אורח מצב צפייה מבחן: משפטים: תיכונים במשולש

משפטים: תיכונים במשולש

מבחן תיכונים במשולש - נקודת חיתוך התיכונים, יחס 2:1. תכונות התיכון ויישומים בחישובים והוכחות.

1. שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. 2. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1. (החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 15
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
6.67 נק'

📐 הגדרה - תיכון:
תיכון במשולש הוא קטע המחבר:
_____ עם _____ הצלע שמולו.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת תיכון 🔍

תיכון ✨
קטע המחבר קדקוד
עם
אמצע הצלע שמולו

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

← קדקוד A ← אמצע BC (נקודה M) A B C M תיכון
🔹 קדקוד A מחובר ל-אמצע BC (נקודה M)
🔹 הקטע AM הוא תיכון

שלב 3: מאפיינים 💭

תכונות תיכון:

✅ מתחיל בקדקוד
✅ מסתיים באמצע הצלע שמולו
✅ לכל משולש יש 3 תיכונים
✅ התיכון חוצה את הצלע לשני חלקים שווים

שלב 4: כמה תיכונים יש? 🤔

A B C
לכל משולש יש 3 תיכונים!

תשובה: קדקוד עם אמצע הצלע

שאלה 2
6.67 נק'

🎯 משפט התיכונים:
שלושת התיכונים במשולש:
נחתכים ב_____ אחת.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט התיכונים 🔍

משפט התיכונים ✨
שלושת התיכונים במשולש
נחתכים בנקודה אחת

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

↓ נקודת חיתוך G A B C
🔹 כל 3 התיכונים נפגשים בנקודה G
🔹 הנקודה הזו נקראת "נקודת המרכז" או "מרכז הכובד"

שלב 3: למה זה מיוחד? 💭

תכונה מיוחדת:

✅ זה תמיד קורה - בכל משולש!
✅ לא משנה איזה משולש (חד, ישר, קהה)
✅ הנקודה נמצאת בתוך המשולש
✅ זו נקודת האיזון של המשולש

אם תנסה לאזן משולש על אצבע,
זה יהיה בדיוק בנקודה G!

שלב 4: שם מיוחד 🌟

נקודת החיתוך נקראת:

מרכז הכובד
או
נקודת המרכז

(באנגלית: Centroid)

תשובה: נקודה אחת

שאלה 3
6.67 נק'

📚 מינוח:
נקודת חיתוך שלושת התיכונים נקראת:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: השם הרשמי 🔍

מרכז הכובד ✨
נקודת חיתוך התיכונים

גם נקראת:
נקודת המרכז

שלב 2: למה "מרכז כובד"? 📐

G 👆 נקודת איזון
🔹 אם תאזן את המשולש על אצבע,
🔹 הוא יתאזן בדיוק בנקודה G!
🔹 זו נקודת האיזון = מרכז הכובד

שלב 3: שמות נוספים 💭

שמות לנקודה הזו:

✅ מרכז הכובד (השם המקובל)
✅ נקודת המרכז
✅ Centroid (באנגלית)

כולם מתייחסים לאותה נקודה!

שלב 4: בלבול נפוץ ⚠️

נקודה איך נוצרת? שם
G חיתוך תיכונים מרכז הכובד
O חיתוך אנכים אמצעיים מרכז המעגל החוסם
I חיתוך חוצי זוויות מרכז המעגל החסום
H חיתוך גבהים אורתוצנטר

תשובה: מרכז הכובד

שאלה 4
6.67 נק'

🎯 משפט חלוקת התיכון:
מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט חלוקת התיכון 🔍

יחס 2:1 ✨
מרכז הכובד G מחלק כל תיכון
ל-2 חלקים

החלק הקרוב לקדקוד הוא
פי 2
מהחלק הקרוב לצלע

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

G 2 (חלק ארוך AG) 1 (חלק קצר GM) A B C
🔹 כל 3 התיכונים נפגשים ב-G
🔹 כל תיכון מתחלק ביחס 2:1

שלב 3: נוסחה 💭

אם אורך התיכון = L

אז:
החלק הקרוב לקדקוד = ⅔L
החלק הקרוב לצלע = ⅓L

⅔ : ⅓ = 2:1 ✓

שלב 4: דוגמה מספרית 🔢

דוגמה:
אם אורך התיכון = 12 ס"מ

🔹 החלק הקרוב לקדקוד = ⅔ × 12 = 8 ס"מ
🔹 החלק הקרוב לצלע = ⅓ × 12 = 4 ס"מ

בדיקה: 8:4 = 2:1 ✓

שלב 5: זיכרון 💡

דרך לזכור:

2 קרוב לקדקוד
1 רחוק (קרוב לצלע)

הקדקוד "חזק יותר" - מושך את G אליו!

