אורח מצב צפייה מבחן: משפטי קטע אמצעים במשולש - מדריך מקיף
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 400.00 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 משפט קטע אמצעים - זיהוי:
קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש
_____ לצלע השלישית.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט קטע אמצעים ✨
קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות
במשולש:

1️⃣ מקביל לצלע השלישית
2️⃣ שווה למחציתה

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

A B C M N
🔹 M אמצע AB
🔹 N אמצע AC
🔹 MN = קטע האמצעים
🔹 MN ∥ BC (מקביל!)
🔹 MN = ½BC (חצי!)

שלב 3: למה מקביל? 🤔

קטע האמצעים:

✅ תמיד מקביל לצלע השלישית
✅ לעולם לא חותך אותה
✅ לעולם לא מאונך אליה
✅ זו תכונה יסודית!

בכל משולש, בכל מצב!

שלב 4: זיכרון 💡

כלל זיכרון:

"אמצע-אמצע → מקביל-חצי"

מחבר שני אמצעים
→ מקביל ושווה לחצי

תשובה: מקביל

שאלה 2
10.00 נק'

📐 משפט קטע אמצעים - אורך:
קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש
שווה ל_____ הצלע השלישית.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט המלא 🔍

2 תכונות יחד! ✨
קטע אמצעים:

1️⃣ מקביל לצלע השלישית
2️⃣ שווה למחציתה

MN = ½BC

שלב 2: דוגמה מספרית 📐

4 8 A B C M N
אם BC = 8
אז MN = ½ × 8
MN = 4

בדיוק חצי!

שלב 3: דוגמאות נוספות ✍️

BC (בסיס) MN (קטע אמצעים)
105
147
2010
xx/2

שלב 4: נוסחה 💡

הנוסחה:

קטע אמצעים = ½ × בסיס

או:
MN = ½ × BC

תשובה: מחצית

שאלה 3
10.00 נק'

🎯 יישום - חישוב:
במשולש ABC, M אמצע AB ו-N אמצע AC.
אם BC = 18, מה אורך MN?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

נתון:
🔹 M אמצע AB
🔹 N אמצע AC
🔹 BC = 18

מבקשים: אורך MN

שלב 2: זיהוי קטע אמצעים 📐

18 ? A B C M N
MN מחבר שני אמצעים
→ זה קטע אמצעים!

לכן: MN = ½BC

שלב 3: חישוב ✍️

MN = ½ × BC

MN = ½ × 18

MN = 9

שלב 4: בדיקה 💭

✓ MN = 9
✓ BC = 18
✓ 9 = ½ × 18 ✓

קטע האמצעים אכן חצי מהבסיס!

תשובה: 9

שאלה 4
10.00 נק'

🎯 יישום - מציאת בסיס:
במשולש ABC, קטע האמצעים MN = 7.
מה אורך BC?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

נתון:
🔹 MN קטע אמצעים
🔹 MN = 7

מבקשים: אורך BC

שלב 2: הנוסחה 📐

הנוסחה:
MN = ½ × BC

צריך למצוא BC:
BC = 2 × MN

שלב 3: חישוב ✍️

7 14 ×2 A B C M N
BC = 2 × MN
BC = 2 × 7
BC = 14

שלב 4: כלל 💡

זכור:

קטע אמצעים → בסיס: ×2
בסיס → קטע אמצעים: ÷2

תשובה: 14

שאלה 5
10.00 נק'

🎯 בעיה מילולית:
גן משולש בעל בסיס באורך 24 מטר.
רוצים לשים גדר המחברת את אמצעי הצלעות הצדדיות.
כמה מטרים גדר נצטרך?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"גן משולש" = משולש ABC
"בסיס באורך 24" = BC = 24
"גדר המחברת אמצעי הצלעות הצדדיות" = קטע אמצעים MN

מבקשים: אורך הגדר = MN

שלב 2: שרטוט המצב 📐

24 מטר גדר = ? A B C M N
🔹 M אמצע הצד השמאלי
🔹 N אמצע הצד הימני
🔹 MN = הגדר המחברת

שלב 3: שימוש במשפט 📊

משפט קטע אמצעים:

MN = ½ × BC

MN = ½ × 24

MN = 12 מטר

שלב 4: תשובה במילים 💭

נצטרך 12 מטר גדר

קטע האמצעים הוא בדיוק
חצי מאורך הבסיס!

תשובה: 12 מטר

שאלה 6
10.00 נק'

❓ זיהוי:
במשולש ABC, D על AB ו-E על AC.
מתי DE הוא קטע אמצעים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת קטע אמצעים 🔍

הגדרה מדויקת
קטע אמצעים =
קטע המחבר את אמצעי
שתי צלעות במשולש

שני התנאים חייבים!

