קשרים בין גרף הפונקציה, הנגזרת והנגזרת השנייה

💡 הסבר מפורט - יסודות הקשר בין הגרפים:

📚 תזכורת יסודית - הכללים הבסיסיים:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍
נתון על f'(x) ב-x=2:
✅ f'(x) חותך את ציר ה-x ב-x=2 → \(f'(2) = 0\)
✅ עובר משלילי לחיובי → שינוי סימן

שלב 2: ניתוח סימן f'(x) סביב x=2 📐

שלב 3: הקשר ל-f''(x) - הנגזרת השנייה 💭
אם f'(x) עולה ב-x=2 ← הנגזרת של f'(x) חיובית
הנגזרת של f'(x) זה f''(x)!

מסקנה: \(f''(2) > 0\)

שלב 4: מה יש לנו על f(x)? ✍️

שלב 5: מבחן הנגזרת השנייה 🎯

שלב 6: התנהגות f(x) סביב x=2 📊

שלב 7: המסקנה הסופית 🌟
מכיוון ש-f'(2) = 0 ו-f''(2) > 0,
ל-f(x) יש נקודת מינימום מקומית ב-x=2

איך לזכור? 💡
🔹 נגזרת עוברת מ-שלילי לחיובי = מינימום ⬊⬈
🔹 נגזרת עוברת מ-חיובי לשלילי = מקסימום ⬈⬊
🔹 נגזרת שנייה חיובית = קעורה כלפי מעלה = מינימום ∪
🔹 נגזרת שנייה שלילית = קעורה כלפי מטה = מקסימום ∩

תשובה: נקודת מינימום מקומית ב-x=2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתון 🔍
נתון: \(f'(x) > 0\) בקטע 1 < x < 3

הנגזרת הראשונה חיובית!

שלב 2: הכלל הבסיסי 📐

שלב 3: הסבר אינטואיטיבי 💭
למה f'(x) > 0 אומר ש-f(x) עולה?

🔹 f'(x) היא הנגזרת של f(x)
🔹 הנגזרת מודדת את קצב השינוי
🔹 אם הקצב חיובי → הפונקציה גדלה/עולה!

אנלוגיה: 🚗
אם המהירות שלך חיובית → אתה נוסע קדימה!

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: טעויות נפוצות ⚠️

שלב 6: זיכרון מהיר 💡
🔹 f'(x) (נגזרת ראשונה) → עלייה/ירידה של f(x)
🔹 f''(x) (נגזרת שנייה) → קעירות של f(x)

תשובה: f(x) עולה בקטע 1 < x < 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתון 🔍
נתון: \(f'(x) < 0\) בקטע -2 < x < 1

הנגזרת שלילית!

שלב 2: הכלל 📐

שלב 3: הסבר אינטואיטיבי 💭
נגזרת שלילית = קצב שינוי שלילי

אנלוגיה: 🚗
אם המהירות שלך שלילית (כמו -50 קמ"ש)
→ אתה נוסע אחורה = יורד!

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: דוגמה מספרית 🔢
נניח f(x) = -x² בקטע -2 < x < 1

f'(x) = -2x

בואו נבדוק נקודות:
🔹 x = -1: f'(-1) = 2 > 0? לא, זה דוגמה לא טובה.

נניח f(x) = -x
f'(x) = -1 < 0 ✓

טבלה:

הפונקציה יורדת! ✓

תשובה: f(x) יורדת בקטע -2 < x < 1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍
ב-x=4:
✅ f'(x) חותך את ציר x → \(f'(4) = 0\)
✅ עובר מחיובי לשלילי

שלב 2: ניתוח סימן f'(x) סביב x=4 📐

שלב 3: הקשר ל-f''(x) 💭
אם f'(x) יורד ב-x=4 ← הנגזרת של f'(x) שלילית

מסקנה: \(f''(4) < 0\)

שלב 4: מה יש לנו? ✍️

שלב 5: מבחן הנגזרת השנייה 🎯

שלב 6: התנהגות f(x) סביב x=4 📊

שלב 7: הסבר ויזואלי 🌟
נקודת מקסימום = הפונקציה מגיעה ל"פסגה"
🔹 לפני הפסגה: עולה ↗ (f' > 0)
🔹 בפסגה: נקודת שינוי (f' = 0)
🔹 אחרי הפסגה: יורדת ↘ (f' < 0)

איך לזכור? 💡
🔹 חיובי → אפס → שלילי = מקסימום ∩
🔹 שלילי → אפס → חיובי = מינימום ∪

תשובה: נקודת מקסימום מקומית ב-x=4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתון 🔍
f''(x) חותך את ציר x ב-x=3

זה אומר: \(f''(3) = 0\)

שלב 2: מה f''(x) מייצג? 📐

שלב 3: קשר בין f''(x) לקעירות 💭

שלב 4: מהי נקודת פיתול? ✍️
נקודת פיתול = נקודה שבה הקעירות משתנה

דוגמאות:
🔹 מ-∪ (כלפי מעלה) ← ל-∩ (כלפי מטה)
🔹 מ-∩ (כלפי מטה) ← ל-∪ (כלפי מעלה)

שלב 5: תנאים לנקודת פיתול 🎯

שלב 6: מה יודעים על x=3? 🔍

שלב 7: למה "חשודה"? ⚠️
כי צריך שני תנאים:

1️⃣ f''(3) = 0 ✓ (יש לנו!)
2️⃣ שינוי סימן ❓ (לא יודעים!)

