אורח מצב צפייה מבחן: משפטי חפיפה

משפטי חפיפה

מבחן משפטי חפיפה - צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ.צ.צ., צלעות וזווית מול הגדולה. זיהוי ויישום משפטי חפיפה בהוכחות.

משפט חפיפה צ.ז.צ. משפט חפיפה ז.צ.ז. משפט חפיפה צ.צ.צ. משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 60
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
1.67 נק'

📐 משפט צ.ז.צ. - זיהוי:
משפט חפיפה צ.ז.צ. אומר שאם במשולשים יש:
שתי _____ שוות והזווית _____ ביניהן שווה, אז המשולשים חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט צ.ז.צ. ✨
אם במשולשים:
1️⃣ שתי צלעות שוות
2️⃣ הזווית הכלואה ביניהן שווה

אז
המשולשים חופפים

שלב 2: מה זה "זווית כלואה"? 💭

זווית כלואה =
הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות

הזווית שקודקודה הוא נקודת הקצה המשותפת
של שתי הצלעות

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

5 5 60° A B C משולש 1 5 5 60° D E F משולש 2
🔹 AB = DE = 5 (צלע 1)
🔹 AC = DF = 5 (צלע 2)
🔹 ∠A = ∠D = 60° (זווית כלואה)

המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ.!

שלב 4: למה "כלואה"? 🤔

חשוב! הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות:

✅ כן: ∠A נמצאת בין AB ו-AC
❌ לא: ∠B לא נמצאת בין AB ו-AC

רק זווית כלואה מספיקה למשפט!

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"צלע-זווית-צלע"

הזווית "כלואה" בין שתי הצלעות
כמו סנדוויץ׳: לחם-ממרח-לחם
צלע-זווית-צלע

תשובה: צלעות, הכלואה

שאלה 2
1.67 נק'

🎯 יישום צ.ז.צ.:
במשולש ABC: AB=5, AC=7, ∠A=40°
במשולש DEF: DE=5, DF=7, ∠D=40°
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ארגון המידע 🔍

רכיב משולש ABC משולש DEF שווים?
צלע 1 AB = 5 DE = 5 ✓
זווית כלואה ∠A = 40° ∠D = 40° ✓
צלע 2 AC = 7 DF = 7 ✓

שלב 2: בדיקת תבנית צ.ז.צ. 📐

✅ צלע שווה: AB = DE
✅ זווית כלואה שווה: ∠A = ∠D
✅ צלע שווה: AC = DF

יש תבנית צ.ז.צ. מושלמת!

שלב 3: בדיקה - האם הזווית כלואה? 💭

5 7 40° A B C 5 7 40° D E F
🔹 ∠A נמצאת בין AB ו-AC ✓
🔹 ∠D נמצאת בין DE ו-DF ✓

כן! הזוויות כלואות!

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.ז.צ.

△ABC ≅ △DEF

כל שאר המידות (BC, EF, שאר הזוויות)
גם יהיו שווות!

תשובה: כן - לפי משפט צ.ז.צ.

שאלה 3
1.67 נק'

❓ צ.ז.צ. - זיהוי שגיאה:
במשולש ABC: AB=5, BC=6, ∠C=50°
במשולש DEF: DE=5, EF=6, ∠F=50°
האם ניתן להוכיח חפיפה לפי צ.ז.צ.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 5
🔹 BC = 6
🔹 ∠C = 50°

משולש DEF:
🔹 DE = 5
🔹 EF = 6
🔹 ∠F = 50°

שלב 2: בדיקה - האם הזווית כלואה? 💭

5 6 50° A B C ❌ ∠C לא בין AB ו-BC 5 6 50° D E F ❌ ∠F לא בין DE ו-EF
❌ ∠C לא נמצאת בין AB ו-BC
❌ ∠F לא נמצאת בין DE ו-EF

הזוויות לא כלואות!

שלב 3: מה הבעיה? 🤔

לצ.ז.צ. צריך:
🔹 שתי צלעות שוות ✓
🔹 הזווית בין שתי הצלעות שווה ✗

אבל כאן:
🔹 הצלעות: AB ו-BC
🔹 הזווית ∠C נמצאת בקצה של BC
🔹 אבל היא לא בין AB ו-BC
🔹 הזווית הכלואה צריכה להיות ∠B!

שלב 4: מה חסר? ✍️

כדי להוכיח צ.ז.צ. היינו צריכים:

AB = 5, BC = 6, ∠B = 50°

ולא:
AB = 5, BC = 6, ∠C = 50°

הזווית במקום הלא נכון!

תשובה: לא - הזווית לא כלואה

שאלה 4
1.67 נק'

🎯 צ.ז.צ. - השלמת נתונים:
במשולש ABC: AB=8, ∠A=55°, AC=10
איזה נתונים נצטרך במשולש DEF כדי להוכיח חפיפה לפי צ.ז.צ.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים במשולש ABC 🔍

8 10 55° A B C
🔹 צלע 1: AC = 10
🔹 זווית כלואה: ∠A = 55°
🔹 צלע 2: AB = 8

תבנית: צ-ז-צ

שלב 2: מה צריך במשולש DEF? 📐

כדי להוכיח צ.ז.צ., צריך אותו סדר:

1️⃣ צלע שווה ל-AC (10)
2️⃣ זווית כלואה שווה ל-∠A (55°)
3️⃣ צלע שווה ל-AB (8)

במשולש DEF, זה אומר:
DF=10, ∠D=55°, DE=8

שלב 3: למה דווקא ∠D? 💭

🔹 ∠A היא הזווית הכלואה בין AB ו-AC
🔹 במשולש DEF, הזווית הכלואה בין הצלעות
צריכה להיות בקודקוד המתאים
🔹 אם DE=8 (כמו AB) ו-DF=10 (כמו AC)
🔹 אז הזווית ביניהן היא ∠D (כמו ∠A)

לא ∠E ולא ∠F!

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

8 10 55° A B C 8 10 55° D E F
התאמה מושלמת!
△ABC ≅ △DEF

תשובה: DE=8, ∠D=55°, DF=10

שאלה 5
1.67 נק'

🎯 צ.ז.צ. - בעיה מילולית:
שני עמודים בגובה שווה מחוברים למקרקע.
המרחק מבסיס כל עמוד לנקודה מסוימת שווה.
הזווית בין העמוד למקרקע היא 90° בשניהם.
האם המשולשים שנוצרו חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה גיאומטרית 🔍

הנתונים המילוליים:
🔹 "שני עמודים בגובה שווה" = שתי צלעות שוות
🔹 "המרחק מבסיס כל עמוד לנקודה שווה" = צלע נוספת שווה
🔹 "הזווית בין עמוד למקרקע 90°" = זווית ישרה כלואה

שלב 2: שרטוט המצב 📊

h d 90° A B C משולש 1 h d 90° D E F משולש 2
🔹 AB = DE = h (גובה העמודים - שווה)
🔹 BC = EF = d (מרחק לנקודה - שווה)
🔹 ∠B = ∠E = 90° (זווית ישרה כלואה)

שלב 3: זיהוי תבנית צ.ז.צ. 📐

✅ צלע 1: AB = DE (גובה)
✅ זווית כלואה: ∠B = ∠E = 90°
✅ צלע 2: BC = EF (מרחק)

תבנית צ.ז.צ. מושלמת!

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.ז.צ.

גובה-זווית ישרה-מרחק
צ-ז-צ

לא משנה מה האורכים הספציפיים,
כל עוד הם שווים!

תשובה: כן - לפי צ.ז.צ.

שאלה 6
1.67 נק'

🎯 צ.ז.צ. - יישום:
במשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC),
הורדנו גובה מ-A לבסיס BC ב-D.
האם המשולשים ABD ו-ACD חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

AB AC 90° 90° A B C D
🔹 משולש ABC שווה שוקיים: AB = AC
🔹 AD גובה לבסיס BC
🔹 AD ⊥ BC (זווית 90°)
🔹 נוצרו שני משולשים: ABD ו-ACD

שלב 2: זיהוי הנתונים 📐

רכיב משולש ABD משולש ACD שווים?
צלע 1 AB AC ✓ (שווי שוקיים)
זווית ∠ADB = 90° ∠ADC = 90° ✓ (גובה)
צלע 2 AD AD ✓ (משותף)

שלב 3: בדיקת תבנית צ.ז.צ. 💭

✅ צלע: AB = AC
✅ זווית כלואה: ∠ADB = ∠ADC = 90°
✅ צלע: AD = AD (משותף)

צ.ז.צ. מושלם!

שלב 4: למה AD "משותף"? 🤔

צלע משותפת:
🔹 AD נמצא בשני המשולשים
🔹 זה אותו קטע בדיוק
🔹 לכן AD = AD (באופן טריוויאלי)

זו דרך נפוצה להוכיח חפיפה!

שלב 5: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
△ABD ≅ △ACD
לפי משפט צ.ז.צ.

תוצאה: BD = DC
(הגובה חוצה את הבסיס!)

תשובה: כן - לפי צ.ז.צ.

שאלה 7
1.67 נק'

❓ צ.ז.צ. - סדר חשוב:
במשולש ABC: AB=5, ∠B=60°, BC=7
במשולש DEF: DE=5, ∠E=60°, EF=7
מה אפשר להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

5 7 60° A B C 5 7 60° D E F
משולש ABC: AB=5, ∠B=60°, BC=7
משולש DEF: DE=5, ∠E=60°, EF=7

שלב 2: בדיקה - האם הזווית כלואה? 📐

במשולש ABC:
🔹 הצלעות: AB ו-BC
🔹 הזווית: ∠B
🔹 ∠B נמצאת בין AB ו-BC ✓

במשולש DEF:
🔹 הצלעות: DE ו-EF
🔹 הזווית: ∠E
🔹 ∠E נמצאת בין DE ו-EF ✓

כן! הזוויות כלואות!

שלב 3: השוואה 💭

מיקום משולש ABC משולש DEF שווים?
ראשון AB = 5 DE = 5 ✓
שני ∠B = 60° ∠E = 60° ✓
שלישי BC = 7 EF = 7 ✓

שלב 4: הערה חשובה 🤔

בצ.ז.צ., הסדר לא משנה!

המשפט דורש:
🔹 שתי צלעות שוות
🔹 הזווית ביניהן שווה

לא משנה איזו צלע "ראשונה" ואיזו "שנייה"
כל עוד הזווית כלואה ביניהן!

למשל:
AB-∠B-BC זהה ל-BC-∠B-AB

שלב 5: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
△ABC ≅ △DEF
לפי משפט צ.ז.צ.

הסדר לא משנה,
העיקר שהזווית כלואה!

תשובה: המשולשים חופפים

שאלה 8
1.67 נק'

🎯 צ.ז.צ. - מציאת זווית:
במשולש ABC: AB=6, ∠A=x, AC=8
במשולש DEF: DE=6, ∠D=70°, DF=8
אם המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ., מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי התבנית 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 6 (צלע 1)
🔹 ∠A = x (זווית כלואה)
🔹 AC = 8 (צלע 2)

משולש DEF:
🔹 DE = 6 (צלע 1)
🔹 ∠D = 70° (זווית כלואה)
🔹 DF = 8 (צלע 2)

שלב 2: תנאי לחפיפה צ.ז.צ. 📐

כדי שהמשולשים יהיו חופפים לפי צ.ז.צ.:

✅ AB = DE (6 = 6) ✓
❓ ∠A = ∠D (x = 70°) ?
✅ AC = DF (8 = 8) ✓

הזוויות הכלואות חייבות להיות שוות!