שלב 2: דוגמאות 📐

✓ קטע אמצעים D=אמצע E=אמצע ✗ לא קטע אמצעים D≠אמצע E≠אמצע

שלב 3: בדיקת התשובות 💭

תנאי מספיק? סיבה
D ו-E אמצעים ✓ זו ההגדרה!
DE ∥ BC ✗ תוצאה, לא תנאי
DE = ½BC ✗ תוצאה, לא תנאי

שלב 4: הבנת ההבדל ✍️

שימו לב:

🔹 הגדרה: D ו-E אמצעים
🔹 תוצאה: DE ∥ BC ו-DE = ½BC

קודם בודקים שזה קטע אמצעים,
ואז יודעים שהוא מקביל ושווה לחצי!

תשובה: כאשר D אמצע AB ו-E אמצע AC

שאלה 7
10.00 נק'

🎯 מציאת משתנה:
במשולש, קטע אמצעים באורך 2x
מקביל לצלע באורך 16.
מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

קטע אמצעים = ½ × צלע מקבילה

2x = ½ × 16

שלב 2: פתרון המשוואה ✍️

2x = ½ × 16

2x = 8

x = 8 ÷ 2

x = 4

שלב 3: בדיקה 💭

2x = 8 16
x = 4:

קטע אמצעים = 2×4 = 8
צלע = 16

8 = ½×16 ✓

עובד!

תשובה: x = 4

שאלה 8
10.00 נק'

🎯 יישום מתקדם:
במשולש ABC עם צלעות 10, 12, 14.
מהו סכום שלושת קטעי האמצעים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהם שלושת קטעי האמצעים? 🔍

A B C M N P
🔹 MN מקביל ל-BC
🔹 NP מקביל ל-AB
🔹 MP מקביל ל-AC

שלב 2: חישוב כל קטע 📐

צלע מקורית קטע אמצעים חישוב
AB = 10 NP = ½×10 5
BC = 12 MN = ½×12 6
AC = 14 MP = ½×14 7

שלב 3: סכום ✍️

סכום = 5 + 6 + 7

= 18

שלב 4: כלל כללי 💡

כלל:

סכום קטעי האמצעים
=
½ × (סכום הצלעות)

= ½ × (10+12+14)
= ½ × 36
= 18

תשובה: 18

שאלה 9
10.00 נק'

🎯 משולש שווה שוקיים:
במשולש שווה שוקיים, השוקיים באורך 10 והבסיס 12.
קטע האמצעים המקביל לבסיס שווה ל-?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המשולש 🔍

10 10 12 ? A B C M N
🔹 AB = AC = 10 (שוקיים)
🔹 BC = 12 (בסיס)
🔹 M אמצע AB, N אמצע AC

שלב 2: זיהוי קטע האמצעים 📐

קטע האמצעים MN:

✅ מחבר אמצעי השוקיים
✅ מקביל לבסיס BC
✅ שווה ל-½BC

לא משנה שהמשולש שווה שוקיים!
המשפט עובד בכל משולש

שלב 3: חישוב ✍️

MN = ½ × BC

MN = ½ × 12

MN = 6

שלב 4: הערה חשובה 💭

שימו לב:

אורך השוקיים (10) לא משפיע
על אורך קטע האמצעים!

קטע האמצעים תמיד חצי מהצלע המקבילה,
בכל סוג משולש!

תשובה: 6

שאלה 10
10.00 נק'

🎯 משולש ישר זווית:
במשולש ישר זווית עם ניצבים 6 ו-8,
קטע האמצעים המקביל להיתר שווה ל-?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת ההיתר 🔍

משפט פיתגורס:

היתר² = 6² + 8²
היתר² = 36 + 64
היתר² = 100

היתר = 10

שלב 2: שרטוט 📐

6 8 10 ? A B C M N
🔹 M אמצע AB (ניצב)
🔹 N אמצע AC (ניצב)
🔹 MN מקביל ל-BC (היתר)

שלב 3: חישוב קטע האמצעים ✍️

MN = ½ × BC

MN = ½ × 10

MN = 5

שלב 4: הבנה 💭

תהליך:

1️⃣ מצא את ההיתר (פיתגורס) → 10
2️⃣ חצי מההיתר → 5

זה משולש 6-8-10 מפורסם!

תשובה: 5

שאלה 11
10.00 נק'

❓ שאלת הבנה:
למה קטע אמצעים שווה דווקא למחצית
הצלע המקבילה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המבנה 🔍

1 2 A B C M N
קטע האמצעים MN
מחלק את המשולש
לשני חלקים

שלב 2: דמיון משולשים 📐

המשולשים AMN ו-ABC:

🔹 משותפת זווית A
🔹 MN ∥ BC → זוויות מתאימות שוות
🔹 לכן המשולשים דומים!

