משפט דמיון צ.צ.צ. (צלע-צלע-צלע) 2

מה אומר המשפט?

צ.צ.צ. = צלע צלע צלע. כלומר, אנו בכלל לא מסתכלים על זוויות, אלא על שלושה זוגות של צלעות מתאימות:

• אם לכל זוג צלעות מתאימות יש אותו יחס קבוע, למשל קטן:גדול = 2:3,
• אז הצורה של המשולשים זהה לגמרי, ורק קנה המידה שונה.

לכן לא צריך שוויון של צלעות, אלא יחס קבוע בין כל שלושת זוגות הצלעות המתאימות.

לכן התשובה הנכונה: שלוש זוגות צלעות מתאימות נמצאות ביחס קבוע.

נבדוק יחס קטן:גדול עבור כל זוג צלעות:

• 3 מול 6 → יחס 1:2
• 4 מול 8 → יחס 1:2
• 5 מול 10 → יחס 1:2

היחס הוא אותו יחס קבוע בכל שלושת הזוגות. לפי משפט צ.צ.צ., זה בדיוק התנאי לדמיון.
לכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ., ויחס הדמיון קטן:גדול הוא 1:2.

נבדוק שוב את היחסים:

• 4 מול 8 → יחס 1:2
• 6 מול 12 → יחס 1:2
• 9 מול 18 → יחס 1:2

שלושת הזוגות באותו יחס קבוע 1:2. לפי צ.צ.צ., זה מספיק כדי להוכיח דמיון, אפילו בלי לדעת כלום על הזוויות.
לכן דווקא כן יש דמיון, והטענה הראשונה נכונה.

נבדוק יחס קטן:גדול:

• 5 מול 10 → יחס 1:2
• 7 מול 15 → יחס בערך 1:2 נקודה אחת
• 9 מול 18 → יחס 1:2

כבר בזוג הצלעות האמצעיות אנחנו רואים שיחס 7:15 שונה מיחס 5:10 ו-9:18.
משפט צ.צ.צ. דורש יחס קבוע בכל שלושת הזוגות, ולכן כאן לא מתקיים דמיון.

בדיקה מהירה:

• 4 מול 8 → יחס 1:2
• 6 מול 12 → יחס 1:2
• 8 מול 16 → יחס 1:2

שלוש הצלעות במבנה מקביל, כל זוג צלעות מתאימות באותו יחס קבוע 1:2. לכן לפי משפט צ.צ.צ. המשולשים דומים ביחס דמיון קטן:גדול 1:2.

5 מול 10 → 1:2, 12 מול 24 → 1:2, 13 מול 26 → 1:2.
לכן יחס הדמיון קטן:גדול הוא 1:2.

יחס קטן:גדול הוא 3:5. כדי להגיע מהקטן לגדול כופלים במקדם הגדלה:

• 9 מתאים ליחידה 3, כלומר 9 חלקי 3 שווה 3.
• עבור הצלע המתאימה: 5 כפול 3 שווה 15.

לכן אורך הצלע המתאימה במשולש הגדול הוא 15.

יחס קטן:גדול = 2:7. כדי למצוא את הקטן מתוך הגדול:

• 35 חלקי 7 שווה 5.
• עבור הצלע הקטנה: 2 כפול 5 שווה 10.

לכן אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא 10.

נבדוק יחס קטן:גדול:

• 6 מול 9 → יחס 2:3
• 8 מול 12 → יחס 2:3
• 10 מול 15 → יחס 2:3

שלושת היחסים שווים. לפי משפט צ.צ.צ. זה מספיק כדי להכריז על דמיון. אין צורך לבדוק זוויות כלל.

יש אינסוף דוגמאות לשני משולשים שבהם שני זוגות צלעות נראים כאילו הם באותו יחס, אך הזוג השלישי "שובר" את היחס.
משפט צ.צ.צ. מדבר על שלושה זוגות צלעות מתאימות באותו יחס קבוע. רק אז אפשר להכריז על דמיון.

במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הצלעות.
יחס קטן:גדול = 3:4, היקף קטן 24:

• 24 חלקי 3 שווה 8.
• כפול 4 נותן 32.

לכן היקף המשולש הגדול הוא 32.

במשולשים דומים יחס השטחים הוא ריבוע יחס הצלעות:

• יחס צלעות קטן:גדול = 2:5.
• יחס שטחים = 2 בריבוע : 5 בריבוע = 4:25.
• שטח קטן 10 מתאים ליחידה 4, כלומר 10 חלקי 4 שווה 2 נקודה חמש.
• עבור הגדול: 2 נקודה חמש כפול 25 שווה 62 נקודה חמש.

לכן שטח המשולש הגדול הוא 62.5.

הצבעים מראים התאמה בין צלע לצלע:

• האדומות מתאימות זו לזו,
• הכחולות מתאימות זו לזו,
• הירוקות מתאימות זו לזו.