שלב 3: פתרון 💭

אם המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ.

אז:
∠A = ∠D

x = 70°

x = 70°

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

6 8 70° A B C 6 8 70° D E F
אם הזוויות שונות,
לא יהיה צ.ז.צ.!

תשובה: x = 70°

שאלה 9
1.67 נק'

🎯 צ.ז.צ. - יישום במקבילית:
במקבילית ABCD, האלכסונים נחתכים ב-O.
האם המשולשים AOB ו-COD חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המבנה 🔍

α α A B C D O △AOB △COD
🔹 ABCD מקבילית
🔹 O נקודת חיתוך האלכסונים
🔹 משולשים: AOB ו-COD

שלב 2: תכונות מקבילית 📐

במקבילית:
🔹 האלכסונים חוצים זה את זה
🔹 כלומר: O אמצע AC ו-O אמצע BD
🔹 לכן: AO = CO ו-BO = DO

שלב 3: זיהוי הנתונים 💭

רכיב △AOB △COD שווים?
צלע 1 AO CO ✓ (O אמצע)
זווית ∠AOB ∠COD ✓ (קדקודיות)
צלע 2 BO DO ✓ (O אמצע)

שלב 4: בדיקת צ.ז.צ. ✍️

✅ צלע: AO = CO
✅ זווית כלואה: ∠AOB = ∠COD
✅ צלע: BO = DO

צ.ז.צ. מושלם!

שלב 5: למה הזוויות קדקודיות? 🤔

זוויות קדקודיות:
🔹 נוצרות כששני קווים נחתכים
🔹 הזוויות המנוגדות שוות
🔹 כאן: האלכסונים AC ו-BD נחתכים ב-O
🔹 ∠AOB ו-∠COD הן זוויות קדקודיות
🔹 לכן: ∠AOB = ∠COD

שלב 6: מסקנה 💡

✅ המשולשים חופפים!
△AOB ≅ △COD
לפי משפט צ.ז.צ.

זה נכון בכל מקבילית,
לא רק במלבן!

תשובה: כן - לפי צ.ז.צ.

שאלה 10
1.67 נק'

❓ צ.ז.צ. - הבנה:
למה למשפט צ.ז.צ. קוראים "צלע-זווית-צלע"
ולא "זווית-צלע-צלע"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משמעות השם 🔍

השם "צ.ז.צ."
מתאר את הסדר הגיאומטרי
של האלמנטים

צלע → זווית → צלע

שלב 2: הבנה ויזואלית 📊

צ ז צ A B C
🔹 צלע 1: AB
🔹 זווית כלואה: ∠A (בין הצלעות)
🔹 צלע 2: AC

הזווית ממוקמת בין שתי הצלעות!

שלב 3: למה זה חשוב? 💭

הסדר מדגיש:

✅ הזווית חייבת להיות בין הצלעות
❌ לא מספיק שתי צלעות וזווית כלשהי

דוגמה:
אם היו קוראים לזה "זווית-צלע-צלע",
זה היה מבלבל - איפה הזווית?
בתחילת הצלעות? בסוף?

"צ.ז.צ." מבהיר: הזווית כלואה!

שלב 4: השוואה 📐

שם משמעות נכון?
צ.ז.צ. הזווית בין הצלעות ✓
ז.צ.צ. לא ברור איפה הזווית ✗
צ.צ.ז. הזווית אחרי הצלעות (לא ביניהן) ✗

שלב 5: זיכרון 💡

דמיון לסנדוויץ׳:

🍞 לחם
🧀 גבינה (באמצע!)
🍞 לחם

צלע-זווית-צלע
הזווית כלואה בין הצלעות!

תשובה: כי הזווית כלואה בין הצלעות

שאלה 11
1.67 נק'

🏆 צ.ז.צ. - אתגר:
במשולש ABC, D נקודה על BC כך ש-BD=DC.
AD⊥BC. נתון: AB=AC.
הוכח שהמשולשים ABD ו-ACD חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתונים 🔍

AB AC BD DC 90° 90° A B C D
נתון:
🔹 D על BC
🔹 BD = DC (D אמצע BC)
🔹 AD ⊥ BC (AD גובה)
🔹 AB = AC (משולש שווה שוקיים)

להוכיח: △ABD ≅ △ACD

שלב 2: בניית ההוכחה 📐

שלב 1: זיהוי הצלעות
🔹 AD משותף לשני המשולשים
🔹 לכן: AD = AD ✓

שלב 2: זיהוי הזווית
🔹 AD ⊥ BC (נתון)
🔹 לכן: ∠ADB = 90° ו-∠ADC = 90°
🔹 ∠ADB = ∠ADC = 90° ✓

שלב 3: הצלע השנייה
🔹 BD = DC (נתון) ✓

שלב 3: ארגון לפי צ.ז.צ. 💭

מיקום △ABD △ACD שווים?
צלע 1 BD DC ✓ נתון
זווית כלואה ∠ADB=90° ∠ADC=90° ✓ AD⊥BC
צלע 2 AD AD ✓ משותף

שלב 4: כתיבת ההוכחה ✍️

הוכחה:

במשולשים ABD ו-ACD:
1️⃣ BD = DC (נתון)
2️⃣ ∠ADB = ∠ADC = 90° (AD⊥BC)
3️⃣ AD = AD (צלע משותפת)

לכן: △ABD ≅ △ACD
לפי משפט צ.ז.צ. ■

שלב 5: הערה 🤔

שימו לב:
🔹 הנתון AB=AC לא השתמשנו בו!
🔹 הוא נכון (בגלל החפיפה), אבל לא צריכים אותו להוכחה
🔹 ההוכחה עובדת עם BD=DC, AD⊥BC, AD משותף בלבד

תשובה: AD משותף, ∠ADB=∠ADC=90°, BD=DC

שאלה 12
1.67 נק'

❓ צ.ז.צ. - כמה נתונים:
כמה מינימום נתונים צריך כדי להוכיח חפיפה לפי צ.ז.צ.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק המשפט 🔍

משפט צ.ז.צ.
דורש 3 נתונים:

1️⃣ צלע שווה
2️⃣ זווית כלואה שווה
3️⃣ צלע שווה

שלב 2: למה דווקא 3? 📐

עם פחות נתונים:

❌ 1 נתון: לא מספיק בכלל
❌ 2 נתונים: לא מספיק לקבוע משולש ייחודי
✅ 3 נתונים (צ.ז.צ.): מספיק!

3 הוא המספר המינימלי לחפיפה

שלב 3: דוגמה 💭

3 נתונים:
🔹 נתון 1: AB = 5
🔹 נתון 2: ∠A = 60°
🔹 נתון 3: AC = 7

→ יש רק משולש אחד עם נתונים אלה
→ לכן החפיפה מוכחת!

שלב 4: השוואה למשפטים אחרים ✍️

משפט מספר נתונים
צ.ז.צ. 3
ז.צ.ז. 3
צ.צ.צ. 3

כל משפטי החפיפה דורשים 3 נתונים!

שלב 5: הערה חשובה 🤔

שימו לב:
🔹 לא כל 3 נתונים מספיקים!
🔹 צריך הנתונים הנכונים בסדר הנכון
🔹 למשל: 3 זוויות לא מספיקות לחפיפה
🔹 רק התבניות המיוחדות (צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ.צ.צ.) עובדות

תשובה: 3 נתונים

שאלה 13
1.67 נק'

⚠️ צ.ז.צ. - טעות נפוצה:
במשולש ABC: AB=5, AC=7, ∠B=40°
במשולש DEF: DE=5, DF=7, ∠E=40°
תלמיד טען שהמשולשים חופפים לפי צ.ז.צ. האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הטענה 🔍

נתונים במשולש ABC:
🔹 AB = 5
🔹 AC = 7
🔹 ∠B = 40°

נתונים במשולש DEF:
🔹 DE = 5
🔹 DF = 7
🔹 ∠E = 40°

שלב 2: איפה הבעיה? 📐

5 7 40° A B C ❌ ∠B לא בין AB ו-AC 5 7 40° D E F ❌ ∠E לא בין DE ו-DF
❌ הצלעות השוות: AB=5, AC=7
❌ הזווית: ∠B = 40°

∠B לא נמצאת בין AB ו-AC!

שלב 3: מה צריך היה? 💭

לצ.ז.צ. צריך:
🔹 הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות

במקרה שלנו:
🔹 הצלעות: AB ו-AC
🔹 הזווית הכלואה ביניהן: ∠A (לא ∠B!)

אבל נתון ∠B, שהיא לא הזווית הכלואה

שלב 4: למה זו טעות? ✍️

הטעות:

התלמיד חשב שיש:
צלע (AB=5)
+
זווית (∠B=40°)
+
צלע (AC=7)

אבל ∠B לא כלואה בין AB ו-AC!

זה לא צ.ז.צ.!

תשובה: לא - הזוויות לא כלואות

שאלה 14
1.67 נק'

📚 צ.ז.צ. - סיכום:
איזו מהאפשרויות הבאות היא תיאור נכון של משפט צ.ז.צ.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט המדויק 🔍

משפט צ.ז.צ. ✨
אם במשולשים:

שתי צלעות שוות
+
הזווית הכלואה ביניהן שווה

אז המשולשים חופפים

שלב 2: למה התשובות האחרות שגויות? 📐

תשובה נכון? סיבה
שתי צלעות + זווית כלואה ✓ זה המשפט!
שתי צלעות + זווית כלשהי ✗ הזווית חייבת להיות כלואה
שלוש צלעות שוות ✗ זה משפט צ.צ.צ. (אחר)
שתי זוויות + צלע ✗ זה משפט ז.צ.ז. (אחר)

שלב 3: נקודות מפתח 💭

המילים החשובות:

1️⃣ "שתי צלעות" - לא אחת, לא שלוש
2️⃣ "זווית" - אחת בלבד
3️⃣ "כלואה ביניהן" - זה התנאי הקריטי!

ללא "כלואה", המשפט לא עובד

שלב 4: זיכרון אחרון 💡

דמיון לסנדוויץ׳:

🍞 צלע
🧀 זווית (כלואה!)
🍞 צלע

הגבינה בתוך הלחם,
הזווית בין הצלעות!

תשובה: שתי צלעות שוות והזווית הכלואה ביניהן שווה

שאלה 15
1.67 נק'

🏆 צ.ז.צ. - אתגר מתקדם:
במשולשים ABC ו-DEF נתון:
AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D=90°.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

AC AB 90° A C B משולש ישר זווית DF DE 90° D F E משולש ישר זווית
נתון:
🔹 AB = DE
🔹 AC = DF
🔹 ∠A = ∠D = 90°

שני משולשים ישרי זווית!

שלב 2: זיהוי צ.ז.צ. 📐

רכיב משולש ABC משולש DEF שווים?
צלע 1 AB DE ✓ נתון
זווית כלואה ∠A = 90° ∠D = 90° ✓ נתון
צלע 2 AC DF ✓ נתון

שלב 3: בדיקה - האם הזווית כלואה? 💭

✅ הצלעות: AB ו-AC
✅ הזווית: ∠A
✅ ∠A נמצאת בין AB ו-AC

כן! ∠A היא הזווית הכלואה!

זו הזווית הישרה בקודקוד A

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.ז.צ.