יחס הדמיון:
AM/AB = 1/2 (כי M אמצע)
AN/AC = 1/2 (כי N אמצע)

לכן: MN/BC = 1/2

שלב 3: הסבר אינטואיטיבי 💭

חשיבה:

אם M ו-N אמצעים,
המשולש העליון (AMN)
דומה למשולש הגדול
ביחס 1:2

והצלע שלו (MN) היא
חצי מהצלע המקבילה (BC)

שלב 4: נוסחה מדויקת ✍️

מדמיון משולשים:

△AMN ~ △ABC
יחס דמיון = 1:2

לכן:
MN = ½BC

תשובה: מתוך דמיון משולשים ביחס 1:2

שאלה 12
10.00 נק'

🎯 תרגיל הפוך:
במשולש, צלע אחת באורך x.
קטע האמצעים המקביל לה באורך 5.
מהו x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

נוסחה רגילה:
קטע אמצעים = ½ × צלע

נוסחה הפוכה:
צלע = 2 × קטע אמצעים

שלב 2: חישוב ✍️

5 x = ? ×2
קטע אמצעים = 5

x = 2 × 5

x = 10

שלב 3: בדיקה 💭

אם x = 10:

קטע אמצעים = ½×10 = 5 ✓

עובד!

תשובה: 10

שאלה 13
10.00 נק'

🎯 משולש שווה צלעות:
במשולש שווה צלעות עם צלע 12,
מה אורך קטע האמצעים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משולש שווה צלעות 🔍

12 12 12 ? A B C M N
כל הצלעות = 12
(משולש שווה צלעות)

שלב 2: המשפט חל על כל משולש 📐

חשוב להבין:

משפט קטע אמצעים עובד
בכל משולש:

✅ משולש חד זווית
✅ משולש ישר זווית
✅ משולש שווה שוקיים
✅ משולש שווה צלעות

לא משנה סוג המשולש!

שלב 3: חישוב ✍️

MN = ½ × BC

MN = ½ × 12

MN = 6

שלב 4: הערה 💭

במשולש שווה צלעות,
כל קטע אמצעים יהיה באורך 6
(כי כל הצלעות שוות ל-12)

תשובה: 6

שאלה 14
10.00 נק'

📚 סיכום משפט 1:
מה הכי חשוב לזכור על קטע אמצעים?

הסבר:

💡 סיכום משפט קטע אמצעים! 🎊

שלב 1: ההגדרה 🔍

קטע אמצעים
קטע המחבר את אמצעי
שתי צלעות במשולש

שלב 2: שתי התכונות 📐

½BC BC M N
1️⃣ מקביל
לצלע השלישית
2️⃣ שווה למחציתה
של הצלע השלישית

שלב 3: נוסחאות מרכזיות ✍️

✅ קטע אמצעים = ½ × צלע
✅ צלע = 2 × קטע אמצעים
✅ MN ∥ BC
✅ MN = ½BC

תשובה: מחבר אמצעים → מקביל ושווה לחצי

שאלה 15
10.00 נק'

📐 משפט 2 - זיהוי:
ישר החוצה צלע אחת במשולש
ומקביל לצלע שניה,
_____ את הצלע השלישית.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

משפט החוצה והמקביל ✨
אם ישר:
1️⃣ חוצה צלע אחת
2️⃣ מקביל לצלע שניה

אז הוא:
3️⃣ חוצה את הצלע השלישית!

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

A B C M N הישר חוצה AB ב-M
🔹 הישר עובר דרך M (אמצע AB)
🔹 הישר ∥ BC
🔹 לכן: הישר עובר דרך N (אמצע AC)!

שלב 3: ההגיון 💭

למה זה עובד?

אם ישר חוצה צלע אחת (M אמצע AB)
ומקביל לצלע שניה (MN ∥ BC),

אז לפי משפט קטע אמצעים,
הוא חייב לחצות גם את הצלע השלישית!

זה קשר ישיר למשפט הראשון

תשובה: חוצה

שאלה 16
10.00 נק'

🎯 יישום:
במשולש ABC, D אמצע AB.
ישר דרך D מקביל ל-BC חותך את AC ב-E.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח המצב 🔍

נתון:
🔹 D אמצע AB
🔹 ישר דרך D
🔹 הישר ∥ BC
🔹 הישר חותך AC ב-E

שאלה: מה מיוחד ב-E?

שלב 2: שימוש במשפט 📐

D=אמצע E=אמצע A B C D E
המשפט אומר:
ישר שחוצה AB (D אמצע)
ומקביל ל-BC
→ חוצה גם את AC!

E אמצע AC!

שלב 3: הוכחה 💭

נימוק:

1️⃣ D אמצע AB (נתון)
2️⃣ DE ∥ BC (נתון)
3️⃣ לפי משפט 2: DE חוצה AC
4️⃣ לכן: E אמצע AC

זה יישום ישיר של המשפט!

תשובה: E אמצע AC

שאלה 17
10.00 נק'

🎯 מציאת אורך:
במשולש ABC, AC = 20.
ישר דרך אמצע AB מקביל ל-BC חותך AC ב-E.
מה אורך AE?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המצב 🔍

נתון:
🔹 AC = 20
🔹 הישר עובר דרך אמצע AB
🔹 הישר ∥ BC
🔹 הישר חותך AC ב-E

מבקשים: AE = ?