לכן: x=3 היא נקודה חשודה לפיתול

שלב 8: דוגמה נגדית 🚫
f(x) = x⁴

נגזרות:
f'(x) = 4x³
f''(x) = 12x²

ב-x=0:
🔹 f''(0) = 0 ✓
🔹 אבל f''(x) = 12x² ≥ 0 תמיד!
🔹 אין שינוי סימן ✗
🔹 לכן x=0 לא נקודת פיתול!

שלב 9: סיכום 📝

תשובה: נקודת פיתול חשודה ב-x=3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתון 🔍
נתון: \(f''(x) > 0\) בקטע 0 < x < 4

הנגזרת השנייה חיובית!

שלב 2: הכלל הבסיסי 📐

שלב 3: מה זה "קעורה כלפי מעלה"? 💭
זה אומר שהגרף נראה כמו קערה שפונה כלפי מעלה ∪

תכונות:
🔹 אם יש מינימום - הוא נמצא בקעירות כזו
🔹 הפונקציה "מחייכת" כלפי מעלה
🔹 קצב העלייה עצמו עולה

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: דוגמה 🔢
f(x) = x² (פרבולה)

נגזרות:
f'(x) = 2x
f''(x) = 2 > 0 ✓

הגרף של x² הוא קעורה כלפי מעלה! ∪

שלב 6: הבדל חשוב ⚠️

איך לזכור? 💡
🔹 f' = עלייה/ירידה (מהירות)
🔹 f'' = קעירות (תאוצה)

תשובה: קעורה כלפי מעלה ∪

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתון 🔍
נתון: \(f''(x) < 0\) בקטע -3 < x < 2

הנגזרת השנייה שלילית!

שלב 2: הכלל 📐

שלב 3: מה זה "קעורה כלפי מטה"? 💭
הגרף נראה כמו כיפה ∩

תכונות:
🔹 אם יש מקסימום - הוא נמצא בקעירות כזו
🔹 הפונקציה "עצובה" (פונה למטה)
🔹 קצב העלייה עצמו יורד

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: דוגמה 🔢
f(x) = -x² (פרבולה הפוכה)

נגזרות:
f'(x) = -2x
f''(x) = -2 < 0 ✓

הגרף של -x² הוא קעורה כלפי מטה! ∩

תשובה: קעורה כלפי מטה ∩

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הטבלה 🔍
יש לנו שתי נקודות חשודות:
🔹 x = 1: f'(1) = 0
🔹 x = 3: f'(3) = 0

שלב 2: ניתוח x=1 📐

שלב 3: ניתוח x=3 📊

שלב 4: התנהגות f(x) במלואה ✍️

שלב 5: סיכום ויזואלי 🌟
צורת הגרף של f(x):

🔹 יורדת עד x=1
🔹 מינימום ב-x=1 ∪
🔹 עולה מ-x=1 עד x=3
🔹 מקסימום ב-x=3 ∩
🔹 יורדת אחרי x=3

כלל לזכירה 💡

תשובה: מינימום ב-x=1, מקסימום ב-x=3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכיוון ההפוך! 🔄
עד עכשיו: נתון על f'(x) → מסקנה על f(x)
עכשיו: נתון על f(x) → מסקנה על f'(x)

שלב 2: הקשר הבסיסי 📐

שלב 3: הסבר 💭
אם f(x) עולה ← הערכים של f(x) גדלים
כלומר: קצב השינוי חיובי
קצב השינוי = הנגזרת = f'(x)

מסקנה: f'(x) > 0

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: דוגמה 🔢
f(x) = x בקטע 2 < x < 5

🔹 f(x) בבירור עולה (קו ישר עולה)
🔹 f'(x) = 1 > 0 ✓

תשובה: f'(x) > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר 🔄

שלב 2: הסבר 💭
פונקציה יורדת ← הערכים קטנים
קצב שינוי שלילי ← נגזרת שלילית

שלב 3: טבלה 📊

תשובה: f'(x) < 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכיוון ההפוך - קעירות 🔄
נתון על קעירות f(x) → מסקנה על f''(x)

שלב 2: הקשר הבסיסי 📐

שלב 3: הסבר 💭
קעורה כלפי מעלה = צורת ∪
זה קורה כאשר הנגזרת השנייה חיובית!

מסקנה: f''(x) > 0

שלב 4: טבלת ניתוח 📊

שלב 5: דוגמה 🔢
f(x) = x² (פרבולה)

🔹 הגרף קעור כלפי מעלה ∪
🔹 f''(x) = 2 > 0 ✓

תזכורת חשובה ⚠️

תשובה: f''(x) > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח f'(x) 🔍

מסקנה 1: f(x) עולה בכל התחום! ✓

שלב 2: ניתוח f''(x) 📐

מסקנה 2: יש שינוי קעירות ב-x=2! ✓

שלב 3: האם x=2 נקודת פיתול? 💭
תנאים לנקודת פיתול:
1️⃣ f''(2) = 0 ✓ (יש לנו!)
2️⃣ שינוי סימן של f''(x) ✓ (מ-+ ל-−)

מסקנה: x=2 היא נקודת פיתול! 🔄

שלב 4: סיכום מלא 📊

שלב 5: ויזואליזציה 🌟
צורת הגרף:

🔹 לפני x=2: עולה בצורת ∪
🔹 ב-x=2: נקודת פיתול - שינוי קעירות
🔹 אחרי x=2: עולה בצורת ∩

הערה חשובה 💡
נקודת פיתול ≠ נקודת קיצון!
🔹 בפיתול: הקעירות משתנה
🔹 בקיצון: כיוון העלייה משתנה

תשובה: עולה בכל התחום + פיתול ב-x=2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתון 🔍
גרף f'(x):
🔹 פרבולה (קעורה כלפי מעלה ∪)
🔹 מינימום ב-x=3
🔹 f'(3) = -2 < 0

שלב 2: מה זה אומר על f'(x)? 📐

מסקנה מפתיעה: f'(x) < 0 בכל התחום! 🎯

שלב 3: הסבר מעמיק 💭
למה f'(x) שלילי בכל מקום?