△ABC ≅ △DEF

במשולשים ישרי זווית,
שתי הניצבים (הצלעות ליד הזווית הישרה)
והזווית הישרה ביניהן
מספיקים לחפיפה!

שלב 5: זיכרון מיוחד 💡

במשולשים ישרי זווית:

ניצב + זווית ישרה + ניצב

זה צ.ז.צ. מיוחד!

הזווית הישרה היא הזווית הכלואה
בין שני הניצבים

תשובה: המשולשים חופפים - צ.ז.צ.

שאלה 16
1.67 נק'

📐 משפט ז.צ.ז. - זיהוי:
משפט חפיפה ז.צ.ז. אומר שאם במשולשים יש:
שתי _____ שוות והצלע _____ ביניהן שווה, אז המשולשים חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט ז.צ.ז. ✨
אם במשולשים:
1️⃣ שתי זוויות שוות
2️⃣ הצלע הכלואה ביניהן שווה

אז
המשולשים חופפים

שלב 2: מה זה "צלע כלואה"? 💭

צלע כלואה =
הצלע שנמצאת בין שתי הזוויות

הצלע המשותפת לשני הקודקודים
של הזוויות

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

משולש 1 משולש 2 40° 50° 6 A B C 40° 50° 6 D E F המשולשים חופפים!
🔹 זווית 1: ∠A = ∠D = 40°
🔹 צלע כלואה: AC = DF = 6
🔹 זווית 2: ∠C = ∠F = 50°

המשולשים חופפים לפי ז.צ.ז.!

שלב 4: למה "כלואה"? 🤔

חשוב! הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות:

✅ כן: AC נמצאת בין ∠A ו-∠C
❌ לא: BC לא נמצאת בין ∠A ו-∠C

רק צלע כלואה מספיקה למשפט!

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"זווית-צלע-זווית"

הצלע "כלואה" בין שתי הזוויות
כמו סנדוויץ׳: לחם-ממרח-לחם
זווית-צלע-זווית

תשובה: זוויות, הכלואה

שאלה 17
1.67 נק'

🎯 יישום ז.צ.ז.:
במשולש ABC: ∠A=50°, AB=8, ∠B=60°
במשולש DEF: ∠D=50°, DE=8, ∠E=60°
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ארגון המידע 🔍

רכיבמשולש ABCמשולש DEFשווים?
זווית 1∠A = 50°∠D = 50°✓
צלע כלואהAB = 8DE = 8✓
זווית 2∠B = 60°∠E = 60°✓

שלב 2: בדיקת תבנית ז.צ.ז. 📐

✅ זווית שווה: ∠A = ∠D
✅ צלע כלואה שווה: AB = DE
✅ זווית שווה: ∠B = ∠E

יש תבנית ז.צ.ז. מושלמת!

שלב 3: בדיקה - האם הצלע כלואה? 💭

50° 60° 8 A B C 50° 60° 8 D E F
🔹 AB נמצאת בין ∠A ו-∠B ✓
🔹 DE נמצאת בין ∠D ו-∠E ✓

כן! הצלעות כלואות!

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט ז.צ.ז.

△ABC ≅ △DEF

כל שאר המידות גם יהיו שווות!

תשובה: כן - לפי משפט ז.צ.ז.

שאלה 18
1.67 נק'

❓ ז.צ.ז. - זיהוי שגיאה:
במשולש ABC: ∠A=40°, BC=7, ∠C=50°
במשולש DEF: ∠D=40°, EF=7, ∠F=50°
האם יכול להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

משולש ABC:
🔹 ∠A = 40°
🔹 BC = 7
🔹 ∠C = 50°

משולש DEF:
🔹 ∠D = 40°
🔹 EF = 7
🔹 ∠F = 50°

שלב 2: בדיקה - האם הצלע כלואה? 💭

40° 50° BC=7 ✗ A B C 40° 50° EF=7 ✗ D E F
❌ BC לא נמצאת בין ∠A ו-∠C
❌ EF לא נמצאת בין ∠D ו-∠F

הצלעות לא כלואות!

שלב 3: מה הבעיה? 🤔

לז.צ.ז. צריך:
🔹 שתי זוויות שוות ✓
🔹 הצלע בין שתי הזוויות שווה ✗

אבל כאן:
🔹 הזוויות: ∠A ו-∠C
🔹 הצלע BC היא הנגדית ל-∠A
🔹 והיא לא בין ∠A ו-∠C
🔹 הצלע הכלואה צריכה להיות AC!

שלב 4: מה צריך היה? ✍️

כדי להוכיח ז.צ.ז. היינו צריכים:

∠A = 40°, AC = 7, ∠C = 50°

ולא:
∠A = 40°, BC = 7, ∠C = 50°

הצלע במקום הלא נכון!

שלב 5: מסקנה 💡

❌ לא ניתן להוכיח חפיפה!
הצלע לא כלואה בין הזוויות

ז.צ.ז. דורש צלע בין הזוויות
לא צלע מול אחת הזוויות!

תשובה: לא - הצלע לא כלואה

שאלה 19
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - השלמת נתונים:
במשולש ABC: ∠A=35°, AC=12, ∠C=65°
איזה נתונים נצטרך במשולש DEF כדי להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים במשולש ABC 🔍

35° 65° 12 A C B
🔹 זווית 1: ∠A = 35°
🔹 צלע כלואה: AC = 12
🔹 זווית 2: ∠C = 65°

תבנית: ז-צ-ז

שלב 2: מה צריך במשולש DEF? 📐

כדי להוכיח ז.צ.ז., צריך אותו סדר:

1️⃣ זווית שווה ל-∠A (35°)
2️⃣ צלע כלואה שווה ל-AC (12)
3️⃣ זווית שווה ל-∠C (65°)

במשולש DEF, זה אומר:
∠D=35°, DF=12, ∠F=65°

שלב 3: למה דווקא DF? 💭

🔹 AC היא הצלע הכלואה בין ∠A ו-∠C
🔹 במשולש DEF, הצלע הכלואה בין הזוויות
צריכה להיות בין הקודקודים המתאימים
🔹 אם ∠D=35° (כמו ∠A) ו-∠F=65° (כמו ∠C)
🔹 אז הצלע ביניהן היא DF (כמו AC)

לא DE ולא EF!

שלב 4: בדיקת התשובות ✍️

תשובהנכון?סיבה
∠D=35°, DF=12, ∠F=65°✓ז.צ.ז. מושלם!
∠D=35°, DE=12, ∠E=65°✗DE לא כלואה בין ∠D ו-∠F
DE=12, EF=?, DF=?✗אין זוויות

שלב 5: הבנה ויזואלית 📊

A (35°) C (65°) B 12 D (35°) F (65°) E 12 התאמה
התאמה מושלמת!
△ABC ≅ △DFE

תשובה: ∠D=35°, DF=12, ∠F=65°

שאלה 20
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - בעיה מילולית:
שני מגדלים בגובה שווה נמצאים באותו מרחק מנקודה על הקרקע.
הזווית מהנקודה לראש כל מגדל שווה.
האם המשולשים שנוצרו חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה גיאומטרית 🔍

הנתונים המילוליים:
🔹 "שני מגדלים בגובה שווה" = שתי צלעות אנכיות שוות
🔹 "באותו מרחק מנקודה" = צלע משותפת שווה
🔹 "הזווית מהנקודה לראש שווה" = שתי זוויות שוות

שלב 2: שרטוט המצב 📊

A h B h P d d ∠1 ∠2
🔹 A ו-B = ראשי המגדלים
🔹 P = נקודה על הקרקע
🔹 AP = BP = d (מרחק שווה)
🔹 ∠1 = ∠2 (זוויות שוות מ-P)

שלב 3: זיהוי תבנית ז.צ.ז. 📐

במשולש APX ומשולש BPX:

✅ זווית: ∠PAX = ∠PBX (זווית מהקרקע)
✅ צלע כלואה: AX = BX (בסיס משותף/מרחק)
✅ זווית: ∠APX = ∠BPX (נתון)

תבנית ז.צ.ז. מושלמת!

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט ז.צ.ז.

זווית-מרחק-זווית
ז-צ-ז

לא משנה מה הגובה/המרחק הספציפיים,
כל עוד הם שווים!

תשובה: כן - לפי ז.צ.ז.

שאלה 21
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - יישום:
שני קווים מקבילים AB∥CD נחתכים על ידי שני חוצים EF ו-GH.
האם המשולשים שנוצרו חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

A B C D E F X α α
🔹 AB ∥ CD (מקבילים - סימון כתום)
🔹 קו חותך יוצר משולשים
🔹 זוויות מתחלפות שוות (α)

שלב 2: תכונות קווים מקבילים 📐

כשקווים מקבילים:
🔹 זוויות מתחלפות שוות
🔹 זוויות מתאימות שוות
🔹 זוויות חד-צדדיות משלימות

זה יוצר זוויות שוות במשולשים!

שלב 3: זיהוי ז.צ.ז. 💭

רכיבמשולש 1משולש 2שווים?
זווית 1זווית מתחלפתזווית מתחלפת✓
צלעקטע החותךקטע החותך✓
זווית 2זווית מתחלפתזווית מתחלפת✓

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט ז.צ.ז.

קווים מקבילים יוצרים
זוויות שוות אוטומטית!

תשובה: כן - לפי ז.צ.ז.

שאלה 22
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - מציאת זווית:
במשולש ABC: ∠A=45°, AB=9, ∠B=x
במשולש DEF: ∠D=45°, DE=9, ∠E=70°
אם המשולשים חופפים לפי ז.צ.ז., מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי התבנית 🔍

משולש ABC:
🔹 ∠A = 45° (זווית 1)
🔹 AB = 9 (צלע כלואה)
🔹 ∠B = x (זווית 2)

משולש DEF:
🔹 ∠D = 45° (זווית 1)
🔹 DE = 9 (צלע כלואה)
🔹 ∠E = 70° (זווית 2)

שלב 2: תנאי לחפיפה ז.צ.ז. 📐

כדי שהמשולשים יהיו חופפים לפי ז.צ.ז.:

✅ ∠A = ∠D (45° = 45°) ✓
✅ AB = DE (9 = 9) ✓
❓ ∠B = ∠E (x = 70°) ?

הזוויות הכלואות חייבות להיות שוות!

שלב 3: פתרון 💭

אם המשולשים חופפים לפי ז.צ.ז.

אז:
∠B = ∠E

x = 70°

x = 70°

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

A (45°) B (70°) C 9 D (45°) E (70°) F 9 ≅
אם הזוויות שונות,
לא יהיה ז.צ.ז.!

תשובה: x = 70°

שאלה 23
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - יישום במעוין:
במעוין ABCD, האלכסונים נחתכים ב-O.
האם המשולשים AOB ו-BOC חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המבנה 🔍

O A D B C a a a a
🔹 ABCD מעוין
🔹 O נקודת חיתוך האלכסונים
🔹 משולשים: △AOB (ירוק) ו-△BOC (כתום)

שלב 2: תכונות מעוין 📐

במעוין:
🔹 כל 4 הצלעות שוות
🔹 האלכסונים חוצים זה את זה
🔹 האלכסונים מאונכים זה לזה
🔹 האלכסונים חוצים את הזוויות

אבל: זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות לא בהכרח

שלב 3: ניתוח החפיפה 💭

רכיב△AOB△BOCשווים?
צלעABBC✓ (מעוין)
צלעBOBO✓ (משותף)
זווית∠ABO∠CBO❓ (לא בהכרח!)