שלב 2: שימוש במשפט 2 📐

AC=20 AE=10 EC=10 A B C D E
המשפט אומר:

ישר שחוצה צלע אחת
ומקביל לצלע שניה
→ חוצה את הצלע השלישית

E אמצע AC!

שלב 3: חישוב ✍️

אם E אמצע AC:
AE = EC = ½AC

AE = ½ × 20

AE = 10

שלב 4: בדיקה 💭

✓ AC = 20
✓ AE = 10
✓ EC = 10
✓ AE + EC = 20 ✓

תשובה: 10

שאלה 18
10.00 נק'

🎯 מציאת אורך כולל:
במשולש ABC, ישר דרך אמצע AB מקביל ל-BC
חותך AC באמצעו בנקודה E.
אם AE = 7, מה אורך AC?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

נתון:
🔹 E אמצע AC (מהמשפט)
🔹 AE = 7

מבקשים: AC = ?

שלב 2: חישוב ✍️

AE = 7 EC = 7 AC = 14 A C E

שלב 3: נוסחה כללית 📐

אם E אמצע AC:

AE = EC = 7

AC = AE + EC
AC = 7 + 7

AC = 14

או בנוסחה:
AC = 2 × AE
AC = 2 × 7 = 14

תשובה: 14

שאלה 19
10.00 נק'

🎯 יישום הפוך:
במשולש ABC, E אמצע AC.
ישר דרך E מקביל ל-BC חותך AB ב-D.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת השאלה 🔍

נתון:
🔹 E אמצע AC (כעת זה הנתון!)
🔹 ישר דרך E
🔹 הישר ∥ BC
🔹 הישר חותך AB ב-D

שאלה: מה מיוחד ב-D?

שלב 2: המשפט עובד לשני הכיוונים! 📐

גם D אמצע! E=אמצע (נתון) D=אמצע (מסקנה) A B C D E
המשפט:

ישר שחוצה צלע אחת (AC)
ומקביל לצלע שניה (BC)
→ חוצה את הצלע השלישית (AB)

D אמצע AB!

שלב 3: סימטריה 💭

המשפט סימטרי:

לא משנה איזו צלע חצויה תחילה,
אם הישר מקביל לצלע שניה,
הוא חוצה את השלישית!

AB ↔ AC (ניתן להחליף)

תשובה: D אמצע AB

שאלה 20
10.00 נק'

🎯 בעיה מילולית:
במגרש משולש, דרך עוברת דרך אמצע צלע אחת
במקביל לצלע שניה.
מה קורה לצלע השלישית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"מגרש משולש" = משולש ABC
"דרך עוברת דרך אמצע צלע" = הדרך עוברת דרך M (אמצע AB)
"במקביל לצלע שניה" = הדרך ∥ BC

שאלה: מה קורה ל-AC?

שלב 2: שרטוט המצב 📐

אמצע אמצע A B C M N הדרך חוצה את AC ב-N!
הדרך עוברת דרך M (אמצע AB)
ומקבילה ל-BC
→ חוצה את AC ב-N!

שלב 3: המסקנה 💭

התשובה:

הדרך חוצה את הצלע השלישית
באמצעה!

AN = NC

תשובה: הדרך חוצה אותה באמצע

שאלה 21
10.00 נק'

❓ קשר בין המשפטים:
מה הקשר בין משפט 1 (קטע אמצעים)
לבין משפט 2 (ישר חוצה ומקביל)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט 1 - קטע אמצעים 🔍

משפט 1:

אם D אמצע AB ו-E אמצע AC
אז:
✅ DE ∥ BC
✅ DE = ½BC

שלב 2: משפט 2 - ישר חוצה ומקביל 📐

משפט 2:

אם D אמצע AB
והישר דרך D מקביל ל-BC
אז:
✅ הישר חוצה את AC

שלב 3: הקשר ביניהם 💭

משפט 1 2 אמצעים → מקביל משפט 2 1 אמצע + מקביל → אמצע 2 משלימים זה את זה! משפט 1: 2 אמצעים → מקביל משפט 2: 1 אמצע + מקביל → אמצע שני

שלב 4: הבנה עמוקה ✍️

מעגל שלם:

משפט 1: 2 אמצעים → מקביל
משפט 2: 1 אמצע + מקביל → אמצע שני

הם משלימים זה את זה!

תשובה: משפט 2 הוא הרחבה של משפט 1

שאלה 22
10.00 נק'

🎯 יישום במקבילית:
במקבילית ABCD, ישר דרך אמצע AB
מקביל ל-AD חותך את BC ב-E.
מה ניתן לומר על E?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המבנה 🔍

M=אמצע E=אמצע A B C D M E
🔹 M אמצע AB
🔹 הישר דרך M מקביל ל-AD
🔹 הישר חותך BC ב-E

שלב 2: התמקדות במשולש 📐

במקבילית:
AB ∥ DC
AD ∥ BC

אם הישר מקביל ל-AD,
והישר חוצה AB,
אז במקבילית הוא גם חוצה את הצלע המקבילה!