תשובה: 2:1 (החלק הקרוב לקדקוד פי 2)

שאלה 5
6.67 נק'

🎯 יישום:
אורך תיכון AM הוא 15 ס"מ.
G הוא מרכז הכובד.
מהו אורך AG?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנתונים 🔍

נתון:
🔹 AM תיכון
🔹 אורך התיכון AM = 15 ס"מ
🔹 G מרכז הכובד

מבוקש:
🔹 אורך AG = ?

שלב 2: הנוסחה 📐

מרכז הכובד מחלק התיכון ביחס 2:1

החלק הקרוב לקדקוד (AG) = ⅔ מהתיכון
החלק הקרוב לצלע (GM) = ⅓ מהתיכון

שלב 3: חישוב 💭

AG = ⅔ × אורך התיכון

AG = ⅔ × 15

AG = 10 ס"מ

שלב 4: דוגמה ויזואלית 📊

G 10 (חלק ארוך AG) (⅔ × 15) 5 (חלק קצר GM) (⅓ × 15) סה"כ AM = 10 + 5 = 15 ס"מ ✓ A B C

שלב 5: בדיקה ✍️

בדיקה:
🔹 AG = 10 ס"מ
🔹 GM = 15 - 10 = 5 ס"מ
🔹 יחס: 10:5 = 2:1 ✓

התשובה נכונה!

תשובה: 10 ס"מ

שאלה 6
6.67 נק'

🎯 יישום:
אורך תיכון = 18 ס"מ.
G מרכז הכובד.
מהו אורך הקטע מ-G לאמצע הצלע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת השאלה 🔍

נתון:
🔹 אורך תיכון = 18 ס"מ
🔹 G מרכז הכובד

מבוקש:
🔹 אורך הקטע מ-G לאמצע הצלע
🔹 זה החלק הקצר (הרחוק מהקדקוד)

שלב 2: הנוסחה 📐

החלק הרחוק מהקדקוד
(הקרוב לצלע)

= ⅓ מאורך התיכון

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

G 12 (חלק ארוך) 6 ← זה מה ששאלו! (⅓ × 18) סה"כ: 12 + 6 = 18 ס"מ A B C

שלב 4: חישוב ✍️

GM = ⅓ × אורך התיכון

GM = ⅓ × 18

GM = 6 ס"מ

שלב 5: בדיקה מלאה 🔢

בדיקה:
🔹 החלק הקצר (GM) = ⅓ × 18 = 6 ס"מ
🔹 החלק הארוך (AG) = ⅔ × 18 = 12 ס"מ
🔹 סה"כ: 6 + 12 = 18 ✓
🔹 יחס: 12:6 = 2:1 ✓

הכל מתאים!

תשובה: 6 ס"מ

שאלה 7
6.67 נק'

🎯 חישוב הפוך:
המרחק מ-G (מרכז הכובד) לאמצע הצלע הוא 4 ס"מ.
מהו אורך התיכון המלא?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתון 🔍

נתון:
🔹 המרחק מ-G לאמצע הצלע = 4 ס"מ
🔹 זה החלק הקצר של התיכון
🔹 החלק הזה הוא ⅓ מהתיכון

מבוקש:
🔹 אורך התיכון המלא

שלב 2: הגיון 📐

אם החלק הקצר = ⅓ מהתיכון
והחלק הקצר = 4 ס"מ

אז:
⅓ × התיכון = 4

התיכון = 4 × 3 = 12 ס"מ

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

G 8 (פי 2 מהנתון) 4 ← נתון! (⅓ מהתיכון) סה"כ: 4 + 8 = 12 ס"מ A B C

שלב 4: דרך נוספת 💭

דרך חישוב:

אם החלק הקצר = 4 ס"מ
והוא מהווה ⅓ מהתיכון

אז החלק הארוך = 4 × 2 = 8 ס"מ (פי 2 מהקצר)

סה"כ התיכון = 4 + 8 = 12 ס"מ

שלב 5: בדיקה ✍️

בדיקה:
🔹 אורך תיכון = 12 ס"מ
🔹 החלק הקצר = ⅓ × 12 = 4 ס"מ ✓
🔹 החלק הארוך = ⅔ × 12 = 8 ס"מ
🔹 יחס: 8:4 = 2:1 ✓

הכל מתאים!

תשובה: 12 ס"מ

שאלה 8
6.67 נק'

🎯 במשולש שווה שוקיים:
האם התיכון לבסיס עובר דרך מרכז הכובד?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המשפט הכללי 🔍

חוק כללי ✨
בכל משולש,
כל 3 התיכונים
עוברים דרך מרכז הכובד

זה לא תלוי בסוג המשולש!

שלב 2: במשולש שווה שוקיים 📐

G ← תיכון לבסיס A B C BC = בסיס
🔹 התיכון הוורוד (מ-A לבסיס) עובר דרך G
🔹 גם שני התיכונים האחרים עוברים דרך G
🔹 אותו כלל כמו בכל משולש!

שלב 3: תכונה מיוחדת 💭

במשולש שווה שוקיים:

התיכון לבסיס הוא גם:
✅ גובה (ניצב לבסיס)
✅ חוצה זווית (חוצה את זווית הראש)
✅ אנך אמצעי לבסיס

אבל הוא עדיין תיכון
ועובר דרך מרכז הכובד!

שלב 4: כלל אוניברסלי 🌟

הכלל החשוב!
בכל משולש:
חד, קהה, ישר זווית,
שווה שוקיים, שווה צלעות,
לא משנה!

כל התיכונים
עוברים דרך מרכז הכובד

שלב 5: סיכום 💡

תשובה:
כן, התיכון לבסיס עובר דרך מרכז הכובד

זה לא משהו מיוחד למשולש שווה שוקיים -
זה קורה בכל משולש!

המשפט אוניברסלי: שלושת התיכונים
תמיד נחתכים בנקודה אחת.

תשובה: כן - כל תיכון עובר דרך מרכז הכובד

שאלה 9
6.67 נק'

📖 בעיה מילולית:
משולש עשוי מחוט.
התיכון מקדקוד A לצלע BC הוא 24 ס"מ.
איזה מרחק צריך לעבור על התיכון מקדקוד A כדי להגיע למרכז הכובד?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשפה מתמטית 🔍

נתון:
🔹 משולש עשוי מחוט
🔹 תיכון מ-A לצלע BC
🔹 אורך התיכון = 24 ס"מ

מבוקש:
🔹 המרחק מקדקוד A למרכז הכובד G
🔹 זה החלק הארוך של התיכון

שלב 2: הבנה ויזואלית 📐

G ? ← זה מה ששאלו! (המרחק מ-A ל-G) 8 (החלק הקצר) סה"כ תיכון = 24 ס"מ A B C

שלב 3: הנוסחה 💭

המרחק מקדקוד למרכז הכובד
= החלק הארוך של התיכון

= ⅔ מאורך התיכון

שלב 4: חישוב ✍️

המרחק מ-A ל-G = ⅔ × 24

= 16 ס"מ

שלב 5: בדיקה 🔢

בדיקה מלאה:
🔹 המרחק מ-A ל-G = 16 ס"מ
🔹 המרחק מ-G ל-M = 24 - 16 = 8 ס"מ
🔹 יחס: 16:8 = 2:1 ✓
🔹 סה"כ: 16 + 8 = 24 ✓

צריך לעבור 16 ס"מ מקדקוד A!

