משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית) 2

שלב 1 – מה אומר המשפט?

במשולש יש תמיד סכום זוויות 180°. אם בשני משולשים יש שתי זוויות מתאימות שוות, אז:

• הזווית השלישית בכל משולש נקבעת מאליה (180° פחות סכום שתי הזוויות).
• לכן גם הזווית השלישית תהיה שווה.
• מקבלים שלושת הזוויות בכל משולש שוות → זהו המצב הקלאסי של משולשים דומים.

היופי במשפט ז.ז. הוא שלא צריך למדוד שום צלע כדי להוכיח דמיון – מספיקות שתי זוויות מתאימות שוות.

לכן התשובה הנכונה היא: שתי זוויות מתאימות שוות.

ניתוח:

• יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות: בזוג הקודקודים A ו-A' ובזוג הקודקודים B ו-B'.
• לפי משפט הדמיון ז.ז., די בכך כדי לקבוע שהמשולשים דומים.
• אין לנו מידע על אורכי הצלעות, ולכן לא ניתן לקבוע חפיפה, רק דמיון.

לכן המסקנה הנכונה היא: המשולשים דומים לפי ז.ז.

כבר יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות (40° ו-70°).
לא צריך למדוד צלעות ולא צריך לדעת את הזווית השלישית – היא נובעת אוטומטית:

• בכל משולש: הזווית השלישית = 180° − (40° + 70°) = 70°.
• כלומר גם הזווית השלישית שווה.

לפי משפט ז.ז. – די בשתי זוויות מתאימות שוות כדי להסיק שהמשולשים דומים.

משפט ז.ז. דורש שתי זוויות מתאימות שוות. אם יש לנו רק זווית אחת משותפת:

• אין מספיק מידע על שאר הזוויות.
• ייתכנו אינסוף משולשים שונים בעלי אותה זווית אחת.

לכן במקרה שבו ידועה רק זווית אחת – אי אפשר להסיק דמיון לפי ז.ז.

במשולש הראשון הזוויות: 30°, 60°, 90°.
במשולש השני נתון ששתי זוויות שוות בדיוק: 30°, 60°.

מספיקות שתי זוויות מתאימות שוות כדי להסיק שהמשולשים דומים לפי ז.ז., ולא צריך לבדוק את הזווית השלישית או את הצלעות.

קשרים בין זוויות מקבילות:

• DE ∥ BC.
• ∠A משותפת לשני המשולשים.
• ∠ADE שווה ל-∠ACB (זוויות מתאימות בין מקבילים).
• ∠AED שווה ל-∠ABC (גם זוויות מתאימות).

ברגע שיש לנו שתי זוויות מתאימות שוות – מתקיים משפט הדמיון ז.ז., ולכן המשולשים ADE ו-ABC דומים.

חשוב להבחין בין דמיון לבין חפיפה:

• חפיפה = משולשים זהים בגודל ובצורה (כל הצלעות שוות).
• דמיון = אותה צורה, אבל לא בהכרח אותו גודל (הצלעות ביחס קבוע).

משפט ז.ז. מדבר על דמיון בלבד – שתי זוויות מתאימות שוות לא אומרות כלום על אורכי הצלעות, ולכן לא מבטיחות חפיפה.

יחס קטן:גדול = 2:5. כדי לעבור מ-2 ל-5 נכפיל ב-2.5.
10 ÷ 2 = 5 → 5 × 5 = 25.

לכן הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 25 ס"מ.

הזווית השלישית בכל משולש: 180° − (50° + 60°) = 70°.
כלומר כל שלוש הזוויות בשני המשולשים זהות, ולכן בוודאי שהם דומים, ומספיק היה לנו כבר ממשפט ז.ז. (שתי זוויות מתאימות שוות).

יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות:

• זווית ישרה C = 90° ו-C' = 90°.
• זווית A שווה לזווית A' (נתון).

בדיוק התנאי של משפט הדמיון ז.ז. → המשולשים דומים.

יחס קטן:גדול = 3:5. כדי לעבור מהגדול לקטן:

• 25 ÷ 5 = 5
• 3 × 5 = 15

לכן אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא 15 ס"מ.

