במשולשים דומים – יחס הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון (2)

ניסוח רשמי:

במשולשים דומים יחס הגבהים המתאימים שווה ליחס הצלעות המתאימות. כלומר אם יחס הדמיון קטן לגדול הוא k, אז גם יחס הגבהים קטן לגדול הוא k.

הסבר מורחב:

כאשר משני משולשים דומים אחד נוצר מהשני על ידי הגדלה או הקטנה בקנה מידה קבוע, כל הגדלים הלינאריים גדלים באותו יחס:

• כל צלע מתאימה גדלה באותו יחס.
• כל גובה מתאים גדל באותו יחס.
• כל חוצה זווית, תיכון ורדיוס מעגל חוסם או חסום גם כן.

גובה הוא בסך הכל אורך של קטע ניצב לצלע, ולכן הוא מתנהג כמו צלע. אם המשולש השני גדול פי k במשוואת הצלעות, הוא גדול פי k גם בגבהים.

לכן המשפט אומר בפשטות: ברגע שהמשולשים דומים, הגבהים המתאימים שומרים על אותו יחס כמו הצלעות. זהו כלי חזק לחישוב גבהים כאשר ידוע יחס הדמיון.

משפט הדמיון לגבי גבהים אומר במפורש: אם שני משולשים דומים ויחס הצלעות המתאימות הוא 2 ל 5, אז:

• ההיקפים גם יהיו ביחס 2 ל 5.
• הגבהים המתאימים יהיו ביחס 2 ל 5.
• השטחים יהיו ביחס 4 ל 25 כי זה ריבוע יחס הצלעות.

במקרה שלנו גובה במשולש הקטן כפול 5 יתן את הגובה במשולש הגדול כפול 2, כלומר יחס הגבהים שווה ליחס הדמיון 2 ל 5.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 3 ל 4. זה אומר שכל גודל לינארי, כולל גובה, מוכפל באותו יחס:

• ליחידה בגובה הקטן מתאימות 3 יחידות.
• ליחידה בגובה הגדול מתאימות 4 יחידות.

אם גובה במשולש הקטן הוא 9, אפשר לחשב את מקדם ההגדלה:

• 9 חלקי 3 שווה 3.
• במשולש הגדול: 4 כפול 3 שווה 12.

לכן הגובה המתאים במשולש הגדול הוא 12 סנטימטר.

יחס קטן לגדול הוא 2 ל 7. כדי לעבור מהגובה הגדול לגובה הקטן נשתמש ביחס הזה:

• 21 חלקי 7 שווה 3.
• במשולש הקטן יש 2 חלקים באותו קנה מידה, לכן 2 כפול 3 שווה 6.

כלומר אם המשולשים דומים, הגובה במודל הקטן הוא 6 סנטימטר.

גובה הוא אורך של קטע, כלומר גודל לינארי בדיוק כמו צלע.
במשולשים דומים:

• צלעות מתאימות ביחס k.
• היקפים ביחס k.
• גבהים מתאימים ביחס k.
• אבל השטחים ביחס k בריבוע.

במקרה של יחס דמיון 1 ל 3, השטחים אכן יהיו ביחס 1 ל 9, אבל הגבהים יהיו ביחס 1 ל 3. לכן הטענה של התלמיד מבלבלת בין גודל לינארי לבין שטח.

המשולשים דומים, ויחס הדמיון קטן לגדול הוא 1 ל 3. הגבהים המסומנים הם גבהים מתאימים לאותה צלע בסיס בכל משולש:

• גובה במשולש הקטן הוא כיוון אנכי מהקודקוד אל צלע הבסיס.
• גובה במשולש הגדול הוא אותו רעיון בדיוק, רק בקנה מידה גדול יותר.

לכן לפי המשפט, יחס הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון 1 ל 3.

ראשית נחשב את יחס הדמיון מתוך הצלעות:

• בסיס קטן 6, בסיס גדול 15.
• יחס קטן לגדול הוא 6 ל 15, שאפשר לצמצם ל 2 ל 5.

לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 2 ל 5. כעת נעביר את אותו יחס לגבהים:

• גובה קטן 4 מתאים ליחידה 2.
• גובה גדול ייתן יחידה 5.
• 4 חלקי 2 שווה 2, ואז 2 כפול 5 שווה 10.

לכן הגובה המתאים במשולש הגדול הוא 10 סנטימטר.

המשפט מתייחס לגבהים מתאימים, כלומר:

• גובה לצלע מסוימת במשולש אחד,
• מול גובה לצלע המתאימה לה במשולש השני.

אם במשולש הגדול לוקחים גובה לצלע אחרת שאינה מתאימה לצלע AB, אין סיבה שהיחס בין הגבהים יהיה בדיוק יחס הדמיון. כלומר צריך להתאים גובה לגובה המתאים כדי ליישם את המשפט.

גובה קטן 5, גובה גדול 15. יחס קטן לגדול הוא:

• 5 ל 15, שאפשר לצמצם ל 1 ל 3.

לפי המשפט, יחס הגבהים שווה בדיוק ליחס הדמיון, לכן גם יחס הדמיון הוא 1 ל 3.