שלב 4: למה לא? 🤔

הבעיה:
🔹 במעוין, זוויות נגדיות שוות (∠A=∠C, ∠B=∠D)
🔹 אבל זוויות סמוכות לא בהכרח שוות!
🔹 ∠ABO ו-∠CBO הן חלקים של זוויות שונות
🔹 לכן הן לא בהכרח שוות

לז.צ.ז. חסרות לנו שתי זוויות שוות!

שלב 5: מתי כן? 💡

המשולשים יהיו חופפים:
🔹 אם המעוין הוא ריבוע (כל הזוויות 90°)
🔹 או אם נתון שהאלכסון חוצה זווית
🔹 אבל במעוין כללי - לא בהכרח!

תשובה: לא בהכרח - חסר מידע

שאלה 24
1.67 נק'

❓ ז.צ.ז. - הבנה:
למה למשפט ז.צ.ז. קוראים "זווית-צלע-זווית"
ולא "צלע-זווית-זווית"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משמעות השם 🔍

השם "ז.צ.ז."
מתאר את הסדר הגיאומטרי
של האלמנטים

זווית → צלע → זווית

שלב 2: הבנה ויזואלית 📊

ז צ ז A B C הצלע בין הזוויות!
🔹 זווית 1: ∠A
🔹 צלע כלואה: AC (בין הזוויות)
🔹 זווית 2: ∠C

הצלע ממוקמת בין שתי הזוויות!

שלב 3: למה זה חשוב? 💭

הסדר מדגיש:

✅ הצלע חייבת להיות בין הזוויות
❌ לא מספיק שתי זוויות וצלע כלשהי

דוגמה:
אם היו קוראים לזה "צלע-זווית-זווית",
זה היה מבלבל - איפה הצלע?
לפני הזוויות? אחרי?

"ז.צ.ז." מבהיר: הצלע כלואה!

שלב 4: השוואה 📐

שםמשמעותנכון?
ז.צ.ז.הצלע בין הזוויות✓
צ.ז.ז.לא ברור איפה הצלע✗
ז.ז.צ.הצלע אחרי הזוויות (לא ביניהן)✗

שלב 5: זיכרון 💡

דמיון לסנדוויץ׳:

🍞 זווית
🧀 צלע (באמצע!)
🍞 זווית

זווית-צלע-זווית
הצלע כלואה בין הזוויות!

תשובה: כי הצלע כלואה בין הזוויות

שאלה 25
1.67 נק'

🏆 ז.צ.ז. - אתגר:
במשולש ABC, D נקודה על BC.
נתון: ∠BAD=∠CAD, AD⊥BC.
הוכח שהמשולשים ABD ו-ACD חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתונים 🔍

⊥ A B C D ∠BAD ∠CAD
נתון:
🔹 D על BC
🔹 ∠BAD = ∠CAD (AD חוצה ∠A)
🔹 AD ⊥ BC (AD גובה)

להוכיח: △ABD ≅ △ACD

שלב 2: בניית ההוכחה 📐

שלב 1: זיהוי הזוויות
🔹 ∠BAD = ∠CAD (נתון) ✓

שלב 2: זיהוי הצלע
🔹 AD משותף לשני המשולשים
🔹 לכן: AD = AD ✓

שלב 3: הזווית השנייה
🔹 AD ⊥ BC (נתון)
🔹 לכן: ∠ADB = 90° ו-∠ADC = 90°
🔹 ∠ADB = ∠ADC = 90° ✓

שלב 3: ארגון לפי ז.צ.ז. 💭

מיקום△ABD△ACDשווים?
זווית 1∠BAD∠CAD✓ נתון
צלע כלואהADAD✓ משותף
זווית 2∠ADB=90°∠ADC=90°✓ AD⊥BC

שלב 4: כתיבת ההוכחה ✍️

הוכחה:

במשולשים ABD ו-ACD:
1️⃣ ∠BAD = ∠CAD (נתון - AD חוצה)
2️⃣ AD = AD (צלע משותפת)
3️⃣ ∠ADB = ∠ADC = 90° (AD⊥BC)

לכן: △ABD ≅ △ACD
לפי משפט ז.צ.ז. ■

שלב 5: תוצאה 🎁

מהחפיפה נובע:
🔹 AB = AC (המשולש שווה שוקיים!)
🔹 BD = DC (AD חוצה את הבסיס)
🔹 ∠ABD = ∠ACD

זו תוצאה חשובה: במשולש שווה שוקיים,
חוצה הזווית הוא גם גובה!

תשובה: ∠BAD=∠CAD, AD משותף, ∠ADB=∠ADC=90°

שאלה 26
1.67 נק'

❓ ז.צ.ז. - כמה נתונים:
כמה מינימום נתונים צריך כדי להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק המשפט 🔍

משפט ז.צ.ז.
דורש 3 נתונים:

1️⃣ זווית שווה
2️⃣ צלע כלואה שווה
3️⃣ זווית שווה

שלב 2: למה דווקא 3? 📐

עם פחות נתונים:

❌ 1 נתון: לא מספיק בכלל
❌ 2 נתונים: לא מספיק לקבוע משולש ייחודי
✅ 3 נתונים (ז.צ.ז.): מספיק!

3 הוא המספר המינימלי לחפיפה

שלב 3: דוגמה 💭

3 נתונים:
🔹 נתון 1: ∠A = 50°
🔹 נתון 2: AC = 8
🔹 נתון 3: ∠C = 60°

→ יש רק משולש אחד עם נתונים אלה
→ לכן החפיפה מוכחת!

שלב 4: כל משפטי החפיפה 📊

משפטמספר נתונים
צ.ז.צ.3
ז.צ.ז.3
צ.צ.צ.3

כל משפטי החפיפה דורשים 3 נתונים!

תשובה: 3 נתונים

שאלה 27
1.67 נק'

⚠️ ז.צ.ז. - טעות נפוצה:
במשולש ABC: ∠A=40°, BC=6, ∠C=50°
במשולש DEF: ∠D=40°, EF=6, ∠F=50°
תלמיד טען שהמשולשים חופפים לפי ז.צ.ז. האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הטענה 🔍

נתונים במשולש ABC:
🔹 ∠A = 40°
🔹 BC = 6
🔹 ∠C = 50°

נתונים במשולש DEF:
🔹 ∠D = 40°
🔹 EF = 6
🔹 ∠F = 50°

שלב 2: איפה הבעיה? 📐

✗ לא נכון! ✗ לא נכון! 40° 50° BC=6 A B C 40° 50° EF=6 D E F
❌ הזוויות השוות: ∠A=40°, ∠C=50°
❌ הצלע: BC = 6

BC לא נמצאת בין ∠A ו-∠C!

שלב 3: מה צריך היה? 💭

לז.צ.ז. צריך:
🔹 הצלע חייבת להיות כלואה בין שתי הזוויות

במקרה שלנו:
🔹 הזוויות: ∠A ו-∠C
🔹 הצלע הכלואה ביניהן: AC (לא BC!)

אבל נתון BC, שהיא לא הצלע הכלואה

שלב 4: למה זו טעות? ✍️

הטעות:

התלמיד חשב שיש:
זווית (∠A=40°)
+
צלע (BC=6)
+
זווית (∠C=50°)

אבל BC לא כלואה בין ∠A ו-∠C!

זה לא ז.צ.ז.!

שלב 5: מה היינו צריכים? 💡

לחפיפה ז.צ.ז. היינו צריכים:

∠A=40°, AC=6, ∠C=50°

או:

∠B=?, BC=6, ∠C=50°

הצלע חייבת להיות כלואה!

תשובה: לא - הצלעות לא כלואות

שאלה 28
1.67 נק'

📚 ז.צ.ז. - סיכום:
איזו מהאפשרויות הבאות היא תיאור נכון של משפט ז.צ.ז.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט המדויק 🔍

משפט ז.צ.ז. ✨
אם במשולשים:

שתי זוויות שוות
+
הצלע הכלואה ביניהן שווה

אז המשולשים חופפים

שלב 2: למה התשובות האחרות שגויות? 📐

תשובהנכון?סיבה
שתי זוויות + צלע כלואה✓זה המשפט!
שתי זוויות + צלע כלשהי✗הצלע חייבת להיות כלואה
שלוש זוויות שוות✗לא מספיק! (דמיון, לא חפיפה)
שתי צלעות + זווית✗זה משפט צ.ז.צ. (אחר)

שלב 3: נקודות מפתח 💭

המילים החשובות:

1️⃣ "שתי זוויות" - לא אחת, לא שלוש
2️⃣ "צלע" - אחת בלבד
3️⃣ "כלואה ביניהן" - זה התנאי הקריטי!

ללא "כלואה", המשפט לא עובד

תשובה: שתי זוויות שוות והצלע הכלואה ביניהן שווה

שאלה 29
1.67 נק'

🎯 ז.צ.ז. - יישום מתקדם:
נתונים שני משולשים עם זוויות בסיס שוות,
והצלע שביניהן שווה.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"זוויות בסיס שוות" =
🔹 במשולש ABC: ∠B = ∠C
🔹 במשולש DEF: ∠E = ∠F
🔹 וגם: ∠B = ∠E ו-∠C = ∠F

"הצלע שביניהן שווה" =
🔹 BC = EF (הבסיס)

שלב 2: הבנה ויזואלית 📊

∠B ∠C BC A B C ∠E ∠F EF D E F ≅
🔹 ∠B = ∠E (זוויות בסיס)
🔹 BC = EF (צלע כלואה)
🔹 ∠C = ∠F (זוויות בסיס)

שלב 3: זיהוי ז.צ.ז. 📐

מיקוםמשולש ABCמשולש DEFשווים?
זווית 1∠B∠E✓ נתון
צלע כלואהBCEF✓ נתון
זווית 2∠C∠F✓ נתון

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט ז.צ.ז.

△ABC ≅ △DEF

זוויות בסיס שוות
+ הבסיס שווה
= חפיפה!

תשובה: המשולשים חופפים - לפי ז.צ.ז.

שאלה 30
1.67 נק'

🏆 ז.צ.ז. - אתגר מתקדם:
במשולשים ABC ו-DEF נתון:
∠A=∠D=90°, AB=DE, ∠B=∠E.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

משולש ABC משולש DEF 90° ∠B A C B AB 90° ∠E D F E DE ≅
נתון:
🔹 ∠A = ∠D = 90°
🔹 AB = DE
🔹 ∠B = ∠E

שני משולשים ישרי זווית!

שלב 2: זיהוי ז.צ.ז. 📐

רכיבמשולש ABCמשולש DEFשווים?
זווית 1∠A = 90°∠D = 90°✓ נתון
צלע כלואהABDE✓ נתון
זווית 2∠B∠E✓ נתון

שלב 3: בדיקה - האם הצלע כלואה? 💭

✅ הזוויות: ∠A ו-∠B
✅ הצלע: AB
✅ AB נמצאת בין ∠A ו-∠B

כן! AB היא הצלע הכלואה!

זו היתר במשולש ישר הזווית

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
△ABC ≅ △DEF
לפי משפט ז.צ.ז.

במשולשים ישרי זווית,
זווית ישרה + ניצב + זווית חדה
מספיקים לחפיפה!

שלב 5: בונוס - תוצאה 🎁

מהחפיפה נובע:
🔹 AC = DF (הניצב השני שווה)
🔹 BC = EF (היתר שווה)
🔹 ∠C = ∠F

זו תוצאה חשובה במשולשים ישרי זווית:
זווית ישרה + ניצב + זווית חדה → חפיפה!

תשובה: המשולשים חופפים - ז.צ.ז.

שאלה 31
1.67 נק'

📐 משפט צ.צ.צ. - זיהוי:
משפט חפיפה צ.צ.צ. אומר שאם במשולשים יש:
_____ צלעות שוות, אז המשולשים חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט צ.צ.צ. ✨
אם במשולשים:

שלוש צלעות שוות

אז
המשולשים חופפים

שלב 2: למה דווקא שלוש? 💭

משולש יש לו בדיוק 3 צלעות

אם כל 3 הצלעות שוות,
אז המשולשים זהים!

אין דרך אחרת לבנות משולש
עם אותם 3 אורכים

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

5 6 7 A B C משולש 1 5 6 7 D E F משולש 2
🔹 AB = DE = 5 (צלע 1)
🔹 AC = DF = 6 (צלע 2)
🔹 BC = EF = 7 (צלע 3)

המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.!

שלב 4: למה זה הכי פשוט? 🤔

צ.צ.צ. הכי קל לזהות:

✅ לא צריך לדאוג לזוויות כלואות
✅ לא צריך לדאוג לצלעות כלואות
✅ פשוט: כל 3 הצלעות שוות = חפיפה!

זה כמו לבנות משולש מ-3 קשים:
אם האורכים זהים, המשולש זהה!

שלב 5: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

צלע-צלע-צלע

3 צלעות = משולש שלם
אם כולן שוות → חפיפה מובטחת!

תשובה: שלוש

שאלה 32
1.67 נק'

🎯 יישום צ.צ.צ.:
במשולש ABC: AB=5, BC=7, AC=9
במשולש DEF: DE=5, EF=7, DF=9
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ארגון המידע 🔍

צלע משולש ABC משולש DEF שווים?
צלע 1 AB = 5 DE = 5 ✓
צלע 2 BC = 7 EF = 7 ✓
צלע 3 AC = 9 DF = 9 ✓

שלב 2: בדיקת תבנית צ.צ.צ. 📐

✅ צלע 1 שווה: AB = DE (5)
✅ צלע 2 שווה: BC = EF (7)
✅ צלע 3 שווה: AC = DF (9)

כל 3 הצלעות שוות!

שלב 3: הבנה ויזואלית 📊

5 9 7 A B C 5 9 7 D E F
כל הצלעות זהות!
המשולשים חייבים להיות זהים!

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.צ.צ.

△ABC ≅ △DEF

גם כל הזוויות יהיו שוות!
(∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F)

תשובה: כן - לפי משפט צ.צ.צ.

שאלה 33
1.67 נק'

❓ צ.צ.צ. - סדר:
במשולש ABC: AB=5, BC=8, AC=6
במשולש DEF: DE=8, EF=6, DF=5
האם המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

משולש ABC:
🔹 צלעות: 5, 8, 6

משולש DEF:
🔹 צלעות: 8, 6, 5

אותם האורכים, סדר שונה!

שלב 2: האם הסדר משנה? 📐

לא! הסדר לא משנה! ✨
במשפט צ.צ.צ.,
רק האורכים חשובים,
לא הסדר שלהם

כל עוד יש את אותם 3 אורכים
→ המשולשים חופפים!

שלב 3: בדיקה 💭

האורכים במשולש ABC:
5, 6, 8

האורכים במשולש DEF:
5, 6, 8

אותם האורכים בדיוק!

שלב 4: למה? 🤔

דמיון:
🔹 נתון לך 3 מקלות באורכים 5, 6, 8
🔹 אתה יכול לבנות רק משולש אחד
🔹 לא משנה באיזה סדר תתחיל
🔹 המשולש תמיד יהיה אותו משולש!

הסדר שבו אנחנו קוראים את הצלעות
לא משנה את המשולש עצמו

שלב 5: דוגמה ויזואלית 📊

5 6 8 A B C 8 5 6 D E F
אותו משולש!
פשוט סובבנו/שיקפנו אותו

שלב 6: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
△ABC ≅ △DEF
לפי משפט צ.צ.צ.

הסדר לא משנה!

תשובה: כן - הסדר לא משנה

שאלה 34
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - מציאת צלע:
במשולש ABC: AB=4, BC=7, AC=9
במשולש DEF: DE=4, EF=x, DF=9
אם המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ., מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי התבנית 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 4
🔹 BC = 7
🔹 AC = 9

משולש DEF:
🔹 DE = 4 ✓
🔹 EF = x ❓
🔹 DF = 9 ✓

שלב 2: תנאי לחפיפה צ.צ.צ. 📐

כדי שהמשולשים יהיו חופפים לפי צ.צ.צ.:

🔹 צלע 1: 4 = 4 ✓
🔹 צלע 2: 7 = x ❓
🔹 צלע 3: 9 = 9 ✓

כל 3 הצלעות חייבות להיות שוות!

שלב 3: פתרון 💭

אם המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.

אז המשולש DEF צריך צלעות:
4, ?, 9

והמשולש ABC יש צלעות:
4, 7, 9

הצלע החסרה:
x = 7

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

4 9 7 A B C 4 9 7 D E F
x = 7 כדי שהצלעות יהיו זהות!

שלב 5: בדיקה ✍️

משולש ABC: 4, 7, 9
משולש DEF: 4, 7, 9

✓ כל 3 הצלעות שוות!
✓ המשולשים חופפים!

תשובה: x = 7

שאלה 35
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - בעיה מילולית:
שני משולשים נבנו מאותם שלושה אורכי מקלות:
5 ס"מ, 6 ס"מ, 8 ס"מ.
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"אותם שלושה אורכי מקלות" =
🔹 משולש 1: צלעות 5, 6, 8
🔹 משולש 2: צלעות 5, 6, 8

כל 3 הצלעות זהות!

שלב 2: הבנה פיזית 💭

דמיון:

יש לך 3 מקלות קשיחים
באורכים: 5, 6, 8

יש רק דרך אחת לחבר אותם
למשולש!

לא משנה איך תסובב/תשקף,
תמיד תקבל אותו משולש

שלב 3: זיהוי צ.צ.צ. 📐

צלע משולש 1 משולש 2 שווים?
1 5 ס"מ 5 ס"מ ✓
2 6 ס"מ 6 ס"מ ✓
3 8 ס"מ 8 ס"מ ✓

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.צ.צ.

אותם מקלות = אותו משולש

גם כל הזוויות יהיו זהות!

תשובה: כן - לפי צ.צ.צ.

שאלה 36
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - יישום:
שני משולשים שווי צלעות עם צלע באורך 7.
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת "משולש שווה צלעות" 🔍

משולש שווה צלעות
כל 3 הצלעות שוות

אם צלע = 7
אז כל הצלעות = 7

שלב 2: ניתוח המשולשים 📐

משולש 1 (שווה צלעות, צלע=7):
🔹 צלע 1 = 7
🔹 צלע 2 = 7
🔹 צלע 3 = 7

משולש 2 (שווה צלעות, צלע=7):
🔹 צלע 1 = 7
🔹 צלע 2 = 7
🔹 צלע 3 = 7

שלב 3: בדיקת צ.צ.צ. 💭

✅ כל 3 הצלעות של משולש 1: 7, 7, 7
✅ כל 3 הצלעות של משולש 2: 7, 7, 7

כל הצלעות שוות!

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

7 7 7 A B C משולש שווה צלעות 1 7 7 7 D E F משולש שווה צלעות 2
שני משולשים שווי צלעות
עם אותו אורך צלע
חייבים להיות זהים!

שלב 5: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.צ.צ.

כל משולש שווה צלעות עם צלע 7
הוא אותו משולש!

(גם כל הזוויות 60°)

תשובה: כן - לפי צ.צ.צ.

שאלה 37
1.67 נק'

❓ צ.צ.צ. - שאלת הבנה:
האם כל 3 מספרים יכולים ליצור משולש?
למשל: 2, 3, 10

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניסיון לבנות משולש 🔍

נתון: צלעות 2, 3, 10

נסה לדמיין:
🔹 מקל באורך 2
🔹 מקל באורך 3
🔹 מקל באורך 10

האם אפשר לחבר אותם למשולש?

שלב 2: הבעיה 💭

10 2 3 ✗ A B הקצוות לא נפגשים!
2 + 3 = 5 < 10

שני המקלות הקצרים ביחד
קצרים מהמקל הארוך!

אי אפשר ליצור משולש!

שלב 3: אי-שוויון המשולש 📐

כלל אי-שוויון המשולש ✨
סכום כל שתי צלעות
חייב להיות גדול
מהצלע השלישית

a + b > c
a + c > b
b + c > a

שלב 4: בדיקה לדוגמה 🔍

צלעות: 2, 3, 10

✗ 2 + 3 = 5 < 10 (לא טוב!)
✓ 2 + 10 = 12 > 3 ✓
✓ 3 + 10 = 13 > 2 ✓

אחד התנאים נכשל → אי אפשר משולש!

שלב 5: דוגמה טובה 💡

צלעות: 3, 4, 5

✓ 3 + 4 = 7 > 5 ✓
✓ 3 + 5 = 8 > 4 ✓
✓ 4 + 5 = 9 > 3 ✓

כל התנאים מתקיימים → אפשר משולש!

שלב 6: סיכום 📊

לפני שבודקים חפיפה צ.צ.צ.,
צריך לוודא שהמספרים יכולים ליצור משולש!

אי-שוויון המשולש = תנאי הכרחי

תשובה: לא - צריך לקיים אי-שוויון המשולש

שאלה 38
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - יישום:
שני משולשים שווי שוקיים עם שוקיים באורך 5 ובסיס באורך 6.
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת משולש שווה שוקיים 🔍

משולש שווה שוקיים
שתי צלעות שוות (שוקיים)
צלע שלישית (בסיס)

שוקיים = 5
בסיס = 6

שלב 2: ניתוח הצלעות 📐

משולש 1 (שווה שוקיים):
🔹 שוק 1 = 5
🔹 שוק 2 = 5
🔹 בסיס = 6

משולש 2 (שווה שוקיים):
🔹 שוק 1 = 5
🔹 שוק 2 = 5
🔹 בסיס = 6

שלב 3: בדיקת צ.צ.צ. 💭

צלע משולש 1 משולש 2 שווים?
1 5 5 ✓
2 5 5 ✓
3 6 6 ✓

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

5 5 6 A B C משולש 1 5 5 6 D E F משולש 2
כל 3 הצלעות זהות!
(5, 5, 6)

שלב 5: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט צ.צ.צ.

כל משולש שווה שוקיים
עם שוקיים 5 ובסיס 6
הוא אותו משולש!

(גם זווית הראש תהיה זהה)

תשובה: כן - לפי צ.צ.צ.

שאלה 39
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - מציאת צלע:
במשולש ABC: AB=8, BC=10, AC=x
במשולש DEF: DE=10, EF=8, DF=12
אם המשולשים חוףים לפי צ.צ.צ., מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ארגון הנתונים 🔍

משולש ABC:
🔹 צלעות: 8, 10, x

משולש DEF:
🔹 צלעות: 10, 8, 12

צריך למצוא את x

שלב 2: סידור הצלעות 📐

משולש ABC:
צלעות: 8, 10, x
(מסודרות: 8, 10, ?)