ברגע שיש לנו שתי זוויות מתאימות שוות בין שני משולשים – משפט הדמיון ז.ז. כבר מתקיים.
הזווית השלישית גם תהיה שווה, אבל לא צריך לחשב אותה בכלל כדי להסיק דמיון.

משפט ז.ז. דורש זוויות שוות ולא "דומות" או "גדולות/קטנות יותר".
שני משולשים יכולים להיות כך שכל הזוויות באחד קטנות יותר, אבל הצורה שונה לגמרי.

לכן תנאי לדמיון הוא: שוויון של שתי זוויות מתאימות, לא רק השוואת גודל באופן כללי.

בדמיון: יחס השטחים = ריבוע יחס הצלעות.
יחס צלעות קטן:גדול = 1:4 → יחס השטחים = 1² : 4² = 1:16.

אם שטח הקטן הוא 6, אז הגדול הוא 6×16 = 96 סמ"ר.

גם במשולש הראשון וגם בשני יש שתי זוויות בסיס שוות (50°, 50°) → שני המשולשים שווי שוקיים.
בנוסף, כל שלוש הזוויות זהות, ולכן ברור שהם דומים לפי ז.ז.

לא ניתן להסיק חפיפה, כי אין לנו מידע על אורכי הצלעות.

הצבע החוזר בזוויות מבליט שהזוויות המתאימות שוות בין שני המשולשים, גם בלי קשתות ובלי מספרי מעלות.
בכך הציור מדגיש את הרעיון של משפט ז.ז.: שתי זוויות מתאימות שוות → המשולשים דומים.

בדמיון: יחס ההיקפים = יחס הצלעות = 3:7.
24 ÷ 3 = 8 → 8 × 7 = 56 ס"מ.

ממשפט ז.ז. אנחנו יודעים שהמשולשים דומים, ולכן:

• כל הצלעות נמצאות ביחס קבוע.
• אבל כדי לדעת האם היחס הוא 1:2, 3:5 או אחר – חייבים נתון אחד לפחות על אורכי צלעות.

לכן אפשר להסיק רק שקיים יחס קבוע, אך לא מהו בדיוק.

זווית אחת שווה יכולה להופיע באינסוף משולשים שונים – צרים, רחבים, גדולים וקטנים – שלא דומים זה לזה.
לכן משפט הדמיון ז.ז. קובע במפורש: שתי זוויות מתאימות שוות → דמיון.

דמיון משולשים אינו תלוי במיקום, בכיוון או בסיבוב של המשולשים במישור.
אפשר לסובב, להזיז ואפילו להגדיל/להקטין – הצורה הגיאומטרית (הזוויות ויחסי הצלעות) נשארת אותה צורה.

לכן מיקום המשולשים אינו משנה – רק הזוויות ויחסי הצלעות חשובים.

גובה הוא אורך, ולכן מתנהג כמו צלע בדמיון.
יחס קטן:גדול = 4:9 → 18 ÷ 9 = 2 → 4 × 2 = 8 ס"מ.

בדרך כלל נבחר את המשפט הפשוט ביותר ליישום.
אם כבר יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות – משפט ז.ז. מספק ומיידי, בלי חישובי צלעות.

הגדול:קטן = 5:2. מקדם ההגדלה = 5 ÷ 2 = 2.5.
7 × 2.5 = 17.5.

כשמסמנים זוויות מתאימות באותן אותיות (A מול A', B מול B') הכוונה היא שהן נמצאות באותו תפקיד במבנה המשולש:
קודקוד ראשון מול קודקוד ראשון, שני מול שני, וכך הלאה.

זה בדיוק מה שנדרש במשפט ז.ז.: שתי זוויות מתאימות שוות, לא סתם שתי זוויות אקראיות.

המשפט ז.ז. אומר לנו:

• מספיק לבדוק שתי זוויות מתאימות.
• אם הן שוות – כל הזוויות בשני המשולשים שוות.
• מכאן שני המשולשים הם אותה צורה גיאומטרית בדיוק, רק בקנה מידה שונה.
• כל הצלעות נמצאות ביחס קבוע, כל ההיקפים והגבהים באותו יחס, והשׁטחים בריבוע יחס הצלעות.

זהו לב הרעיון של דמיון משולשים לפי ז.ז.