יחס הגבהים הוא 6 ל 9, שאפשר לצמצם ל 2 ל 3. לפי המשפט, זה גם יחס הדמיון בין המשולשים (יחס צלעות קטן לגדול).

כעת נשתמש בעובדה שבמשולשים דומים יחס השטחים הוא ריבוע יחס הצלעות:

• יחס צלעות קטן לגדול 2 ל 3.
• יחס שטחים קטן לגדול 4 ל 9 (ריבוע של 2 ו 3).

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 4 ל 9.

יחס הדמיון דגם ל מקורי הוא 1 ל 50. כלומר:

• כל אורך לינארי בדגם קטן פי 50 מאשר במקור.

גובה במקור הוא 10 מטר. נחלק פי 50:

• 10 חלקי 50 שווה 0 נקודה 2 מטר.

כעת נהפוך לסנטימטרים:

• 0 נקודה 2 מטר שווה 20 סנטימטר.

לכן הגובה בדגם הוא 20 סנטימטר.

המשולשים דומים, והגבהים המסומנים הם גבהים מתאימים לבסיסים המתאימים. לפי משפט הדמיון לגבי גבהים:

• יחס הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון 2 ל 3.

העובדה ששניהם אנכיים לא מחייבת שיהיו שווים, רק מציינת את כיוון הגובה. הקובע את היחס הוא הדמיון ולא רק הכיוון.

יחס קטן לגדול הוא 4 ל 9. הגבהים המתאימים נשמרים באותו יחס.

כדי לחשב את הגובה הקטן מתוך הגובה הגדול נשתמש בפרופורציה:

• גובה קטן חלקי גובה גדול שווה 4 חלקי 9.
• גובה גדול שווה 22 נקודה חמש.

כלומר:

גובה קטן שווה 22 נקודה חמש כפול 4 חלקי 9.

22 נקודה חמש חלקי 9 שווה 2 נקודה חמש בערך, כפול 4 נותן 10.
לכן הגובה המתאים במשולש הקטן הוא 10 סנטימטר.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 5 ל 8. גובה קטן 15 סנטימטר. נעשה העברה ביחס:

• 15 חלקי 5 שווה 3.
• 3 כפול 8 שווה 24.

לכן הגובה הגדול הוא 24 סנטימטר.

המשפט מתייחס לגבהים מתאימים לצלעות מתאימות. אם הגובה הקטן לצלע BC והגדול לצלע AB, אלו אינם גדלים מתאימים. לכן אין חובה שיחס הגבהים יהיה שווה ליחס הדמיון.

יחס גבהים קטן לגדול הוא בדיוק יחס הדמיון.

• 12 ל 30 מצטמצם ל 2 ל 5.

לכן יחס הדמיון הוא 2 ל 5.

יחס הדמיון הוא 3 ל 4. גובה קטן 9 מתאים ל 3 יחידות. כל יחידה היא 3 סנטימטר.

לכן הגובה הגדול: 4 כפול 3 שווה 12.

הגובה הגדול הוא 12.

יחס הגבהים הוא 8 ל 20, כלומר 2 ל 5. גבהים הם גודל לינארי ולכן יחסם שווה ליחס הצלעות המתאימות.

במשולשים דומים היקפים שומרים את אותו יחס לינארי.

לכן יחס ההיקפים קטן לגדול הוא 2 ל 5.

יחס שטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. אם יחס השטחים הוא 1 ל 16, יחס הצלעות (והגבהים) הוא שורש יחס השטחים:

• שורש של 1 ל 16 הוא 1 ל 4.

לכן יחס הגבהים הוא 1 ל 4.

הטעות כאן קלאסית: התלמיד ריבע את יחס הדמיון כי חשב שגובה מתנהג כמו שטח.

אבל גובה הוא אורך, ולכן יחס הגבהים שווה ליחס הדמיון עצמו — 3 ל 7.

יחס הצלעות קטן לגדול הוא 6 ל 15, כלומר 2 ל 5.

גובה הוא גודל לינארי ולכן ישמור את אותו יחס.

• 4 חלקי 2 שווה 2.
• 2 כפול 5 שווה 10.

לכן הגובה המתאים הוא 10 סנטימטר.

כדי שהמשפט יעבוד צריך:

• גובה לצלע מסוימת במשולש אחד,
• מול גובה לצלע המתאימה במשולש השני.

בציור הגבהים נמדדים לצלעות שונות שאינן מתאימות ולכן אי אפשר להשוות.

יחס גבהים הוא 3 ל 12, שמצטמצם ל 1 ל 4. לפי המשפט זהו יחס הדמיון.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 2 ל 3. גובה קטן 10 מתאים ליחידה 2.

• 10 חלקי 2 שווה 5.
• 5 כפול 3 שווה 15.

לכן הגובה הגדול הוא 15.

המשפט אומר בפשטות: גובה מתנהג כמו צלע. אם המשולשים דומים, כל גובה במשולש אחד מוכפל באותו מקדם דמיון כדי לקבל את הגובה המתאים במשולש השני.

כלומר גובה הוא גודל לינארי, ולכן יחס הגבהים שווה בדיוק ליחס הדמיון.