תשובה: 16 ס"מ

שאלה 10
6.67 נק'

❓ שאלת הבנה:
מה נכון לגבי מרכז הכובד?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מיקום מרכז הכובד 🔍

תכונה חשובה ✨
מרכז הכובד
נמצא תמיד
בתוך המשולש

שלב 2: דוגמאות במשולשים שונים 📐

G משולש חד G בפנים ✓ G משולש ישר G בפנים ✓ G משולש קהה G בפנים ✓
🔹 בכל סוג משולש, G נמצא בפנים
🔹 לא משנה אם המשולש חד, קהה, או ישר זווית

שלב 3: למה זה נכון? 💭

הסבר:

✅ כל תיכון מתחיל בקדקוד ומסתיים באמצע הצלע
✅ לכן כל תיכון בפנים המשולש
✅ מרכז הכובד הוא נקודת החיתוך של התיכונים
✅ אם כל התיכונים בפנים, גם נקודת החיתוך בפנים!

זה לוגי ופשוט!

שלב 4: השוואה לנקודות אחרות 🌟

נקודה מיקום
מרכז הכובד (G) תמיד בפנים ✓
מרכז מעגל חסום (I) תמיד בפנים ✓
מרכז מעגל חוסם (O) יכול להיות בחוץ ✗
אורתוצנטר (H) יכול להיות בחוץ ✗

תשובה: נמצא תמיד בתוך המשולש

שאלה 11
6.67 נק'

🏆 אתגר:
במשולש ABC, G מרכז הכובד.
המרחק מ-G לאמצע הצלע BC הוא 5 ס"מ.
מהו המרחק מקדקוד A למרכז הכובד G?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הנתונים 🔍

נתון:
🔹 G מרכז הכובד
🔹 המרחק מ-G לאמצע BC = 5 ס"מ
🔹 זה החלק הקצר של התיכון

מבוקש:
🔹 המרחק מקדקוד A ל-G

שלב 2: יחס 2:1 📐

מרכז הכובד מחלק התיכון ביחס 2:1

אם החלק הקצר (מ-G לאמצע) = x
אז החלק הארוך (מקדקוד ל-G) = 2x

שלב 3: דוגמה ויזואלית 📊

G ? ← פי 2 מהחלק הקצר 5 ← נתון! יחס 2:1 → אם x=5, אז 2x=10 A B C

שלב 4: חישוב 💭

החלק הקצר = 5 ס"מ

החלק הארוך = פי 2 מהחלק הקצר

המרחק מ-A ל-G = 2 × 5 = 10 ס"מ

שלב 5: בדיקה ✍️

בדיקה:
🔹 החלק הארוך (A→G) = 10 ס"מ
🔹 החלק הקצר (G→M) = 5 ס"מ
🔹 יחס: 10:5 = 2:1 ✓
🔹 סה"כ תיכון: 10 + 5 = 15 ס"מ

הכל מתאים!

תשובה: 10 ס"מ

שאלה 12
6.67 נק'

❓ שאלת הבנה:
כמה תיכונים יש במשולש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מספר התיכונים 🔍

3 תיכונים ✨
לכל משולש יש
3 תיכונים

תיכון אחד מכל קדקוד

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

תיכון 1 (מ-A) תיכון 2 (מ-B) תיכון 3 (מ-C) G A B C 3 תיכונים נפגשים ב-G

שלב 3: הסבר לוגי 💭

למה 3?

✅ למשולש יש 3 קדקודים
✅ מכל קדקוד אפשר לצייר תיכון אחד
✅ כל תיכון הולך לאמצע הצלע שמולו
✅ לכן: 3 קדקודים = 3 תיכונים

פשוט ולוגי!

שלב 4: טבלה מסודרת 📐

תיכון מתחיל ב מסתיים ב
תיכון 1 קדקוד A אמצע BC
תיכון 2 קדקוד B אמצע AC
תיכון 3 קדקוד C אמצע AB

שלב 5: עובדה חשובה 🌟

בכל משולש:

🔹 יש בדיוק 3 תיכונים
🔹 כולם נפגשים בנקודה אחת (G)
🔹 כל אחד מחולק ביחס 2:1

זה לא תלוי בסוג המשולש!

תשובה: 3 תיכונים

שאלה 13
6.67 נק'

🎯 יישום מעשי:
אם תרצה לאזן משולש קרטון על קצה עיפרון,
באיזו נקודה כדאי לנסות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה זה מרכז כובד? 🔍

מרכז הכובד ✨
זו נקודת האיזון
של המשולש

כאן הכוח הכבידה
פועל בצורה מאוזנת

שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊

G ישר למטה ⚖️ ⚖️ משולש קרטון ← נקודת איזון
🔹 אם מניחים את העיפרון ב-G,
🔹 המשולש יתאזן בצורה מושלמת!

שלב 3: למה זה עובד? 💭

הסבר פיזיקלי:

✅ מרכז הכובד הוא הנקודה שבה
✅ כל המסה של המשולש
✅ "מרוכזת" באופן מאוזן
✅ הכוח הכבידה פועל ישר למטה מנקודה זו

אם תתמוך בנקודה הזו,
המשולש יהיה מאוזן!

שלב 4: למה לא נקודות אחרות? 🤔

נקודות אחרות:

❌ קדקוד: המשולש יפול (לא מאוזן)
❌ אמצע צלע: עדיין לא מאוזן
❌ נקודה אקראית: סיכוי נמוך מאוד לאיזון

רק ב-מרכז הכובד יש איזון מושלם!

שלב 5: יישום מעשי 🏗️

שימושים במציאות:

🔹 בנייה: לדעת איפה המשקל מתרכז
🔹 עיצוב: לאזן חפצים מדויק
🔹 מדע: לחשב מומנטים וכוחות
🔹 אומנות: ליצור פסלים מאוזנים

מרכז הכובד = מושג חשוב מאוד!

תשובה: במרכז הכובד

שאלה 14
6.67 נק'

📚 סיכום:
איזו מהאמירות הבאות נכונה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סיכום המשפטים 🔍

שני המשפטים החשובים ✨
1️⃣ שלושת התיכונים
נחתכים בנקודה אחת (G)

2️⃣ מרכז הכובד מחלק
כל תיכון ביחס 2:1

שלב 2: בדיקת האפשרויות 📐

אמירה נכון? הסבר
G מחלק תיכון 2:1 ✓ זה המשפט!
G חוצה תיכון (1:1) ✗ שגוי - היחס 2:1 לא 1:1
תיכון דרך אמצע משולש ✗ לא מוגדר "אמצע משולש"
תיכונים לא חייבים להיחתך ✗ שגוי - תמיד נחתכים!

שלב 3: הדגמה ויזואלית 📊

G 2 (חלק ארוך) 1 (חלק קצר) יחס 2:1 (לא 1:1!) A B C

שלב 4: נקודות חשובות לזכור 💭

עיקרי הפרק:

✅ 3 תיכונים בכל משולש
✅ כולם נחתכים ב-נקודה אחת (G)
✅ G נמצא תמיד בתוך המשולש
✅ G מחלק כל תיכון ביחס 2:1
✅ החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2

אלה היסודות!

תשובה: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1

שאלה 15
6.67 נק'

🎉 שאלת סיום:
סיימת ללמוד על תיכונים ומרכז הכובד!
מה הדבר הכי חשוב לזכור?

הסבר:

🎊 סיכום המסע שלך!

שלב 1: מה למדת? 🔍

🎓 מזל טוב! 🎓
עברת 15 שאלות על
תיכונים ומרכז הכובד

עכשיו אתה מומחה!

שלב 2: המשפטים שלמדת 📐

🌟 משפט 1:
שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת

🌟 משפט 2:
מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1
(החלק הקרוב לקדקוד פי 2 מהאחר)

שלב 3: סיכום ויזואלי 📊

G 2 1 מרכז הכובד פי 2 פי 1 A B C
יחס 2:1 - זה המפתח! 🔑

שלב 4: טיפים לזיכרון 💭

איך לזכור:

🔹 3 תיכונים: כמו 3 קדקודים
🔹 נקודה אחת: כולם נפגשים ב-G
🔹 יחס 2:1: הקדקוד "חזק יותר" - מושך פי 2
🔹 G בפנים: תמיד בתוך המשולש

זכור את אלה ותצליח!

שלב 5: המשך ההצלחה! 🌟

🎉 כל הכבוד! 🎉
סיימת את נושא התיכונים!

המשך ללמוד:
✅ חוצי זוויות
✅ אנכים אמצעיים
✅ גבהים

בהצלחה! 🚀

תשובה: יחס 2:1 - זה המפתח!

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 15 הושלמו