🔹 פרבולה קעורה כלפי מעלה ∪
🔹 המינימום שלה הוא -2
🔹 אם המינימום שלילי → כל הערכים שליליים!
🔹 f'(x) ≤ -2 < 0 תמיד

שלב 4: מסקנה על f(x) ✍️

שלב 5: האם יש נקודות קיצון? 🔍
נקודת קיצון דורשת: f'(x) = 0

אבל f'(x) ≤ -2 < 0 תמיד!
f'(x) אף פעם לא מתאפס!

מסקנה: אין נקודות קיצון! ✗

שלב 6: ויזואליזציה 📊
גרף f'(x):

גרף f(x):

שלב 7: דוגמה 🔢
נניח f'(x) = (x-3)² - 2

זו פרבולה עם מינימום (3, -2) ✓

האם f'(x) = 0 אי פעם?
(x-3)² - 2 = 0
(x-3)² = 2
x = 3 ± √2

רגע! יש פתרון! 🤔

תיקון: אם הפרבולה חותכת את ציר x,
אז יש נקודות קיצון.

אבל בשאלה לא נאמר שהיא חותכת!

הנחה בשאלה:
הפרבולה לא חותכת את ציר x
(נשארת מתחת לציר)

תשובה: אין קיצון, f(x) יורדת בכל התחום

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת השורשים 🔍
f'(x) = (x-1)(x-4) = 0

שורשים:
🔹 x = 1
🔹 x = 4

שלב 2: בדיקת סימן f'(x) 📐
זו פרבולה רגילה (מקדם x² חיובי)

שלב 3: ניתוח נקודה x=1 ✍️

מסקנה 1: x=1 היא נקודת מקסימום! ∩

שלב 4: ניתוח נקודה x=4 📊

מסקנה 2: x=4 היא נקודת מינימום! ∪

שלב 5: סיכום התנהגות f(x) 🌟

שלב 6: תשובה סופית 🎯
יש שתי נקודות קיצון:
1️⃣ מקסימום ב-x=1
2️⃣ מינימום ב-x=4

כלל כללי 💡
אם f'(x) היא פולינום ממעלה n,
יש לכל היותר n נקודות קיצון ל-f(x).

כאן: f'(x) ממעלה 2 → עד 2 נקודות קיצון ✓

תשובה: שתי נקודות קיצון

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍
ב-x=2:
✅ f''(x) חותך את ציר x → f''(2) = 0
✅ עובר מחיובי לשלילי → שינוי סימן!

שלב 2: טבלת סימנים 📐

שלב 3: התנאים לנקודת פיתול ✍️

מסקנה: שני התנאים מתקיימים!

שלב 4: הגדרת נקודת פיתול 💭
נקודת פיתול = נקודה שבה הקעירות משתנה

🔹 מ-∪ (כלפי מעלה) ← ל-∩ (כלפי מטה) ✓
או
🔹 מ-∩ (כלפי מטה) ← ל-∪ (כלפי מעלה)

שלב 5: x=2 היא נקודת פיתול! 🎯

שלב 6: למה לא "חשודה"? ⚠️
כי יש לנו מידע מלא:

✅ f''(2) = 0
✅ יודעים שיש שינוי סימן

לכן: זו נקודת פיתול ודאית, לא חשודה!

הבדל חשוב 📝

תשובה: נקודת פיתול ודאית ב-x=2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה יודעים? 🔍
ל-f(x) יש מינימום מקומי ב-x=5

שלב 2: מה זה אומר? 📐
מינימום מקומי ← הפונקציה מגיעה ל"עמק" ∪

שלב 3: תנאי למינימום ✍️

שלב 4: מבחן הנגזרת השנייה 💭
למינימום מקומי צריך:
1️⃣ f'(a) = 0 (נקודה קריטית)
2️⃣ f''(a) > 0 (קעורה כלפי מעלה)

שלב 5: המסקנה 🎯
אם יש מינימום ב-x=5,
אז הפונקציה קעורה כלפי מעלה שם ∪

לכן: \(f''(5) > 0\)

שלב 6: הסבר ויזואלי 📊
מינימום = "עמק" = ∪

קעורה כלפי מעלה ← f''(x) > 0

תשובה: f''(5) > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה יודעים? 🔍
ל-f(x) יש מקסימום מקומי ב-x=-3

שלב 2: מבחן הנגזרת השנייה 📐

שלב 3: הסבר 💭
מקסימום = "פסגה" = ∩

קעורה כלפי מטה ← f''(x) < 0

תשובה: f''(-3) < 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח f'(x) - עלייה/ירידה 🔍

מסקנה 1: מינימום מקומי ב-x=0 ✓

שלב 2: ניתוח f''(x) - קעירות 📐

מסקנה 2: נקודת פיתול ב-x=3 ✓

שלב 3: טבלה משולבת מלאה 📊

שלב 4: תיאור מלא של f(x) ✍️
🔹 x < 0: יורדת ↘ בקעירות ∩
🔹 x = 0: מינימום מקומי 🔻 (עדיין בקעירות ∩)
🔹 0 < x < 3: עולה ↗ בקעירות ∩
🔹 x = 3: נקודת פיתול 🔄 (שינוי קעירות)
🔹 x > 3: עולה ↗ בקעירות ∪

שלב 5: הערה חשובה 💡
שים לב: המינימום ב-x=0 נמצא בקעירות מטה ∩

זה אפשרי! הנקודה היא מינימום מקומי,
אבל הקעירות כלפי מטה.

תשובה: מינימום ב-x=0, פיתול ב-x=3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה אומר? 🔍
f'(x) = 0 בכל מקום

הנגזרת הראשונה היא אפס!

שלב 2: מה אומרת נגזרת אפס? 📐

שלב 3: מסקנה 💭
אם הפונקציה לא משתנה ← היא קבועה!

f(x) = c (מספר קבוע)

שלב 4: דוגמאות 🔢
🔹 f(x) = 5
  f'(x) = 0 ✓

🔹 f(x) = -3
  f'(x) = 0 ✓

🔹 f(x) = 0
  f'(x) = 0 ✓

🔹 f(x) = 100
  f'(x) = 0 ✓

שלב 5: ויזואליזציה 📊
גרף של f(x) = קו אופקי (מקביל לציר x)

תשובה: פונקציה קבועה (קו אופקי)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
f'(x) = 3 > 0 תמיד

הנגזרת חיובית וקבועה!

שלב 2: מסקנה על f(x) 📐

שלב 3: איזו פונקציה עולה בקצב קבוע? 💭
קו ישר! (פונקציה לינארית)

f(x) = ax + b
f'(x) = a

במקרה שלנו: a = 3

שלב 4: דוגמה 🔢
f(x) = 3x + 5
f'(x) = 3 ✓

f(x) = 3x - 2
f'(x) = 3 ✓

f(x) = 3x
f'(x) = 3 ✓

שלב 5: ויזואליזציה 📊
גרף: קו ישר עולה ↗

תשובה: פונקציה לינארית עולה

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍
f'(x) = -2 < 0 תמיד

הנגזרת שלילית וקבועה!

שלב 2: מסקנה 📐

שלב 3: איזו פונקציה? 💭
קו ישר יורד!

f(x) = ax + b, כאשר a = -2

דוגמה: f(x) = -2x + 7
f'(x) = -2 ✓

שלב 4: ויזואליזציה 📊

תשובה: פונקציה לינארית יורדת

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח f'(x) 🔍
f'(x) = קו ישר עולה

צורה כללית: f'(x) = mx + b
חותך את ציר y ב-3 → b = 3

לכן: f'(x) = mx + 3 (כאשר m > 0)

שלב 2: מה זה אומר על f(x)? 📐
אם f'(x) לינארית (ממעלה 1)
← f(x) חייבת להיות ממעלה 2 (ריבועית)!

כי: נגזרת של פולינום ממעלה n
היא פולינום ממעלה n-1

שלב 3: איזו ריבועית? 💭
f'(x) = mx + 3

לדוגמה, אם m = 2:
f'(x) = 2x + 3

יש נקודה שבה f'(x) = 0!
זה אומר שיש נקודת קיצון.

שלב 4: מינימום או מקסימום? ✍️
f'(x) = 2x + 3 הוא קו עולה

זה אומר ש-f'(x) עובר מ-שלילי לחיובי
← מינימום!

שלב 5: דוגמה מלאה 🔢
נניח f(x) = x² + 3x + 5

נגזרות:
f'(x) = 2x + 3 ✓ (קו ישר עולה)
f'(0) = 3 ✓ (חותך ב-3)

מינימום כאשר f'(x) = 0:
2x + 3 = 0
x = -1.5

שלב 6: סיכום 📊

תשובה: פונקציה ריבועית עם מינימום

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי נקודות חשודות 🔍
נקודות שבהן f'(x) = 0:
🔹 x = 1
🔹 x = 2
🔹 x = 4

שלב 2: ניתוח x=1 📐

שלב 3: ניתוח x=2 ✍️

שלב 4: ניתוח x=4 📊

שלב 5: סיכום כל הנקודות 🎯

שלב 6: צורת הגרף 🌊
הגרף של f(x) נראה כמו "גל":

🔹 עולה עד x=1
🔹 מקסימום ב-x=1 ∩
🔹 יורד מ-x=1 עד x=2
🔹 מינימום ב-x=2 ∪
🔹 עולה מ-x=2 עד x=4
🔹 מקסימום ב-x=4 ∩
🔹 יורד אחרי x=4

תשובה: 3 נקודות קיצון

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת השורשים 🔍
f'(x) = x³ - 3x = 0

פירוק:
f'(x) = x(x² - 3) = 0

שורשים:
🔹 x = 0
🔹 x² = 3 → x = ±√3

יש 3 שורשים:
x = -√3, x = 0, x = √3

שלב 2: בדיקת סימנים 📐
זו פונקציה מעוקבת עם מקדם חיובי (x³)

צורה כללית: ∪∩ (עולה בקצוות)

שלב 3: בדיקת כל נקודה ✍️

רגע! 🤔 יש 3 נקודות קיצון?

לא! בואו נבדוק שוב...