משולש DEF:
צלעות: 10, 8, 12
(מסודרות: 8, 10, 12)

אותם האורכים!

שלב 3: פתרון 💭

לפי צ.צ.צ., כל הצלעות שוות:

משולש ABC: {8, 10, x}
משולש DEF: {8, 10, 12}

הצלע החסרה:
x = 12

שלב 4: בדיקה ✍️

משולש ABC: {8, 10, 12}
משולש DEF: {8, 10, 12}

✓ כל 3 הצלעות שוות!
✓ המשולשים חופפים!

תשובה: x = 12

שאלה 40
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - יישום במקבילית:
במקבילית ABCD, האלכסונים נחתכים ב-O.
נתון: AB=5, BC=7, AC=9.
מה ניתן לומר על המשולשים ABC ו-CDA?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המבנה 🔍

O A B C D AB=5 BC=7 AC=9
🔹 ABCD מקבילית
🔹 משולשים: △ABC (ירוק) ו-△CDA (כתום)
🔹 נתון: AB=5, BC=7, AC=9

שלב 2: תכונות מקבילית 📐

במקבילית:
🔹 צלעות נגדיות שוות
🔹 לכן: AB = CD ו-BC = DA

אם AB=5 → CD=5
אם BC=7 → DA=7

שלב 3: זיהוי הצלעות 💭

צלע△ABC△CDAשווים?
1AB = 5CD = 5✓ (מקבילית)
2BC = 7DA = 7✓ (מקבילית)
3AC = 9CA = 9✓ (משותף)

שלב 4: בדיקת צ.צ.צ. ✍️

✅ צלע: AB = CD = 5
✅ צלע: BC = DA = 7
✅ צלע: AC = CA = 9 (משותף)

כל 3 הצלעות שוות!

שלב 5: מסקנה 💡

✅ המשולשים חופפים!
△ABC ≅ △CDA
לפי משפט צ.צ.צ.

זה נכון בכל מקבילית!
האלכסון יוצר שני משולשים חופפים

תשובה: חופפים - לפי צ.צ.צ.

שאלה 41
1.67 נק'

❓ צ.צ.צ. - הבנה:
האם צ.צ.צ. הוא המשפט הכי "חזק"
מבין משפטי החפיפה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה "חזק"? 🔍

משפט "חזק"
משפט שקובע את כל התכונות
של המשולש

אם יודעים את הנתונים,
אפשר לחשב הכל

שלב 2: צ.צ.צ. - הכי מלא 📐

אם יודעים 3 צלעות:
✅ המשולש קיים באופן יחיד
✅ אפשר לחשב את כל הזוויות
✅ אפשר לחשב הכל (שטח, גבהים, וכו׳)

אין משולש אחר עם אותם 3 אורכים!

שלב 3: השוואה למשפטים אחרים 💭

משפטנתוניםתלות
צ.צ.צ.3 צלעותלא תלוי בזוויות
צ.ז.צ.2 צלעות + זוויתתלוי בזווית כלואה
ז.צ.ז.2 זוויות + צלעתלוי בצלע כלואה

שלב 4: למה הכי חזק? ✍️

צ.צ.צ. הכי פשוט וישיר:

🔹 לא צריך לדאוג ל"כלואה"
🔹 לא צריך לבדוק סדר
🔹 פשוט: יש את 3 האורכים? → קיים משולש יחיד!

זה הכי "שלם" ומדויק

שלב 5: דוגמה פיזית 💡

דמיון:
🔹 תן לי 3 מקלות קשיחים
🔹 יש רק דרך אחת לחבר אותם
🔹 המשולש שנוצר הוא ייחודי

זו הסיבה שמבנים משתמשים במשולשים
כדי ליצור יציבות!

שלב 6: הערה 🤔

כל המשפטים "חזקים" במובן זה שהם מוכיחים חפיפה.

אבל צ.צ.צ. הוא ה"מלא" ביותר -
הוא נותן לנו את כל המידע על המשולש
מבלי צורך במידע נוסף.

תשובה: כן - הוא קובע את המשולש באופן מלא

שאלה 42
1.67 נק'

⚠️ צ.צ.צ. - טעות נפוצה:
תלמיד טען: "אם שתי צלעות שוות,
המשולשים כבר חופפים."
האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטענה 🔍

הטענה:

"שתי צלעות שוות
מספיקות לחפיפה"

האם זה נכון?

שלב 2: דוגמה נגדית 📐

משולש 1: צלעות 5, 5, 6
משולש 2: צלעות 5, 5, 8

שתי הצלעות הראשונות שוות (5, 5)
אבל הצלע השלישית שונה!

המשולשים לא חופפים!

שלב 3: הבנה ויזואלית 💭

משולש 1 (5,5,6) משולש 2 (5,5,8) 5 5 6 A B C 5 5 8 D E F ≠
אותם שוקיים (5, 5), בסיסים שונים (6 ≠ 8)
→ משולשים שונים!

שלב 4: למה לא מספיק? 🤔

2 צלעות לא קובעות משולש:

🔹 עם 2 מקלות באורך 5
🔹 אפשר ליצור משולשים רבים
🔹 תלוי באורך הצלע השלישית
🔹 כל אורך שונה → משולש שונה!

צריך כל 3 הצלעות!

שלב 5: המשפט הנכון 📊

משפט צ.צ.צ. הנכון ✨
כל 3 הצלעות שוות
→ חפיפה

לא 2 צלעות!
לא מספיק!

שלב 6: הערה 💡

שימו לב:
🔹 2 צלעות + זווית כלואה = צ.ז.צ. ✓
🔹 2 צלעות בלבד = לא מספיק ✗

המשפטים דורשים 3 נתונים תמיד!

תשובה: לא - צריך 3 צלעות שוות

שאלה 43
1.67 נק'

📚 צ.צ.צ. - סיכום:
מה הדרך הכי פשוטה להוכיח
שמשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה צ.צ.צ. הכי פשוט? 🔍

צ.צ.צ. = הפשוט ביותר ✨
✅ לא צריך לדאוג לזוויות
✅ לא צריך לבדוק "כלואה"
✅ לא צריך לבדוק סדר
✅ פשוט: 3 צלעות שוות = חפיפה!

שלב 2: השוואה לאפשרויות אחרות 📐

שיטהעובדת?למה?
כל 3 הצלעות שוות✓צ.צ.צ. - הכי פשוט!
זוויות שוות✗רק דמיון, לא חפיפה
באותו גודל✗לא מדויק מספיק
שטחים שווים✗משולשים שונים יכולים לשטח שווה

שלב 3: למה לא שטחים? 💭

שטחים שווים ≠ חפיפה!

דוגמה:
משולש 1: בסיס=10, גובה=4 → שטח=20
משולש 2: בסיס=8, גובה=5 → שטח=20

אותו שטח, משולשים שונים!
לא חופפים!

שלב 4: יתרונות צ.צ.צ. ✍️

למה צ.צ.צ. הכי טוב:

1️⃣ קל למדוד: קל למדוד אורכים מזוויות
2️⃣ חד משמעי: אין בלבול עם "כלואה"
3️⃣ ישיר: אם 3 צלעות שוות → סיימנו!
4️⃣ פיזי: כמו לבנות משולש ממקלות

שלב 5: סיכום 💡

הדרך הפשוטה ביותר ✨
למדוד 3 צלעות
ולהראות שהן שוות

צ.צ.צ.!

תשובה: להראות שכל 3 הצלעות שוות

שאלה 44
1.67 נק'

🎯 צ.צ.צ. - יישום מתקדם:
במשולשים ABC ו-DEF נתון:
AB+BC+CA = DE+EF+FD = 24
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתון 🔍

נתון:
🔹 סכום צלעות משולש ABC = 24
🔹 סכום צלעות משולש DEF = 24

זה אומר: ההיקף שווה
אבל האם זה מספיק?

שלב 2: דוגמה נגדית 📐

משולש 1: צלעות 6, 8, 10
סכום: 6+8+10 = 24 ✓

משולש 2: צלעות 7, 7, 10
סכום: 7+7+10 = 24 ✓

אותו היקף (24)
אבל צלעות שונות!

שלב 3: הבנה ויזואלית 💭

משולש 1: 6+8+10=24 משולש 2: 7+7+10=24 10 6 8 A C B 7 7 10 D F E ≠
אותו היקף (24)
משולשים שונים!
לא חופפים!

שלב 4: למה לא מספיק? 🤔

היקף שווה ≠ חפיפה!

🔹 יש אינסוף משולשים עם היקף נתון
🔹 למשל, היקף 24 יכול להיות:
  • 6, 8, 10
  • 7, 7, 10
  • 5, 9, 10
  • 8, 8, 8
  • ועוד רבים...

צריך לדעת את כל 3 הצלעות בנפרד!

שלב 5: מה צריך? ✍️

כדי להוכיח צ.צ.צ.:

לא מספיק:
AB+BC+CA = DE+EF+FD

צריך:
AB = DE וגם
BC = EF וגם
CA = FD

כל צלע בנפרד!

תשובה: לא בהכרח - ההיקף שווה, אבל לא הצלעות

שאלה 45
1.67 נק'

🏆 צ.צ.צ. - אתגר מתקדם:
במשולשים ABC ו-DEF נתון:
AB²+BC²+CA² = DE²+EF²+FD²
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתון 🔍

נתון:
סכום ריבועי הצלעות שווה:
AB²+BC²+CA² = DE²+EF²+FD²

האם זה מבטיח חפיפה?

שלב 2: דוגמה נגדית 📐

משולש 1: צלעות 3, 4, 5
3²+4²+5² = 9+16+25 = 50

משולש 2: צלעות 1, 5, √38
1²+5²+(√38)² = 1+25+38 = 64

אופס! שונה! נסה אחר:
משולש 2: יכולים לחפש צלעות אחרות
שנותנות 50, אבל קשה מאוד...

שלב 3: למה לא מספיק? 💭

סכום ריבועים ≠ חפיפה!

🔹 אפשר שצלעות שונות
🔹 יתנו אותו סכום ריבועים
🔹 למשל (עם מספרים לא שלמים):
  • משולש 1: 3, 4, 5 → סכום = 50
  • משולש 2: 2, 6, √14 → סכום = 50

צריך כל צלע בנפרד שווה!

שלב 4: מה צריך באמת? ✍️

לצ.צ.צ. צריך:

AB = DE
וגם
BC = EF
וגם
CA = FD

לא סכומים או נוסחאות מורכבות!
כל צלע בנפרד שווה!

תשובה: לא בהכרח - סכום ריבועים לא מבטיח

שאלה 46
1.67 נק'

📐 משפט שתי צלעות + זווית - זיהוי:
משפט זה אומר שאם במשולשים יש:
שתי צלעות שוות והזווית מול הצלע ה_____ שווה, אז המשולשים חופפים.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט מיוחד ✨
אם במשולשים:
1️⃣ שתי צלעות שוות
2️⃣ הזווית מול הצלע הגדולה שווה

אז
המשולשים חופפים

שלב 2: למה דווקא "גדולה"? 💭

במשולש:
מול הצלע הגדולה יותר
יש הזווית הגדולה יותר

אם שתי צלעות נתונות,
הצלע הגדולה מבין השתיים
קובעת את הזווית החשובה

שלב 3: דוגמה 📊

AB=5 (גדולה) AC=3 (קטנה) α מול הגדולה! A B C
🔹 צלעות: AB=5 (גדולה), AC=3 (קטנה)
🔹 α = הזווית מול AB (הגדולה)
🔹 צריך את α כדי להוכיח חפיפה

שלב 4: למה לא הקטנה? 🤔

הזווית מול הקטנה לא מספיקה!

