1²
= (x - 1)(x + 1)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 1)(x + 1) = 0

• x = 1
• x = -1

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -1       1       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -1 או x ≥ 1
✗ שלילי: -1 < x < 1

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -1\) או \(x \geq 1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = -1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 1 = -1 ✗

ב-x = 2:
4 - 1 = 3 ✓

ב-x = -2:
4 - 1 = 3 ✓

טבלה 📊

x	x²-1	מוגדר?
-2	3	✓
-1	0	✓
0	-1	✗
1	0	✓
2	3	✓

תשובה: x ≤ -1 או x ≥ 1

שאלה 23

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\)

\(x \geq 1\)

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1\)

\(-1 \leq x \leq 1\)

כל המספרים הממשיים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 1 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
1 - x² ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
1 - x² = 1² - x²
= (1 - x)(1 + x)
= -(x - 1)(x + 1)

שלב 4: השורשים ✍️
1 - x² = 0
x² = 1
x = ±1

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -1       1        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -1 ≤ x ≤ 1
✗ שלילי: x < -1 או x > 1

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(-1 \leq x \leq 1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
1 - 0 = 1 ✓
√1 = 1

ב-x = 1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = -1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = 2:
1 - 4 = -3 ✗

ב-x = 0.5:
1 - 0.25 = 0.75 ✓

טבלה 📊

x	1-x²	מוגדר?
-2	-3	✗
-1	0	✓
0	1	✓
1	0	✓
2	-3	✗

הערה מעניינת 💡
זהו למעשה חצי מעגל עליון!
המשוואה x² + y² = 1 היא מעגל,
וכאן y = √(1 - x²) זה החצי העליון.

תשובה: -1 ≤ x ≤ 1

שאלה 24

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2+10x+25}\)

\(x \leq -5\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \neq -5\)

\(x \geq -5\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 10x + 25
טרינום ריבועי

שלב 2: דרישה 📐
x² + 10x + 25 ≥ 0

שלב 3: זיהוי ריבוע מושלם 🔢
בואו נבדוק: (x + 5)²

(x + 5)² = x² + 2·5·x + 5²
= x² + 10x + 25 ✓

זהו ריבוע מושלם!

שלב 4: ניתוח ✍️
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

(x + 5)² ≥ 0 תמיד!

ריבוע תמיד אי-שלילי

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
25 - 50 + 25 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 + 25 = 25 ✓
√25 = 5

ב-x = -10:
100 - 100 + 25 = 25 ✓

ב-x = 5:
25 + 50 + 25 = 100 ✓
√100 = 10

טבלה 📊

x	(x+5)²	מוגדר?
-10	25	✓
-5	0	✓
0	25	✓
5	100	✓
10	225	✓

הערה 💡
√((x+5)²) = |x+5|
זוהי פונקציית ערך מוחלט!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 25

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2+x+12}\)

כל המספרים הממשיים

\(x \geq 4\)

\(-3 \leq x \leq 4\)

\(x \leq -3\) או \(x \geq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + x + 12
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + x + 12 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + x + 12 = -(x² - x - 12)

שלב 4: פירוק ✍️
x² - x - 12

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -12
• סכומם = -1

המספרים: -4 ו-3

x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

לכן:
-x² + x + 12 = -(x - 4)(x + 3)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + x + 12 = 0
x² - x - 12 = 0
(x - 4)(x + 3) = 0

• x = 4
• x = -3

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -3       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -3 ≤ x ≤ 4
✗ שלילי: x < -3 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-3 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
-9 - 3 + 12 = 0 ✓

ב-x = 4:
-16 + 4 + 12 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 + 12 = 12 ✓

ב-x = -4:
-16 - 4 + 12 = -8 ✗

ב-x = 5:
-25 + 5 + 12 = -8 ✗

טבלה 📊

x	-x²+x+12	מוגדר?
-4	-8	✗
-3	0	✓
0	12	✓
4	0	✓
5	-8	✗

תשובה: -3 ≤ x ≤ 4

שאלה 26

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2-16}\)

\(-4 \leq x \leq 4\)

\(x \geq 4\)

\(x \leq -4\) או \(x \geq 4\)

\(x \neq 4, x \neq -4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 16
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 16 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 16 = x² - 4²
= (x - 4)(x + 4)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 4)(x + 4) = 0

• x = 4
• x = -4

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -4       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -4 או x ≥ 4
✗ שלילי: -4 < x < 4

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -4\) או \(x \geq 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = -4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 16 = -16 ✗

ב-x = 5:
25 - 16 = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = -5:
25 - 16 = 9 ✓

טבלה 📊

x	x²-16	מוגדר?
-5	9	✓
-4	0	✓
0	-16	✗
4	0	✓
5	9	✓

תשובה: x ≤ -4 או x ≥ 4

שאלה 27

3.33 נק'

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{7x-21}\)

\(x \geq 7\)

\(x \leq 3\)

\(x \geq 3\)

\(x \geq 21\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 7x - 21
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
7x - 21 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
7x - 21 ≥ 0
7x ≥ 21
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
7(3) - 21 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
7(4) - 21 = 7 ✓
√7 ≈ 2.65