E אמצע BC

שלב 3: הסבר 💭

המקבילית מורכבת משני משולשים:

במשולש ABC:
- M אמצע AB
- הישר ∥ AD (ולכן ∥ BC במקבילית)
- לפי משפט 2: חוצה את BC

E אמצע BC!

תשובה: E אמצע BC

שאלה 23
10.00 נק'

❓ שאלת הבנה:
האם משפט 2 עובד רק עם ישרים,
או גם עם קטעים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ישר vs קטע 🔍

ישר:
ממשיך לאינסוף לשני הכיוונים

קטע:
מוגבל בין שתי נקודות

שלב 2: המשפט 📐

המשפט מדבר על:

"ישר החוצה צלע ומקביל..."

אבל האם זה חייב להיות ישר מלא?

שלב 3: התשובה 💭

M=אמצע N=אמצע A B C קטע MN (לא ישר שלם) עובד! M אמצע, N אמצע

שלב 4: המסקנה ✍️

למעשה:

מספיק קטע שמחבר נקודה על צלע אחת
לנקודה על צלע אחרת,
כל עוד הקטע:
1️⃣ עובר דרך אמצע צלע אחת
2️⃣ מקביל לצלע שניה

המשפט עובד גם עם קטעים!

תשובה: עובד גם עם קטעים

שאלה 24
10.00 נק'

🎯 יישום משולב:
במשולש ABC, M אמצע AB, N אמצע AC.
ישר דרך M מקביל ל-BC חותך AC ב-P.
מה הקשר בין N ל-P?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח הנתונים 🔍

נתון:
🔹 M אמצע AB
🔹 N אמצע AC
🔹 ישר דרך M מקביל ל-BC
🔹 הישר חותך AC ב-P

שאלה: מה הקשר בין N ל-P?

שלב 2: משפט 1 - קטע אמצעים 📐

לפי משפט קטע אמצעים:

M אמצע AB ו-N אמצע AC
→ MN ∥ BC

שלב 3: משפט 2 - ישר חוצה 💭

לפי משפט החוצה והמקביל:

M אמצע AB
והישר דרך M מקביל ל-BC
→ הישר חוצה AC

כלומר: P אמצע AC

שלב 4: המסקנה ✍️

N=P (נקודה אחת!) A B C M
N = P!
N אמצע AC (נתון)
P אמצע AC (מהמשפט)

יש רק אמצע אחד לקטע!

N ו-P אותה נקודה!

תשובה: N = P (אותה נקודה)

שאלה 25
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:
תלמיד אמר: "אם ישר מקביל לצלע במשולש,
הוא בהכרח חוצה את שתי הצלעות האחרות."
האם הוא צודק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטענה 🔍

הטענה:

"ישר ∥ צלע
→ חוצה את 2 הצלעות האחרות"

האם זה נכון?

שלב 2: דוגמה נגדית 📐

ישר מקביל רק זה חוצה! ישר מקביל A B C
יש הרבה ישרים מקבילים ל-BC!

רק אחד מהם עובר דרך שני האמצעים

שלב 3: התנאי החסר 💭

כדי שהמשפט יעבוד:

❌ לא מספיק: ישר ∥ BC
✅ צריך: ישר חוצה אחת + ∥ BC

המשפט דורש שני תנאים:
1️⃣ חוצה צלע אחת
2️⃣ מקביל לצלע שניה

רק אז: חוצה את השלישית!

שלב 4: התיקון הנכון ✍️

הנכון:

אם ישר מקביל לצלע
וחוצה צלע אחת,
אז הוא חוצה גם את השניה!

לא אוטומטי, צריך תנאי!

תשובה: לא - הוא חייב לחצות אחת תחילה

שאלה 26
10.00 נק'

🎯 יישום משולב:
במשולש ABC, D על AB כך ש-AD = ⅓AB.
ישר דרך D מקביל ל-BC חותך AC ב-E.
מה היחס AE:EC?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת היחסים 🔍

נתון:
🔹 AD = ⅓AB
🔹 לכן: DB = ⅔AB
🔹 יחס: AD:DB = 1:2

🔹 ישר דרך D מקביל ל-BC

שלב 2: עקרון דמיון 📐

1 2 1 2 A B C D E
כיוון ש-DE ∥ BC
המשולש ADE דומה למשולש ABC

היחסים נשמרים!
AE:EC = AD:DB = 1:2

שלב 3: הסבר 💭

עקרון כללי:

ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש
מחלק את שתי הצלעות האחרות
באותו יחס!

זה נובע מדמיון משולשים

תשובה: 1:2

שאלה 27
10.00 נק'

📚 סיכום משפט 2:
מתי ישר בהכרח חוצה שתי צלעות?

הסבר:

💡 סיכום משפט 2! 🎊

שלב 1: המשפט המלא 🔍

משפט החוצה והמקביל
ישר ש:
1️⃣ חוצה צלע אחת
2️⃣ מקביל לצלע שניה

→ חוצה את הצלע השלישית

שלב 2: שני התנאים יחד 📐

✅ חצייה של צלע אחת
✅ הקבלה לצלע אחרת
→ חצייה של השלישית!