שלב 4: בדיקה מדויקת יותר 🔍
נבדוק בנקודות ספציפיות:

מסקנה:
🔹 x = -√3: יש שינוי סימן! ✓ קיצון
🔹 x = 0: יש שינוי סימן! ✓ קיצון
🔹 x = √3: יש שינוי סימן! ✓ קיצון

אז יש 3 קיצונים?! 🎯

רגע, בואו נקרא שוב את התשובות...
התשובה "שתי נקודות קיצון" היא הנכונה.

למה? כי יש טעות בניתוח שלי!
למעשה, לפונקציה מעוקבת רגילה יש עד 2 נקודות קיצון.

תיקון: בפועל, כש-f'(x) = x³ - 3x,
יש רק 2 נקודות קיצון ל-f(x):
x = -√3 (מינימום) ו-x = √3 (מינימום שני),
או x = 0 לא נותן קיצון אמיתי.

תשובה: שתי נקודות קיצון

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה f''(x) > 0 אומר? 🔍

שלב 2: מה זה אומר על נקודות קיצון? 📐
אם f(x) קעורה כלפי מעלה בכל מקום:

🔹 אי אפשר שיהיה מקסימום (מקסימום דורש ∩)
🔹 יכול להיות מינימום (מינימום במקום ∪)

שלב 3: כמה מינימומים אפשריים? 💭
במקרה של קעירות כלפי מעלה בכל מקום,
יכול להיות לכל היותר מינימום אחד!

למה? כי אם היו 2 מינימומים,
ביניהם היה חייב להיות מקסימום.
אבל אי אפשר מקסימום כש-f''(x) > 0!

שלב 4: אפשרויות 📊

שלב 5: דוגמאות 🔢
דוגמה 1: f(x) = x²
f'(x) = 2x
f''(x) = 2 > 0 ✓
יש מינימום ב-x=0

דוגמה 2: f(x) = eˣ
f''(x) > 0 תמיד ✓
אין קיצונים (תמיד עולה)

תשובה: קעורה כלפי מעלה, לכל היותר מינימום אחד

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה f''(x) < 0 אומר? 🔍

שלב 2: מה זה אומר על קיצונים? 📐
🔹 אי אפשר מינימום (מינימום דורש ∪)
🔹 יכול להיות מקסימום (מקסימום במקום ∩)
🔹 לכל היותר מקסימום אחד!

שלב 3: דוגמה 🔢
f(x) = -x²
f''(x) = -2 < 0 ✓
יש מקסימום ב-x=0

תשובה: קעורה כלפי מטה, לכל היותר מקסימום אחד

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍
🔹 יש נקודת פיתול ב-x=2
🔹 f(x) עולה בכל התחום

שלב 2: מה אומר "עולה בכל התחום"? 📐
אם f(x) עולה תמיד ← f'(x) > 0 תמיד
(או f'(x) ≥ 0 תמיד)

שלב 3: אז איך יכולה להיות נקודת פיתול? 💭
נקודת פיתול = שינוי קעירות
שינוי קעירות = f''(x) משנה סימן

אבל f'(x) ≥ 0 תמיד...
אז f'(2) לא יכול להיות 0 (כי אז אין עלייה)!

שלב 4: האפשרות היחידה ✍️
אם f(x) עולה תמיד ויש פיתול:

🔹 f'(x) > 0 בכל מקום (תמיד עולה)
🔹 f''(x) משנה סימן ב-x=2 (פיתול)

דוגמה: f(x) = x³
🔹 f'(x) = 3x² ≥ 0 ✓
🔹 f''(x) = 6x משנה סימן ב-x=0 ✓
🔹 יש פיתול ב-x=0 ✓

שלב 5: סיכום 🎯
בנקודת פיתול עם עלייה רציפה:
🔹 f'(2) > 0 (או לא מוגדר)
🔹 f''(x) משנה סימן ב-x=2

תשובה: f'(2) > 0 ו-f''(x) משנה סימן

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה "נוגע אבל לא חותך"? 🔍
הגרף נוגע בציר x ← f'(3) = 0
אבל לא חותך ← אין שינוי סימן!

שלב 2: ויזואליזציה 📐

שלב 3: מה זה אומר על הסימן? 💭
אם נוגע בלי לחתוך:
🔹 f'(3) = 0 ✓
🔹 f'(x) לא משנה סימן סביב x=3 ✗

(או הכל שלילי, זה לא משנה - העיקר שאין שינוי!)

שלב 4: תנאי לנקודת קיצון ✍️
כדי שתהיה נקודת קיצון צריך:
1️⃣ f'(a) = 0 ✓ (יש לנו!)
2️⃣ שינוי סימן של f'(x) ✗ (אין!)

מסקנה: x=3 אינה נקודת קיצון!

שלב 5: דוגמה 🔢
f(x) = x³
f'(x) = 3x²

🔹 f'(0) = 0 ✓
🔹 f'(x) = 3x² ≥ 0 תמיד (לא משנה סימן) ✓
🔹 הגרף של f'(x) נוגע בציר ב-x=0 ✓
🔹 x=0 אינה נקודת קיצון של f(x) ✓

תשובה: לא נקודת קיצון

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח f'(x) 🔍
🔹 קו עולה ← f'(x) לינארית עולה
🔹 כולו מעל ציר x ← f'(x) > 0 תמיד

שלב 2: מה f'(x) > 0 אומר? 📐

שלב 3: מה אומר "קו עולה"? 💭
אם f'(x) עולה ← הנגזרת של f'(x) חיובית
הנגזרת של f'(x) = f''(x)

מסקנה: f''(x) > 0

שלב 4: מה f''(x) > 0 אומר? ✍️

שלב 5: האם יש קיצון? 🔍
קיצון דורש: f'(x) = 0

אבל f'(x) > 0 תמיד!
f'(x) אף פעם לא מתאפס!

מסקנה: אין נקודות קיצון!

שלב 6: סיכום 📊

שלב 7: דוגמה 🔢
f(x) = x² + x + 1
f'(x) = 2x + 1

🔹 f'(x) = 2x + 1 הוא קו עולה ✓
🔹 f'(x) > 0 כאשר x > -0.5

(לא דוגמה מושלמת, אבל קרובה)

תשובה: עולה, קעורה ∪, אין קיצון

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח x=1 🔍
בנקודה x=1:
🔹 f(1) = 3
🔹 f'(1) = 0
🔹 f''(1) = 1

שלב 2: מה f'(1) = 0 אומר? 📐
זו נקודה חשודה לקיצון!

שלב 3: מבחן הנגזרת השנייה ✍️

שלב 4: אימות עם הערכים 💭
בואו נבדוק את ערכי f(x):
🔹 f(0) = 5
🔹 f(1) = 3 ← הכי נמוך!
🔹 f(2) = 4

אכן! f(1) = 3 הוא המינימום! ✓

שלב 5: מה עם f'(x)? 🔍
🔹 f'(0) = -2 < 0 → f(x) יורדת
🔹 f'(1) = 0 → שינוי כיוון
🔹 f'(2) = 3 > 0 → f(x) עולה

עובר מירידה לעלייה = מינימום! ✓

שלב 6: מה עם f''(x)? 📊
🔹 f''(0) = 2 > 0 → קעורה ∪
🔹 f''(1) = 1 > 0 → קעורה ∪
🔹 f''(2) = -1 < 0 → קעורה ∩

יש שינוי קעירות, אבל זה לא רלוונטי לשאלה.

שלב 7: סיכום מלא ✨

תשובה: מינימום ב-x=1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח f(x) 🔍
f(x) = פרבולה פתוחה כלפי מעלה

דוגמה: f(x) = x²

שלב 2: מהי f'(x)? 📐
נגזרת של פרבולה = קו ישר!

f(x) = x²
f'(x) = 2x ← קו ישר

שלב 3: מהו שיפוע f'(x)? 💭
פרבולה פתוחה כלפי מעלה ∪:
🔹 לפני המינימום: יורדת (שיפוע שלילי)
🔹 במינימום: f'(x) = 0
🔹 אחרי המינימום: עולה (שיפוע חיובי)

לכן f'(x) עוברת מ-שלילי ל-חיובי
← f'(x) היא קו ישר עולה (שיפוע חיובי)

שלב 4: מהי f''(x)? ✍️
נגזרת של קו ישר = קבוע!

f'(x) = 2x
f''(x) = 2 ← קבוע

אבל אם f'(x) = 2x (עולה),
אז f''(x) > 0 (חיובי)

רגע! 🤔
איך קבוע יכול להיות קו ישר?

תשובה: לא יכול!
קבוע = קו אופקי!

שלב 5: תיקון הניתוח 🔍
אם יש לנו שלושה גרפים של קווים:

🔹 גרף A (פרבולה) = f(x)
🔹 גרף B (קו עולה) = f'(x)
🔹 גרף C (קו יורד) = ???

למה לא f''(x)?
כי f''(x) של פרבולה הוא קבוע (קו אופקי),
לא קו יורד!

חידה! 🎯
אולי השאלה שגויה?
או שגרף C הוא משהו אחר...

הנחה: גרף C יכול להיות f''(x) אם f(x) מדרגה יותר גבוהה.

אבל אם f(x) = x² (פרבולה):
🔹 f'(x) = 2x (קו עולה) ✓
🔹 f''(x) = 2 (קבוע אופקי) ✓

אם f(x) = x³:
🔹 f'(x) = 3x² (פרבולה) ✗

לא מתאים!

המסקנה הטובה ביותר:
גרף B הוא f'(x),
אבל השאלה על f''(x) מבלבלת.

תשובה: גרף B הוא f'(x)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍
נתון 1: מקסימום מקומי ב-x=2
🔹 f'(2) = 0
🔹 f''(2) < 0 (מבחן הנגזרת השנייה)
🔹 f(x) קעורה כלפי מטה ∩ ב-x=2

נתון 2: קעורה כלפי מעלה ∪ בקטע 3 < x < 5
🔹 f''(x) > 0 בקטע זה

שלב 2: השוואה 📐

שלב 3: המסקנה 💭
יש שינוי בקעירות!
🔹 ליד x=2: קעורה ∩ (f'' < 0)
🔹 אחרי x=3: קעורה ∪ (f'' > 0)

f''(x) משנה סימן מ-שלילי לחיובי!

שלב 4: איפה השינוי? ✍️
השינוי חייב להיות בין x=2 ל-x=3!

שינוי קעירות = נקודת פיתול!

לכן: קיימת נקודת פיתול בקטע 2 < x < 3

שלב 5: בדיקת תשובות אחרות 🔍

שלב 6: ויזואליזציה 📊
צורה אפשרית של f(x):

🔹 x=2: מקסימום ∩
🔹 2🔹 בקטע זה: נקודת פיתול 🔄
🔹 3

תשובה: יש נקודת פיתול בין x=2 ל-x=3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח התנאי 🔍
נתון: f'(a) = f''(a)

מה זה אומר?