ב-x = 5:
7(5) - 21 = 14 ✓
√14 ≈ 3.74

ב-x = 2:
7(2) - 21 = -7 ✗

ב-x = 0:
7(0) - 21 = -21 ✗

טבלה 📊

x	7x-21	מוגדר?
0	-21	✗
2	-7	✗
3	0	✓
4	7	✓
5	14	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

תשובה: x ≥ 3

שאלה 28

3.33 נק'

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\)

כל המספרים הממשיים \((\mathbb{R})\)

\(x \neq -1, x \neq 1\)

\(x \geq 0\)

\(x \geq -1\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 1

שלב 2: דרישה 📐
x² + 1 ≥ 0

שלב 3: ניתוח 🔢
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע)

לכן:
x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0

תמיד חיובי!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה תמיד חיובי? 💭
• המינימום של x² הוא 0
• לכן המינימום של x² + 1 הוא 1
• אף פעם לא מגיע ל-0!
• תמיד > 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0 + 1 = 1 ✓
√1 = 1

ב-x = 1:
1 + 1 = 2 ✓
√2 ≈ 1.41

ב-x = -1:
1 + 1 = 2 ✓

ב-x = 5:
25 + 1 = 26 ✓

ב-x = -100:
10000 + 1 = 10001 ✓

טבלה 📊

x	x²	x²+1	מוגדר?
-2	4	5	✓
-1	1	2	✓
0	0	1	✓
1	1	2	✓
2	4	5	✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד מוגדר!

תשובה: כל המספרים הממשיים

שאלה 29

3.33 נק'

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2+4x-4}\)

כל המספרים הממשיים

\(x \geq 2\)

\(x = 2\) בלבד

\(x \leq 2\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 4x - 4
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 4x - 4 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 4x - 4 = -(x² - 4x + 4)

שלב 4: זיהוי ריבוע מושלם ✍️
x² - 4x + 4

בואו נבדוק: (x - 2)²
(x - 2)² = x² - 4x + 4 ✓

לכן:
-x² + 4x - 4 = -(x - 2)²

שלב 5: ניתוח 💭
-(x - 2)² ≥ 0

• (x - 2)² ≥ 0 תמיד
• -(x - 2)² ≤ 0 תמיד!

מתי שווה ל-0?
רק כאשר x = 2

לכל x אחר: -(x - 2)² < 0

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
רק נקודה אחת!
x = 2 בלבד

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
-4 + 8 - 4 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 - 4 = -4 ✗

ב-x = 1:
-1 + 4 - 4 = -1 ✗

ב-x = 3:
-9 + 12 - 4 = -1 ✗

ב-x = 4:
-16 + 16 - 4 = -4 ✗

טבלה 📊

x	-(x-2)²	מוגדר?
0	-4	✗
1	-1	✗
2	0	✓
3	-1	✗
4	-4	✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗     ✗  |✓|  ✗     ✗
    ─────────●─────────▶
             2         x

מקרה מיוחד! ⭐
פונקציה נקודתית!
מוגדרת רק בנקודה אחת!

תשובה: x = 2 בלבד

שאלה 30

3.33 נק'

🌟 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \sqrt{-x^2+2x+8}\)

\(x \leq -2\) או \(x \geq 4\)

כל המספרים הממשיים

\(-2 \leq x \leq 4\)

\(x \geq 4\)

הסבר:

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 2x + 8
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 2x + 8 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 2x + 8 = -(x² - 2x - 8)

שלב 4: פירוק הטרינום ✍️
x² - 2x - 8

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = -2

המספרים: -4 ו-2

x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

לכן:
-x² + 2x + 8 = -(x - 4)(x + 2)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + 2x + 8 = 0
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0

• x = 4
• x = -2

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -2       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -2 ≤ x ≤ 4 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -2 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-2 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות מקיפות 🧪
ב-x = -2:
-4 - 4 + 8 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
-16 + 8 + 8 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 + 8 = 8 ✓
√8 ≈ 2.83

ב-x = 1:
-1 + 2 + 8 = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = -3:
-9 - 6 + 8 = -7 ✗

ב-x = 5:
-25 + 10 + 8 = -7 ✗

טבלה מפורטת 📊

x	-x²+2x+8	√	מוגדר?
-3	-7	-	✗
-2	0	0	✓
0	8	2.83	✓
1	9	3	✓
4	0	0	✓
5	-7	-	✗

סיכום כל הטכניקות שעברנו 🎯
במבחן זה למדנו:
✅ ביטויים לינאריים
✅ פרבולות רגילות (+x²)
✅ פרבולות הפוכות (-x²)
✅ פירוק טרינומים
✅ הפרש/סכום ריבועים
✅ ריבועים מושלמים
✅ ביטויים שתמיד חיוביים
✅ פונקציות נקודתיות

עקרון מרכזי ⭐
תמיד:
1. דרוש שהביטוי תחת השורש ≥ 0
2. מצא את השורשים
3. בדוק סימנים על ציר המספרים
4. כתוב תחום הגדרה

תשובה סופית: -2 ≤ x ≤ 4

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 30 הושלמו