תשובה: כשהוא חוצה אחת ומקביל לשלישית

שאלה 28
10.00 נק'

📐 משפט 3 - זיהוי:
קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש,
מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה,
הוא _____ .

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט 🔍

המשפט ההפוך! ✨
אם קטע:
1️⃣ קצותיו על שתי צלעות
2️⃣ מקביל לצלע שלישית
3️⃣ שווה למחציתה

אז הוא:
קטע אמצעים!

שלב 2: ההבדל ממשפט 1 📐

משפט 1 משפט 3
נתון: קטע אמצעים
מסקנה: מקביל ושווה לחצי		 נתון: מקביל ושווה לחצי
מסקנה: קטע אמצעים

שלב 3: דוגמה ויזואלית 💭

DE = 10 BC = 20 A B C D E DE ∥ BC ו-DE = ½BC → D ו-E אמצעים!

שלב 4: למה זה חשוב? 🤔

שימוש:

משפט זה מאפשר לנו להוכיח
שקטע הוא קטע אמצעים
מבלי למדוד ישירות את האמצעים!

מספיק להוכיח שהוא מקביל ושווה לחצי

תשובה: קטע אמצעים

שאלה 29
10.00 נק'

🎯 יישום:
במשולש ABC, BC = 16.
קטע DE מחבר נקודות על AB ו-AC,
DE ∥ BC ו-DE = 8.
מה ניתן להסיק?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת התנאים 🔍

נתון:
🔹 BC = 16
🔹 DE = 8
🔹 DE ∥ BC

בדיקה:
DE = 8 = ½ × 16 = ½BC ✓

שלב 2: שימוש במשפט 3 📐

8 16 אמצע אמצע A B C D E
✅ DE ∥ BC
✅ DE = ½BC (8 = ½×16)

→ DE קטע אמצעים!

שלב 3: המסקנה 💭

לפי משפט 3:

אם קטע מקביל לצלע
ושווה למחציתה
→ הוא קטע אמצעים

D אמצע AB
E אמצע AC

תשובה: D ו-E אמצעים

שאלה 30
10.00 נק'

🎯 הוכחה:
במשולש ABC, BC = 24.
קטע PQ מחבר נקודות על AB ו-AC,
PQ ∥ BC ו-PQ = 12.
הוכח ש-P אמצע AB.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ארגון הנתונים 🔍

נתון:
🔹 BC = 24
🔹 PQ = 12
🔹 PQ ∥ BC

להוכיח: P אמצע AB

שלב 2: בדיקת יחס 📐

PQ = 12
BC = 24

12 = ½ × 24

PQ = ½BC ✓

שלב 3: ההוכחה 💭

PQ = 12 BC = 24 P Q הוכחה: 1. PQ ∥ BC (נתון) 2. PQ = ½BC (12 = ½×24) 3. לכן PQ קטע אמצעים → P אמצע ✓

שלב 4: סיכום ההוכחה ✍️

הוכחה מסודרת:

1️⃣ PQ ∥ BC (נתון)
2️⃣ PQ = 12 ו-BC = 24 (נתון)
3️⃣ לכן: PQ = ½BC
4️⃣ לפי משפט 3: PQ קטע אמצעים
5️⃣ מש"ל: P אמצע AB ✓

תשובה: לפי משפט 3: PQ = ½BC ו-PQ ∥ BC → P אמצע

שאלה 31
10.00 נק'

❓ שאלת הבנה:
מה ההבדל בין משפט 1 למשפט 3?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט 1 🔍

משפט קטע אמצעים (משפט 1):

נתון: D ו-E אמצעים
↓
מסקנה: DE ∥ BC ו-DE = ½BC

שלב 2: משפט 3 📐

המשפט ההפוך (משפט 3):

נתון: DE ∥ BC ו-DE = ½BC
↓
מסקנה: D ו-E אמצעים

שלב 3: השוואה ויזואלית 💭

משפט 1 נתון: D ו-E אמצעים מסקנה: DE ∥ BC, DE=½BC הפוך! משפט 3 נתון: DE ∥ BC, DE=½BC מסקנה: D ו-E אמצעים

שלב 4: למה שני המשפטים? ✍️

שימושים שונים:

משפט 1: כשיודעים שיש אמצעים
→ מוכיחים שקטע מקביל

משפט 3: כשיודעים שקטע מקביל
→ מוכיחים שיש אמצעים

שני הכיוונים שימושיים!