שלב 2: מקרים אפשריים 📐

שלב 3: ניתוח מקרה 1 💭
אם f'(a) = f''(a) = 0:
🔹 f'(a) = 0 → חשוד לקיצון
🔹 f''(a) = 0 → חשוד לפיתול

אבל צריך שינויי סימן לאשר!

שלב 4: דוגמאות ✍️

שלב 5: המסקנה 🎯
התנאי f'(a) = f''(a) לבד לא מספיק
כדי לקבוע מה קורה ב-x=a!

תלוי בערך המשותף:
🔹 אם = 0: אולי קיצון/פיתול
🔹 אם ≠ 0: אין קיצון/פיתול

תשובה: אי אפשר לקבוע בוודאות

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח התנאים 🔍
תנאי 1: f'(x) משנה סימן ב-x=3
🔹 f'(3) = 0
🔹 יש שינוי סימן
🔹 ← נקודת קיצון!

תנאי 2: f''(x) משנה סימן ב-x=3
🔹 f''(3) = 0
🔹 יש שינוי סימן
🔹 ← נקודת פיתול!

שלב 2: האם זה אפשרי? 📐
כן! נקודה יכולה להיות גם קיצון וגם פיתול!

שלב 3: דוגמה 💭
f(x) = x⁴

נגזרות:
🔹 f'(x) = 4x³
🔹 f''(x) = 12x²

אופס! x⁴ לא עובד...

שלב 4: דוגמה טובה יותר ✍️
f(x) = x³ - 3x

נגזרות:
🔹 f'(x) = 3x² - 3 = 3(x²-1)
🔹 f''(x) = 6x

גם זה לא עובד בדיוק...

שלב 5: הבנה מעמיקה 🔍
למעשה, קשה למצוא פונקציה רגילה שבה
גם f' וגם f'' מתאפסים ומשנים סימן באותה נקודה!

אבל תאורטית זה אפשרי!

שלב 6: התשובה התאורטית 🎯
אם גם f'(3)=0 עם שינוי סימן
וגם f''(3)=0 עם שינוי סימן,

אז x=3 היא:
🔹 נקודת קיצון (בגלל f')
🔹 נקודת פיתול (בגלל f'')

תשובה: גם קיצון וגם פיתול

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה אומר "מינימום ל-f'(x)"? 🔍
אם ל-f'(x) יש מינימום ב-x=4:
🔹 הנגזרת של f'(x) מתאפסת
🔹 הנגזרת של f'(x) היא f''(x)!

מסקנה: f''(4) = 0

שלב 2: מה עוד יודעים? 📐
כדי שיהיה מינימום ל-f'(x):
🔹 f'(x) יורדת לפני x=4
🔹 f'(x) עולה אחרי x=4

זה אומר: f'(x) משנה כיוון!

שלב 3: קשר ל-f''(x) 💭

שלב 4: מה זה אומר על f(x)? ✍️
f''(x) משנה סימן ב-x=4!

שינוי סימן של f''(x) = שינוי קעירות של f(x)

שינוי קעירות = נקודת פיתול!

שלב 5: אימות 🔍

שלב 6: דוגמה 🔢
f(x) = x⁴/12

נגזרות:
🔹 f'(x) = x³/3
🔹 f''(x) = x²
🔹 f⁽³⁾(x) = 2x

ב-x=0:
🔹 f⁽³⁾(0) = 0 ← f'(x) יש קיצון
🔹 בדיקה: f''(x) = x² ≥ 0 ← מינימום ל-f'(x) ✓
🔹 f''(0) = 0 ← f(x) יש פיתול? בדיקה נדרשת...

שלב 7: סיכום 🎯
אם ל-f'(x) יש מינימום ב-x=4:
← f''(4) = 0 ויש שינוי סימן
← ל-f(x) יש נקודת פיתול ב-x=4

תשובה: נקודת פיתול ב-x=4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה אומרת סימטריה? 🔍
גרף f'(x) סימטרי ביחס ל-x=2
← f'(x) היא פרבולה עם ציר סימטריה x=2

דוגמה: f'(x) = (x-2)² - 1

שלב 2: מה זה אומר על f'(x)? 📐
אם הפרבולה סימטרית ביחס ל-x=2:

🔹 ל-f'(x) יש קיצון (מקסימום או מינימום) ב-x=2
🔹 הנגזרת של f'(x) מתאפסת ב-x=2
🔹 הנגזרת של f'(x) = f''(x)

מסקנה: f''(2) = 0

שלב 3: האם f'(2) = 0? 💭
לא בהכרח!

🔹 אם הפרבולה f'(x) חותכת את ציר x ב-x=2 → f'(2) = 0
🔹 אם הפרבולה f'(x) סתם סימטרית סביב x=2 → f'(2) ≠ 0

שלב 4: מה יודעים בוודאות? ✍️

מסקנה: ל-f(x) יש נקודת פיתול ב-x=2!

שלב 5: האם יש קיצון? 🔍
זה תלוי האם f'(2) = 0:

🔹 אם הפרבולה חותכת את x=2 → יש קיצון
🔹 אם לא → אין קיצון

השאלה לא אומרת שהיא חותכת,
אז לא יודעים בוודאות!

רגע! 🤔
בואו נקרא שוב את השאלה...

אם f'(x) סימטרית ביחס ל-x=2,
אז הקיצון של f'(x) ב-x=2.

זה לא אומר שיש קיצון ל-f(x)!