אם בכל אחד משלושת זוגות הצלעות הצבעוניות היחס הוא אותו יחס מספרי, מתקיים משפט צ.צ.צ. והמשולשים דומים.

נבדוק את יחס שתי הצלעות הידועות:

• 6 מול 10 → יחס 3:5.
• 9 מול 15 → גם יחס 3:5.

כדי שיהיה דמיון לפי צ.צ.צ., הצלע השלישית גם חייבת להיות באותו יחס 3:5.
אם הצלע הקטנה היא 8, אז:

3 חלקי 5 שווה 8 חלקי X.
X שווה 8 כפול 5 חלקי 3 שווה בערך 13 נקודה שלוש.

כלומר הצלע השלישית במשולש הגדול צריכה להיות בערך 13 ושליש.

נבדוק את היחסים האפשריים:

• 3 מול 6 → יחס 1:2.
• 4 מול 8 → יחס 1:2.
• 6 מול 12 → יחס 1:2.

זוהי התאמה שבה כל זוג צלעות מתאימות באותו יחס קבוע. האפשרויות האחרות נותנות יחסים שונים.
לכן ההתאמה הנכונה היא: 3 מול 6, 4 מול 8, 6 מול 12.

7 מול 28 → יחס 1:4.
לכן יחס הדמיון קטן:גדול הוא 1:4.

בדיקה:

• 3 מול 9 → יחס 1:3.
• 4 מול 12 → יחס 1:3.
• 5 מול 15 → יחס 1:3.

כל שלושת הזוגות נמצאים באותו יחס קבוע 1:3. לכן לפי צ.צ.צ. המשולשים דומים. אין צורך לחשב זוויות, אף על פי ששניהם ישרי זווית.

בגיאומטריה משולש נקבע באופן חד משמעי על ידי שלוש צלעות. אם אנו לוקחים משולש אחד ומגדילים או מקטינים את שלושת הצלעות באותו מקדם קבוע:

• הזוויות אינן משתנות,
• הצורה הגיאומטרית נשמרת,
• רק הגודל משתנה.

לכן אם שלושת זוגות הצלעות המתאימות בשני משולשים נמצאות ביחס קבוע, שני המשולשים חייבים להיות אותה צורה בדיוק בקנה מידה שונה → דמיון.

שני משולשים יכולים להיות עם אותו היקף, אך צורה שונה לגמרי. לדוגמה:

• משולש שווה צלעות שכל צלע בו באורך 6.
• משולש אחר עם צלעות 2, 10, 10.

לשניהם היקף 18, אבל הצורה שונה מאד. משפט צ.צ.צ. מדבר על יחס של כל זוג צלעות מתאימות, לא על סכום הצלעות.

כדי להשתמש בצ.צ.צ. חייבים:

• לדעת את שלוש הצלעות בכל משולש,
• להתאים צלע לצלע,
• ולהראות שכל שלושת הזוגות באותו יחס.

שני זוגות בלבד, או סכום הצלעות, או צלע בודדת – אינם מספיקים.

יחס היקפים = יחס צלעות = 5:6.
כדי לעבור מהגדול לקטן:

• 48 חלקי 6 שווה 8.
• 8 כפול 5 שווה 40.

לכן היקף המשולש הקטן הוא 40.

כאשר מגדילים כל צלע באותו מקדם:

• הזוויות נשארות זהות,
• יחס הצלעות קטן:גדול הוא 1:7.

זו בדיוק הסיטואציה של דמיון לפי צ.צ.צ., ולכן המשולשים דומים ביחס דמיון קטן:גדול 1:7.

נבדוק:

• 4 מול 6 → 2:3.
• 6 מול 9 → 2:3.
• 10 מול 15 → 2:3.

כל שלושת היחסים שווים, ולכן שלושת זוגות הצלעות יכולים בהחלט להיות צלעות מתאימות במשולשים דומים לפי צ.צ.צ.

אפשר להשתמש גם בז.ז. וגם בצ.צ.צ., כי שני התנאים מתקיימים. אבל בדרך כלל נבחר את מה שדורש פחות עבודה:

• אם שלוש הצלעות כבר מחושבות ונוח להשוות את היחסים, צ.צ.צ. הוא טבעי.
• אם דווקא הזוויות ברורות יותר, נבחר ז.ז.

כאן הנתון המרכזי הוא הצלעות והיחסים ביניהן, ולכן הבחירה הטבעית היא צ.צ.צ.

משפט צ.צ.צ. אומר: הצורה של משולש נקבעת על ידי שלוש צלעותיו. אם שני משולשים הם כמו גרסה מוגדלת או מוקטנת זה של זה:

• כל הזוויות נשארות זהות,
• כל הצלעות ביחס קבוע,
• כל ההיקפים והגבהים באותו יחס,
• והשטחים בריבוע היחס.

לכן כששלושת זוגות הצלעות המתאימות ביחס קבוע, שני המשולשים הם אותה צורה בדיוק בקנה מידה אחר → משולשים דומים.