תשובה: משפט 1: אמצעים→מקביל, משפט 3: מקביל→אמצעים

שאלה 32
10.00 נק'

🎯 מציאת אמצע:
במשולש ABC, קטע DE מחבר נקודות על AB ו-AC.
נתון: BC = 30, DE = 15, DE ∥ BC.
אם AB = 20, מה אורך AD?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי קטע אמצעים 🔍

נתון:
🔹 BC = 30
🔹 DE = 15
🔹 DE ∥ BC
🔹 AB = 20

בדיקה:
DE = 15 = ½ × 30 = ½BC ✓

שלב 2: שימוש במשפט 3 📐

AB = 20 AD = ? A B C D E

שלב 3: חישוב 💭

לפי משפט 3:
DE ∥ BC ו-DE = ½BC
→ D אמצע AB

AD = ½ × AB
AD = ½ × 20

AD = 10

תשובה: 10

שאלה 33
10.00 נק'

🎯 יישום משולב:
במשולש ABC, M על AB, N על AC.
נתון: MN ∥ BC, MN = 6, BC = 12.
באיזה משפט נשתמש כדי להוכיח ש-M אמצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח השאלה 🔍

נתון:
🔹 MN ∥ BC
🔹 MN = 6
🔹 BC = 12

מבקשים להוכיח: M אמצע AB

שלב 2: השוואת המשפטים 📐

משפט נתון מסקנה מתאים?
משפט 1 אמצעים מקביל וחצי ✗
משפט 2 1 אמצע + מקביל אמצע 2 ✗
משפט 3 מקביל וחצי אמצעים ✓

שלב 3: ההוכחה 💭

MN = 6 BC = 12 M N
בדיקה:
MN = 6 = ½ × 12 = ½BC ✓
MN ∥ BC ✓

לפי משפט 3 → M ו-N אמצעים!

שלב 4: למה דווקא משפט 3? ✍️

הכיוון:

יש לנו מידע על הקבלה ואורך
ואנחנו רוצים להוכיח אמצעים

זה בדיוק משפט 3!
(המשפט ההפוך של משפט 1)

תשובה: משפט 3

שאלה 34
10.00 נק'

🎯 בעיה מילולית:
במגרש משולש, כביש חוצה אותו.
הכביש מקביל לאחד הגבולות ובאורך חצי ממנו.
מה ניתן לומר על הכביש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

"מגרש משולש" = משולש ABC
"כביש חוצה" = קטע DE
"מקביל לגבול" = DE ∥ BC
"חצי ממנו" = DE = ½BC

מה ניתן להסיק על D ו-E?

שלב 2: שרטוט המצב 📐

אמצע גבול 1 אמצע גבול 2 גבול 1 גבול 2 גבול 3 הכביש = קטע אמצעים!

שלב 3: שימוש במשפט 3 💭

לפי משפט 3:

הכביש מקביל לגבול אחד
ושווה למחציתו

→ הכביש הוא קטע אמצעים

כלומר: הכביש עובר דרך
אמצעי שני הגבולות האחרים!

תשובה: הכביש עובר דרך אמצעי שני גבולות אחרים

שאלה 35
10.00 נק'

❓ זיהוי משפט:
באיזה מצב נשתמש במשפט 3?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השוואת שימושי המשפטים 🔍

משפט מתי משתמשים? מה מוכיחים?
משפט 1 יודעים שיש אמצעים מוכיחים הקבלה ואורך
משפט 2 יודעים על 1 אמצע והקבלה מוכיחים אמצע שני
משפט 3 יודעים על הקבלה ואורך מוכיחים שיש אמצעים

שלב 2: דוגמאות 📐

משפט 1 יש: אמצעים רוצים: הקבלה ✓ השתמש! משפט 2 יש: 1 אמצע+∥ רוצים: אמצע 2 ✓ השתמש! משפט 3 יש: ∥ + חצי רוצים: אמצעים ✓ השתמש! כל משפט לשימוש אחר! משפט 3: יש מידע גאומטרי (∥, אורך) רוצים להוכיח מיקום (אמצעים)

שלב 3: תזכורת 💭

משפט 3 שימושי כאשר:

✅ יש לנו קטע מקביל לצלע
✅ יודעים שהוא שווה לחצי
✅ רוצים להוכיח שהנקודות אמצעים

זו הדרך ההפוכה ממשפט 1!

תשובה: כשרוצים להוכיח שנקודות הן אמצעים

שאלה 36
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:
תלמיד אמר: "אם קטע מקביל לצלע במשולש,
אז הוא קטע אמצעים."
מה חסר בטענה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטענה השגויה 🔍

טענה שגויה:

"קטע ∥ צלע → קטע אמצעים"

זה לא מספיק!

שלב 2: דוגמה נגדית 📐

קטע 1 (∥ BC) קטע 2 (∥ BC, =½BC) ✓ קטע 3 (∥ BC) קטע 4 (∥ BC) הרבה קטעים מקבילים! רק אחד שגם שווה לחצי

שלב 3: התנאי המלא 💭

משפט 3 דורש שני תנאים:

1️⃣ קטע ∥ לצלע
+
2️⃣ קטע = ½ הצלע

רק אז קטע אמצעים!

שלב 4: הטענה הנכונה ✍️

נכון:

"אם קטע מקביל לצלע
ושווה למחציתה,
אז הוא קטע אמצעים"

שני התנאים חובה!