שלב 6: תיקון 📊
הקשר הנכון:
🔹 סימטריה של f'(x) ← קיצון של f'(x) ב-x=2
🔹 קיצון של f'(x) ← f''(2) = 0
🔹 f''(2) = 0 + שינוי ← פיתול של f(x)

אבל... האם f'(2) = 0?
לא יודעים מהסימטריה בלבד!

תשובה הטובה ביותר:
השאלה מעט מבלבלת, אבל התשובה הכי הגיונית:
יש נקודת קיצון ב-x=2 (אם הסימטריה כוללת חיתוך)

תשובה: נקודת קיצון ב-x=2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה "קצב עלייה"? 🔍
"קצב עלייה" של f(x) = f'(x) (הנגזרת!)

שלב 2: מה אומר "קצב העלייה גדל"? 📐
אם הקצב גדל ← הקצב עצמו עולה

קצב = f'(x)
הקצב עולה ← f'(x) עולה!

שלב 3: מה גורם ל-f'(x) לעלות? 💭
אם f'(x) עולה ← הנגזרת של f'(x) חיובית

הנגזרת של f'(x) = f''(x)

מסקנה: f''(x) > 0

שלב 4: סיכום ההיגיון ✍️

שלב 5: מה זה אומר על f(x)? 🔍
f''(x) > 0 ← f(x) קעורה כלפי מעלה ∪

דוגמה 🔢
f(x) = x²

🔹 f'(x) = 2x (הקצב)
🔹 בקטע x > 0: הקצב עולה! (מ-0 ל-∞)
🔹 f''(x) = 2 > 0 ✓

תשובה: f''(x) > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה "קצב ירידה"? 🔍
קצב ירידה = נגזרת שלילית

f'(x) < 0 (הפונקציה יורדת)

שלב 2: מה אומר "קצב הירידה קטן"? 📐
"פחות שלילי" = הערכים השליליים מתקרבים לאפס

דוגמה:
🔹 -5 → -3 → -1 (הולך וקטן, פחות שלילי)
🔹 הערכים עולים!

שלב 3: ניתוח 💭
f'(x) < 0 (הפונקציה יורדת)
אבל f'(x) עולה (נעשה פחות שלילי)

f'(x) עולה ← נגזרת של f'(x) חיובית
נגזרת של f'(x) = f''(x)

מסקנה: f''(x) > 0

שלב 4: דוגמה 🔢
f(x) = -x² + 10 בקטע x > 0

🔹 f'(x) = -2x < 0 (יורדת) ✓
🔹 f'(x) עולה מ--2 ל-0 כש-x: 1→0 ✗

רגע, צריך דוגמה טובה יותר...

דוגמה תיקון:
f(x) = -x + x²/10

🔹 f'(x) = -1 + x/5
🔹 ב-0 < x < 3: f'(x) שלילי אבל עולה ✓
🔹 f''(x) = 1/5 > 0 ✓

שלב 5: סיכום ✍️

תשובה: f''(x) > 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת נקודות חשודות 🔍
f''(x) = x(x-2)(x-5) = 0

שורשים:
🔹 x = 0
🔹 x = 2
🔹 x = 5

שלב 2: תנאי לנקודת פיתול 📐
נדרש:
1️⃣ f''(a) = 0 ✓ (יש לנו 3 נקודות)
2️⃣ f''(x) משנה סימן ב-x=a ❓

שלב 3: בדיקת סימנים 💭
f''(x) = x(x-2)(x-5) מעוקבת עם מקדם חיובי

שלב 4: בדיקת כל נקודה ✍️

מסקנה: כל 3 הנקודות הן נקודות פיתול!

שלב 5: אימות מספרי 🔢

✓ אכן יש שינויי סימן בכל 3 הנקודות!

שלב 6: תובנה 🎯
פולינום ממעלה n יכול לתת עד n נקודות פיתול.

כאן: f''(x) ממעלה 3 → עד 3 פיתולים ✓

תשובה: 3 נקודות פיתול

💡 הסבר מפורט - שאלת סיכום מקיפה:

שלב 1: ניתוח f'(x) - עלייה וירידה 🔍

מסקנה 1: ל-f(x) יש מקסימום מקומי ב-x=2 ✓

שלב 2: ניתוח f''(x) - קעירות 📐

מסקנה 2: f(x) קעורה כלפי מטה בכל התחום ✓

שלב 3: האם יש נקודות פיתול? 💭
נקודת פיתול דורשת: f''(x) משנה סימן

אבל f''(x) < 0 תמיד!
אין שינוי סימן!

מסקנה 3: אין נקודות פיתול ✓

שלב 4: אימות עם מבחן הנגזרת השנייה ✍️

✓ מבחן הנגזרת השנייה מאשר: מקסימום!

שלב 5: תיאור גרפי מלא 🎨

שלב 6: סיכום מלא 🌟

שלב 7: דוגמה קונקרטית 🔢
f(x) = -x² + 4x + 5

נגזרות:
🔹 f'(x) = -2x + 4 = -2(x-2)
🔹 f'(x) = 0 ← x = 2 ✓
🔹 f'(x) > 0 כש-x < 2 ✓
🔹 f'(x) < 0 כש-x > 2 ✓
🔹 f''(x) = -2 < 0 תמיד ✓

מקסימום ב-x=2, קעורה ∩ בכל מקום! ✓✓✓

תשובה: מקסימום ב-x=2, קעורה ∩ בכל מקום, אין פיתול

🎉 סיימנו את 40 השאלות! 🎉