🔹 יכולים להיות כמה משולשים
🔹 עם אותן 2 צלעות
🔹 ואותה זווית מול הקטנה
🔹 אבל זווית שונה מול הגדולה

רק מול הגדולה קובע באופן ייחודי!

תשובה: גדולה

שאלה 47
1.67 נק'

🎯 יישום - זיהוי:
במשולש ABC: AB=7, AC=5, ∠C=50°
במשולש DEF: DE=7, DF=5, ∠F=50°
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הצלעות 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 7 (גדולה יותר)
🔹 AC = 5 (קטנה יותר)
🔹 ∠C = 50°

משולש DEF:
🔹 DE = 7 (גדולה יותר)
🔹 DF = 5 (קטנה יותר)
🔹 ∠F = 50°

שלב 2: איזו זווית נתונה? 📐

משולש ABC משולש DEF 7 5 50° A B C ✓ 7 5 50° D E F ✓
🔹 ∠C נמצאת מול AB (הצלע הגדולה=7)
🔹 ∠F נמצאת מול DE (הצלע הגדולה=7)

הזווית במקום הנכון!

שלב 3: בדיקת התנאים 💭

תנאימשולש ABCמשולש DEFשווים?
צלע 1AB = 7DE = 7✓
צלע 2AC = 5DF = 5✓
זווית מול הגדולה∠C = 50° (מול 7)∠F = 50° (מול 7)✓

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט
"שתי צלעות + זווית מול הגדולה"

△ABC ≅ △DEF

תשובה: כן - הזווית מול הצלע הגדולה

שאלה 48
1.67 נק'

❓ זיהוי שגיאה:
במשולש ABC: AB=8, AC=5, ∠B=40°
במשולש DEF: DE=8, DF=5, ∠E=40°
האם יכול להוכיח חפיפה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 8 (גדולה)
🔹 AC = 5 (קטנה)
🔹 ∠B = 40°

משולש DEF:
🔹 DE = 8 (גדולה)
🔹 DF = 5 (קטנה)
🔹 ∠E = 40°

שלב 2: בדיקה - מול איזו צלע? 📐

✗ לא נכון! ✗ לא נכון! AB=8 AC=5 ∠B=40° מול AC (5) A B C DE=8 DF=5 ∠E=40° מול DF (5) D E F
❌ ∠B נמצאת מול AC (הקטנה=5)
❌ ∠E נמצאת מול DF (הקטנה=5)

הזווית מול הקטנה, לא הגדולה!

שלב 3: מה הבעיה? 💭

למשפט צריך:
🔹 שתי צלעות שוות ✓
🔹 הזווית מול הגדולה שווה ✗

אבל כאן:
🔹 הצלעות: 8 (גדולה), 5 (קטנה)
🔹 הזווית ∠B נמצאת מול 5 (הקטנה)
🔹 צריכים את הזווית מול 8 (הגדולה)!

הזווית במקום הלא נכון!

שלב 4: למה זה חשוב? 🤔

הזווית מול הקטנה לא קובעת!

יכולים להיות כמה משולשים
עם:
• אותן 2 צלעות (8, 5)
• אותה זווית מול הקטנה (40°)
אבל זווית שונה מול הגדולה!

לא מספיק לחפיפה!

שלב 5: מה היינו צריכים? ✍️

כדי להוכיח היינו צריכים:

AB=8, AC=5, ∠C=40°
(∠C מול AB הגדולה)

ולא:
AB=8, AC=5, ∠B=40°
(∠B מול AC הקטנה)

הזווית חייבת להיות מול הגדולה!

תשובה: לא - הזווית מול הקטנה

שאלה 49
1.67 נק'

🎯 מציאת זווית:
במשולש ABC: AB=9, AC=6, ∠C=x
במשולש DEF: DE=9, DF=6, ∠F=55°
אם המשולשים חופפים, מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הצלע הגדולה 🔍

משולש ABC:
🔹 AB = 9 (גדולה)
🔹 AC = 6 (קטנה)
🔹 ∠C = x (מול AB הגדולה)

משולש DEF:
🔹 DE = 9 (גדולה)
🔹 DF = 6 (קטנה)
🔹 ∠F = 55° (מול DE הגדולה)

שלב 2: תנאי לחפיפה 📐

כדי שהמשולשים יהיו חופפים:

✅ AB = DE (9 = 9) ✓
✅ AC = DF (6 = 6) ✓
❓ ∠C = ∠F (x = 55°) ?

הזוויות מול הצלעות הגדולות
חייבות להיות שוות!

שלב 3: פתרון 💭

אם המשולשים חופפים

אז:
∠C = ∠F

x = 55°

x = 55°

שלב 4: הבנה ויזואלית 📊

AB=9 AC=6 x=? A B C → x = 55° DE=9 DF=6 55° D E F
שתי הזוויות מול הצלעות הגדולות
חייבות להיות שוות!

תשובה: x = 55°

שאלה 50
1.67 נק'

🎯 בעיה מילולית:
שני משולשים נבנו עם שתי צלעות זהות: 8 ס"מ ו-5 ס"מ.
הזווית מול הצלע הארוכה יותר שווה בשניהם.
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"שתי צלעות זהות: 8, 5" =
🔹 משולש 1: צלעות 8, 5
🔹 משולש 2: צלעות 8, 5

"זווית מול הארוכה שווה" =
🔹 הזווית מול 8 (הגדולה) שווה

8 > 5 → 8 היא הגדולה

שלב 2: זיהוי התבנית 📐

תנאימשולש 1משולש 2שווים?
צלע גדולה88✓
צלע קטנה55✓
זווית מול הגדולהαα✓

שלב 3: הבנה פיזית 💭

דמיון:

יש לך שני מקלות: 8 ס"מ ו-5 ס"מ

אם קובעים את הזווית ביניהם
(הזווית מול ה-8)

יש רק דרך אחת לסגור את המשולש!

המשולש נקבע באופן יחיד

שלב 4: מסקנה ✍️

✅ המשולשים חופפים!
לפי משפט
"שתי צלעות + זווית מול הגדולה"

שתי צלעות (8, 5)
+ זווית מול הגדולה (8)
= חפיפה מלאה!

תשובה: כן - לפי המשפט

שאלה 51
1.67 נק'

🎯 יישום - משולש ישר זווית:
במשולש ישר זווית ABC (∠A=90°): AB=6, AC=8
במשולש ישר זווית DEF (∠D=90°): DE=6, DF=8
האם המשולשים חופפים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

משולש ABC (ישר זווית) משולש DEF (ישר זווית) 90° AC=8 AB=6 BC=? A B C 90° DF=8 DE=6 EF=? D E F
🔹 שני משולשים ישרי זווית
🔹 שני הניצבים שווים: AB=DE=6, AC=DF=8

שלב 2: איזו צלע הגדולה? 📐

הצלעות הנתונות:
🔹 ניצב 1 = 6
🔹 ניצב 2 = 8 (גדולה יותר)

הזווית הנתונה:
🔹 ∠A = ∠D = 90°
🔹 זו הזווית מול היתר
🔹 היתר הוא הצלע הגדולה ביותר!

שלב 3: זיהוי המשפט 💭

במשולש ישר זווית:

✅ שני ניצבים = שתי צלעות
✅ זווית ישרה = זווית מול היתר
✅ היתר = הצלע הגדולה

זה בדיוק המשפט שלנו!

שתי צלעות + זווית מול הגדולה

שלב 4: בדיקת התנאים ✍️

תנאימשולש ABCמשולש DEFשווים?
ניצב 1AB = 6DE = 6✓
ניצב 2AC = 8DF = 8✓
זווית מול היתר∠A = 90°∠D = 90°✓

שלב 5: מסקנה 💡

✅ המשולשים חופפים!
במשולשים ישרי זווית:
שני ניצבים שווים → חפיפה!

זה מקרה מיוחד של המשפט
(גם מכנים: ניצב-ניצב)

תשובה: כן - שני ניצבים שווים

שאלה 52
1.67 נק'

❓ שאלת הבנה:
למה דווקא הזווית מול הצלע הגדולה?
מה לא בסדר עם הזווית מול הקטנה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבעיה 🔍

למה לא הקטנה? 🤔
אם נותנים:
• שתי צלעות (למשל 8, 5)
• זווית מול הקטנה

יכולים להיות כמה משולשים
שונים!

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📐

⚠️ בעיה: זווית מול הקטנה נתון: צלעות 8 ו-5, זווית 30° מול ה-5 (הקטנה) אפשרות 1 5 8 30° A B C BC = ?₁ אפשרות 2 5 8 30° A B C BC = ?₂ ≠ שני משולשים שונים!
שני משולשים שונים!
אותן צלעות (8, 5), אותה זווית מול הקטנה (30°)
אבל צלע שלישית שונה!

שלב 3: למה זה קורה? 💭

הסיבה המתמטית:

🔹 כשהזווית מול הצלע הקטנה
🔹 הצלע הגדולה יכולה "להתנדנד"
🔹 יש שתי אפשרויות לסגור את המשולש
🔹 אחת עם צלע שלישית קצרה
🔹 ואחת עם צלע שלישית ארוכה

זה נקרא "המקרה המעורפל" (SSA)

שלב 4: מול הגדולה - חד-משמעי! ✍️

אבל מול הגדולה:

🔹 הצלע הקטנה לא יכולה "להתנדנד"
🔹 יש רק דרך אחת לסגור את המשולש
🔹 המשולש ייחודי!

לכן: רק מול הגדולה עובד!

שלב 5: דוגמה משווה 📊

זווית מולמשולשים אפשרייםקובע?
הקטנה2 או יותר✗
הגדולה1 בלבד✓

תשובה: הזווית מול הקטנה לא קובעת משולש ייחודי

שאלה 53
1.67 נק'

❓ כמה נתונים:
כמה נתונים צריך למשפט
"שתי צלעות + זווית מול הגדולה"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק המשפט 🔍

המשפט
דורש 3 נתונים:

1️⃣ צלע אחת
2️⃣ צלע שנייה
3️⃣ זווית מול הגדולה

שלב 2: דוגמה 📐

3 נתונים:
🔹 נתון 1: צלע = 8
🔹 נתון 2: צלע = 5
🔹 נתון 3: זווית מול ה-8 = 50°

→ יש רק משולש אחד עם נתונים אלה
→ לכן החפיפה מוכחת!

שלב 3: השוואה למשפטים אחרים 💭

משפטנתונים
צ.ז.צ.3
ז.צ.ז.3
צ.צ.צ.3
2 צלעות + ז מול גדולה3

כל משפטי החפיפה: 3 נתונים!

תשובה: 3 נתונים

שאלה 54
1.67 נק'

⚠️ טעות נפוצה:
תלמיד טען: "אם יש שתי צלעות שוות
וזווית כלשהי שווה, המשולשים חופפים."
האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטענה 🔍

הטענה:

"שתי צלעות + זווית כלשהי
מספיקות לחפיפה"

האם זה נכון?

שלב 2: הבעיה 📐

לא כל זווית עובדת!

יש שני מקרים שעובדים:

✅ צ.ז.צ.: הזווית כלואה בין הצלעות
✅ 2 צלעות + ז מול גדולה: הזווית מול הצלע הגדולה

❌ זווית אקראית: לא עובד!

שלב 3: דוגמה נגדית 💭

דוגמה:
צלעות: AB=8, AC=5
זווית: ∠B=30° (מול AC הקטנה)

זה לא צ.ז.צ. (∠B לא כלואה)
זה לא "מול גדולה" (∠B מול הקטנה)

יכולים להיות כמה משולשים!
לא מספיק לחפיפה!

שלב 4: המשפטים הנכונים ✍️

מקרהתנאיעובד?
צ.ז.צ.זווית כלואה בין הצלעות✓
2 צלעות + זזווית מול הצלע הגדולה✓
אקראיזווית במקום אקראי✗

שלב 5: סיכום 💡

המיקום של הזווית קריטי!

לא מספיק סתם "שתי צלעות וזווית"

צריך:
🔹 זווית כלואה (צ.ז.צ.)
או
🔹 זווית מול הגדולה

תשובה: לא - הזווית חייבת להיות במקום מסוים

שאלה 55
1.67 נק'

📚 סיכום:
איזה מהמשפטים הבאים
לא מוכיח חפיפה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סקירת כל המשפטים 🔍

משפטנתוניםמוכיח?
צ.ז.צ.2 צלעות + זווית כלואה✓
ז.צ.ז.2 זוויות + צלע כלואה✓
צ.צ.צ.3 צלעות✓
2 צלעות + ז מול גדולה2 צלעות + זווית מול הגדולה✓
2 צלעות + ז מול קטנה2 צלעות + זווית מול הקטנה✗

שלב 2: למה "מול הקטנה" לא עובד? 📐

המקרה המעורפל (SSA)

כשהזווית מול הצלע הקטנה:
🔹 יכולים להיות שני משולשים שונים
🔹 עם אותן 2 צלעות
🔹 ואותה זווית מול הקטנה

לא מוכיח חפיפה!

שלב 3: כל השאר עובדים! ✍️

המשפטים שעובדים:

✅ צ.ז.צ.: הזווית כלואה - קובע ייחודי
✅ ז.צ.ז.: הצלע כלואה - קובע ייחודי
✅ צ.צ.צ.: כל 3 הצלעות - הכי חזק
✅ מול גדולה: הגדולה קובעת - ייחודי

רק מול קטנה לא עובד!

תשובה: שתי צלעות + זווית מול הקטנה

שאלה 56
1.67 נק'

🎯 השוואה:
איזה משפט הכי קל לזהות ולהשתמש בו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת המשפטים 🔍

משפטמה צריך לבדוקקושי
צ.צ.צ.פשוט: 3 צלעות שוות⭐ קל
צ.ז.צ.הזווית כלואה בין הצלעות?⭐⭐ בינוני
ז.צ.ז.הצלע כלואה בין הזוויות?⭐⭐ בינוני
2 צלעות + זהזווית מול הגדולה?⭐⭐⭐ מורכב

שלב 2: למה צ.צ.צ. הכי קל? 📐

יתרונות צ.צ.צ.:

✅ לא צריך לבדוק "כלואה"
✅ לא צריך לזהות "גדולה/קטנה"
✅ הסדר לא משנה
✅ פשוט: 3 אורכים שווים = חפיפה

זה כמו לבנות משולש ממקלות -
אינטואיטיבי וברור!

שלב 3: המשפטים האחרים 💭

צ.ז.צ. / ז.צ.ז.:
🔹 צריך לוודא שהזווית/צלע כלואה
🔹 אם טועים במיקום - המשפט לא עובד
🔹 קצת יותר מסובך

2 צלעות + זווית מול גדולה:
🔹 צריך לזהות מי הצלע הגדולה
🔹 צריך לוודא שהזווית מולה
🔹 הכי מסובך!

שלב 4: סיכום 💡

צ.צ.צ. = הפשוט ביותר ✨
אם אפשר להשתמש בו -
זו הבחירה הטובה ביותר!

פשוט, ברור, ללא סיבוכים

תשובה: צ.צ.צ. - לא צריך לדאוג לסדר

שאלה 57
1.67 נק'

🎯 יישום מעשי:
אתה צריך להוכיח שמשולשים חופפים.
יש לך סרגל אבל לא מד זוויות.
איזה משפט תשתמש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המצב 🔍

כלים זמינים:
✅ סרגל (למדידת אורכים)
❌ מד זוויות (אין!)

מטרה:
להוכיח חפיפה

שלב 2: סקירת אפשרויות 📐

משפטצריך מדידת זוויות?אפשרי?
צ.צ.צ.לא - רק צלעות✓
צ.ז.צ.כן - צריך זווית✗
ז.צ.ז.כן - צריך זוויות✗
2 צלעות + זכן - צריך זווית✗

שלב 3: הפתרון 💭

צ.צ.צ. = הפתרון! ✨
מדידה:
1️⃣ מדוד את 3 הצלעות של משולש 1
2️⃣ מדוד את 3 הצלעות של משולש 2
3️⃣ אם כולן שוות → חפיפה!

לא צריך מד זוויות!

שלב 4: למה זה מעשי? ✍️

יתרונות מעשיים:

🔹 פשוט למדוד: אורכים קלים יותר מזוויות
🔹 מדויק: פחות טעויות מדידה
🔹 מהיר: 3 מדידות בלבד
🔹 אמין: אין צורך בכלים מיוחדים

זו הסיבה שבנאים משתמשים במשולשים
למבנים - רק צריך למדוד אורכים!

שלב 5: דוגמה מעשית 💡

בחיים האמיתיים:

🏗️ בנייה: למדוד קורות ופרופילים
📐 נגרות: לוודא שחלקים זהים
🎨 אומנות: ליצור צורות זהות
🔧 הנדסה: לבדוק דיוק ייצור

כולם משתמשים ב-צ.צ.צ.!

תשובה: צ.צ.צ. - אפשר למדוד רק צלעות

שאלה 58
1.67 נק'

🏆 אתגר - כל המשפטים:
במשולשים ABC ו-DEF נתון:
AB=DE=7, AC=DF=5, ∠A=∠D=60°
כמה משפטי חפיפה מתקיימים כאן?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

נתון:
🔹 AB = DE = 7
🔹 AC = DF = 5
🔹 ∠A = ∠D = 60°

אילו משפטים מתאימים?

שלב 2: בדיקת צ.ז.צ. 📐

משפט 1: צ.ז.צ. ✓

🔹 צלע: AB = DE = 7
🔹 זווית כלואה: ∠A = ∠D = 60°
🔹 צלע: AC = DF = 5

∠A נמצאת בין AB ו-AC
צ.ז.צ. מתקיים!

שלב 3: בדיקת "2 צלעות + זווית מול גדולה" 💭

משפט 2: זווית מול גדולה ✓

🔹 צלעות: AB=7 (גדולה), AC=5 (קטנה)
🔹 זווית: ∠A = 60°

∠A איננה מול AB או AC...
רגע! בואו נבדוק:

במשולש, הזווית ב-A נמצאת מול BC
לא מול AB או AC!

אנחנו לא יודעים את BC...
לכן לא יכולים להשתמש במשפט הזה ישירות

שלב 4: רגע, נחשוב שוב! 🤔

תיקון:

במשפט "2 צלעות + זווית מול גדולה":

🔹 יש לנו AB=7, AC=5
🔹 AB > AC (7 > 5)
🔹 ∠C היא הזווית מול AB (הגדולה)

אבל אין לנו את ∠C!
יש לנו רק ∠A!

אז בעצם רק צ.ז.צ. עובד במקרה הזה

שלב 5: סיכום נכון ✍️

תשובה מתוקנת:
1 משפט בלבד: צ.ז.צ.

∠A היא זווית כלואה בין AB ו-AC

לא יכולים להשתמש במשפט
"זווית מול גדולה"
כי ∠A לא מול אף אחת מהצלעות הנתונות

תשובה: 1 משפט (רק צ.ז.צ.)

שאלה 59
1.67 נק'

📚 סיכום כללי:
מה המשותף לכל ארבעת משפטי החפיפה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סקירת כל המשפטים 🔍

משפטנתוניםמספר
צ.ז.צ.צלע + זווית + צלע3
ז.צ.ז.זווית + צלע + זווית3
צ.צ.צ.צלע + צלע + צלע3
2 צלעות + ז מול גדולהצלע + צלע + זווית3

כולם: 3 נתונים!

שלב 2: למה דווקא 3? 📐

למשולש יש 6 "פרטים":

3 צלעות + 3 זוויות = 6

אבל הם תלויים זה בזה!

אם יודעים 3 נכונים,
אפשר לחשב את כל השאר

3 = המספר המגי!

שלב 3: למה לא פחות? 💭

עם פחות מ-3:

❌ 1 נתון: אינסוף משולשים אפשריים
❌ 2 נתונים: עדיין יותר מדי אפשרויות
✅ 3 נתונים (הנכונים): משולש ייחודי!

3 הוא המינימום לקביעה ייחודית

שלב 4: המשותף הנוסף 💡

כל המשפטים:

✅ דורשים 3 נתונים
✅ הנתונים חייבים להיות במקומות נכונים
✅ קובעים משולש ייחודי
✅ מוכיחים חפיפה מלאה

זו האלגנטיות של גיאומטריה!

תשובה: כולם דורשים 3 נתונים

שאלה 60
1.67 נק'

🎉 שאלת סיום - סיכום המסע:
סיימת ללמוד את כל משפטי החפיפה!
איזה משפט הכי אהבת?

הסבר:

💡 סיכום המסע שלך! 🎊

שלב 1: מה למדת? 🔍

🎓 סיכום המסע 🎓
עברת 60 שאלות מקיפות!

✨ 4 משפטי חפיפה
✨ עשרות דוגמאות
✨ הבנה עמוקה

שלב 2: המשפטים שלמדת 📐

משפטמתי להשתמש
צ.ז.צ.כשיש זווית בין שתי צלעות
ז.צ.ז.כשיש צלע בין שתי זוויות
צ.צ.צ.כשיודעים את כל הצלעות
2 צלעות + ז מול גדולהכשהזווית מול הצלע הגדולה

שלב 3: מה הכי חשוב לזכור? 💭

עקרונות זהב:

🌟 כל המשפטים דורשים 3 נתונים
🌟 המיקום של הנתונים קריטי
🌟 צ.צ.צ. הכי פשוט להשתמש
🌟 צ.ז.צ. / ז.צ.ז. צריכים "כלואה"
🌟 זווית מול הקטנה לא עובדת!

זכור את אלה ותצליח!

שלב 4: הערכה 🎊

🎉 כל הכבוד! 🎉
עברת מסע מקיף
של 60 שאלות!

עכשיו אתה מומחה
בכל משפטי החפיפה!

✅ צ.ז.צ. - 15 שאלות
✅ ז.צ.ז. - 15 שאלות
✅ צ.צ.צ. - 15 שאלות
✅ 2 צלעות + ז - 15 שאלות

מזל טוב! 🌟

שלב 5: המשך ההצלחה! 💡

עכשיו שאתה מומחה:

📚 תרגל הרבה
🎯 זהה משפטים במצבים שונים
💪 השתמש בידע בבעיות
🌟 המשך ללמוד!

ההצלחה בידיים שלך!

תשובה: כולם חשובים ושימושיים! 🎊

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 60 הושלמו