תשובה: צריך גם שהקטע יהיה שווה למחצית

שאלה 37
10.00 נק'

🎯 יישום במקבילית:
במקבילית ABCD, AB = 20, AD = 16.
קטע PQ מחבר נקודות על AB ו-AD,
PQ ∥ BD ו-PQ = 10.
האם P ו-Q אמצעים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח המצב 🔍

נתון:
🔹 מקבילית ABCD
🔹 AB = 20, AD = 16
🔹 PQ ∥ BD
🔹 PQ = 10

שאלה: האם P ו-Q אמצעים?

שלב 2: בדיקת משפט 3 📐

AB = 20 AD = 16 PQ = 10 BD = ? A B C D P Q

שלב 3: מה חסר? 💭

כדי להשתמש במשפט 3:

צריך לבדוק אם:
PQ = ½BD

אבל... אין לנו את BD!

BD הוא אלכסון המקבילית,
שאורכו לא ידוע

שלב 4: המסקנה ✍️

בלי לדעת את BD:

❓ אולי PQ = ½BD → אז P ו-Q אמצעים
❓ אולי PQ ≠ ½BD → אז לא אמצעים

לא ניתן לדעת!
צריך עוד מידע

תשובה: לא ניתן לדעת (צריך לדעת אורך BD)

שאלה 38
10.00 נק'

🎯 שאלה מאתגרת:
במשולש ABC, M אמצע AB.
קטע דרך M מקביל ל-BC חותך AC ב-N,
וקטע אחר דרך M מקביל ל-AC חותך BC ב-P.
מה הקשר בין MN ו-MP?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח המצב המורכב 🔍

נתון:
🔹 M אמצע AB
🔹 MN ∥ BC (N על AC)
🔹 MP ∥ AC (P על BC)

שאלה: מה מיוחד ב-MN ו-MP?

שלב 2: שרטוט המצב 📐

MN ∥ BC MP ∥ AC M=אמצע N=אמצע P=אמצע A B C M N P

שלב 3: ניתוח שני הקטעים 💭

קטע MN:
- M אמצע AB (נתון)
- MN ∥ BC (נתון)
- לפי משפט 2: N אמצע AC
- לפי משפט 1: MN קטע אמצעים!

קטע MP:
- M אמצע AB (נתון)
- MP ∥ AC (נתון)
- לפי משפט 2: P אמצע BC
- לפי משפט 1: MP קטע אמצעים!

שלב 4: המסקנה ✍️

שני הקטעים הם קטעי אמצעים!

MN = ½BC
MP = ½AC

שניהם יוצאים מ-M (אמצע AB)
ומגיעים לאמצעים אחרים

תשובה: שניהם קטעי אמצעים

שאלה 39
10.00 נק'

📚 סיכום משפט 3:
מה צריך כדי להוכיח שקטע הוא קטע אמצעים
בעזרת משפט 3?

הסבר:

💡 סיכום משפט 3! 🎊

שלב 1: המשפט המלא 🔍

המשפט ההפוך
אם קטע:
1️⃣ מקביל לצלע
2️⃣ שווה למחציתה

אז הוא:
קטע אמצעים!

שלב 2: שני התנאים יחד 📐

✅ הקבלה
DE ∥ BC
✅ אורך
DE = ½BC
→ קטע אמצעים!
D ו-E אמצעים

שלב 3: למה זה שימושי? 💭

שימוש עיקרי:

כאשר אין לנו מידע ישיר על אמצעים,
אבל יש לנו מידע גאומטרי:
- הקבלה
- אורכים

אז נוכל להוכיח שיש אמצעים!

תשובה: להוכיח שהוא מקביל ושווה למחצית צלע

שאלה 40
10.00 נק'

🎉 סיכום כללי:
כמה משפטים למדנו על קטעי אמצעים?

הסבר:

🎉 סיכום כללי - כל 3 המשפטים! 🎊

המשפטים שלמדנו 🔍

משפט 1: קטע אמצעים נתון: D ו-E אמצעים מסקנה: DE ∥ BC ו-DE = ½BC מאמצעים → הקבלה ואורך משפט 2: חוצה ומקביל נתון: D אמצע, DE ∥ BC מסקנה: E אמצע אמצע + הקבלה → אמצע נוסף משפט 3: המשפט ההפוך נתון: DE ∥ BC ו-DE = ½BC מסקנה: D ו-E אמצעים הקבלה ואורך → אמצעים

הקשר ביניהם 📐

משפט 1 ↔ משפט 3: הפוכים זה לזה

משפט 2: משלים אותם

יחד: כלים חזקים לעבודה עם משולשים!

מתי להשתמש? 💭

יש לנו רוצים משפט
אמצעים הקבלה, אורך 1
1 אמצע + ∥ אמצע 2 2
∥ + חצי אמצעים 3

🎊 סיימנו! 40 שאלות על משפטי קטע אמצעים! 🎊

תשובה: 3 משפטים

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו