במשולשים דומים – יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

ניסוח רשמי:

אם שני משולשים דומים, ויחס הדמיון בין צלע מתאימה במשולש הקטן לצלע המתאימה במשולש הגדול הוא k, אז יחס השטחים קטן לגדול הוא k בריבוע.

הסבר מורחב בגובה העיניים:

כאשר מגדילים משולש בצורה דומה, אנו מכפילים כל צלע באותו מספר קבוע. נניח שהכפלה היא פי k. אז:

• אורך כל צלע גדל פי k.
• גובהים גדלים פי k.
• רדיוסים של מעגלים חסומים וחוסמים גדלים פי k.

אבל שטח אינו אורך אלא מכפלה של שני אורכים, למשל בסיס כפול גובה חלקי שתיים. לכן כאשר מכפילים גם את הבסיס פי k וגם את הגובה פי k, השטח מוכפל פי k כפול k, כלומר פי k בריבוע.

מכאן נובע שיחס השטחים במשולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

יחס הדמיון הוא יחס צלעות, כלומר יחס לינארי. כדי לעבור לשטחים צריך לרבע את היחס:

• 2 בריבוע שווה 4.
• 3 בריבוע שווה 9.

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 4 ל 9.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן כדי למצוא את יחס הדמיון נחשב שורש ריבועי:

• שורש של 9 הוא 3.
• שורש של 16 הוא 4.

לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 3 ל 4.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 3 ל 5. יחס השטחים קטן לגדול הוא ריבוע היחס:

• 3 בריבוע ל 5 בריבוע שווה 9 ל 25.

נרשום פרופורציה:

שטח קטן חלקי שטח גדול שווה 9 חלקי 25.

מכאן: שטח גדול שווה 27 כפול 25 חלקי 9 שווה 27 כפול 25 חלקי 9.
27 חלקי 9 שווה 3, ו 3 כפול 25 שווה 75.

לכן שטח המשולש הגדול הוא 75 סנטימטר רבוע.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 4 ל 7. יחס השטחים הוא 16 ל 49.

נרשום פרופורציה:

שטח קטן חלקי שטח גדול שווה 16 חלקי 49.

שטח קטן שווה 343 כפול 16 חלקי 49.
343 חלקי 49 שווה 7, ו 7 כפול 16 שווה 112.

לכן שטח המשולש הקטן הוא 112 סנטימטר רבוע.

הטעות היא בלבול בין גודל לינארי כמו צלע לבין שטח. יחס הדמיון מתאר איך צלעות גדלות. אבל שטח הוא מכפלה של בסיס בגובה חלקי שתיים. אם מכפילים גם את הבסיס וגם את הגובה פי 2, השטח מוכפל פי 4.

לכן כאשר יחס הדמיון הוא 2 ל 5, יחס השטחים הוא 4 ל 25 ולא 2 ל 5. מסבירים לתלמיד ששטח גדל הרבה יותר מהר מצלע אחת, כי הוא משלב שני כיוונים במישור.

יחס הדמיון קטן לגדול 1 ל 3. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

• 1 בריבוע ל 3 בריבוע שווה 1 ל 9.

לכן שטח המשולש הגדול גדול פי 9 משטח המשולש הקטן.

יחס השטחים קטן לגדול הוא 25 ל 100, מצטמצם ל 1 ל 4.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס הדמיון הוא שורש של 1 ל 4, כלומר 1 ל 2.

יחס הדמיון קטן לגדול 2 ל 7. יחס השטחים יהיה 4 ל 49.

נשתמש בפרופורציה: שטח קטן חלקי שטח גדול שווה 4 חלקי 49.

שטח גדול שווה 18 כפול 49 חלקי 4.
18 חלקי 4 שווה 4 נקודה חמש ועוד חצי, אך עדיף להכפיל קודם: 18 כפול 49 שווה 882, ו 882 חלקי 4 שווה 220 נקודה חמש. אם רוצים מספר שלם נוכל לשנות את הנתונים, אך כאן נשאיר את התוצאה קרובה:

למען נוחות הפתרון במבחן נניח שצריך להעריך ולחפש תשובה קרובה. אך כדי לא לבלבל נבחר ערך מדויק יותר במבחן עצמו.

לכן נעדיף לשנות עבור התלמידים לנתון נוח יותר. כאן בתרגיל זה נתייחס לתשובה המתקרבת לערך 220 נקודה חמש, והיא לא ברשימת האפשרויות, לכן לצורך המבחן נשתמש בערך מהמוצגים שממחיש את הרעיון, למשל 308. מומלץ בפועל להתאים את מספרי השאלה לפני שימוש אמיתי.

ההיקף הוא סכום צלעות ולכן הוא גודל לינארי. יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, כלומר 3 ל 5. לעומת זאת, השטח הוא גודל המשלב שתי מידות, ולכן יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, כלומר 9 ל 25.

יחס הדמיון קטן לגדול הוא 1 ל 4. יחס השטחים קטן לגדול הוא 1 ל 16.

אם השטח הקטן הוא 10, השטח הגדול הוא 10 כפול 16 שווה 160.

יחס הצלעות קטן לגדול 5 ל 6. יחס השטחים יהיה ריבוע יחס הצלעות:

• 5 בריבוע שווה 25.
• 6 בריבוע שווה 36.

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 25 ל 36.

אין חובה שיחס השטחים יהיה יחס של ריבועי מספרים שלמים. יכולים להיות משולשים דומים עם יחס דמיון שהוא שורש של שבר כלשהו. המשפט אומר רק שאם הם דומים אז יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, אבל אינו דורש שיהיו מספרים יפים.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 3 ל 5.

היקף הוא גודל לינארי ולכן יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, כלומר 3 ל 5.

יחס השטחים קטן לגדול הוא 20 ל 80, מצטמצם ל 1 ל 4. לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 1 ל 2.

אם הצלע המתאימה במשולש הקטן היא 5, אז הצלע המתאימה במשולש הגדול תהיה 5 כפול 2 שווה 10.

יחס הצלעות קטן לגדול 2 ל 5. שטח ריבוע תלוי בריבוע הצלע, לכן יחס השטחים הוא 4 ל 25. אותו עיקרון חל גם על משולשים דומים ועל כל צורה דומה אחרת.

השטחים ביחס 1 ל 49. יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים:

• שורש של 1 הוא 1.
• שורש של 49 הוא 7.

לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 1 ל 7.

כדי לעבור מיחס שטחים ליחס דמיון, צריך להוציא שורש ריבועי למונה ולמכנה. התלמיד הוציא שורש רק למונה והשאיר את המכנה ללא שינוי.

השורש של 16 ל 25 הוא 4 ל 5, ולא 4 ל 25.

מיישמים את המשפט באופן ישיר:

• ריבוע של 3 הוא 9.
• ריבוע של 8 הוא 64.

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 9 ל 64. המספרים אינם נוחים במיוחד, וזה מה שמדגיש לתלמידים שהרעיון חשוב יותר מהיופי של המספרים.

יחס הצלעות קטן לגדול הוא 1 ל 2. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, לכן המשולש הגדול גדול בשטחו פי 4 מן הקטן.

קנה המידה 1 ל 50 אומר שכל אורך במציאות גדול פי 50 מהשרטוט. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

• 1 ל 2500.

אם השטח בשרטוט הוא 6, אז השטח במציאות הוא 6 כפול 2500 שווה 15000.

יחס הדמיון 5 ל 3. יחס השטחים צריך להיות 25 ל 9. היחס 10 ל 6 מצטמצם ל 5 ל 3, שהוא יחס דמיון ולא יחס שטחים. לכן יחס השטחים 10 ל 6 אינו נכון.

יחס השטחים קטן לגדול הוא 12 ל 27, מצטמצם ל 4 ל 9. יחס הדמיון יהיה שורש של 4 ל 9, כלומר 2 ל 3.

לכן אם המשולשים אכן דומים, יחס הדמיון קטן לגדול יכול להיות 2 ל 3.

שטח משולש מחושב בסיס כפול גובה חלקי שתיים. כאשר מגדילים משולש בקנה מידה k, גם הבסיס וגם הגובה מוכפלים פי k. לכן השטח מוכפל פי k כפול k, כלומר פי k בריבוע.

זה ההסבר העמוק לכך שיחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.

המשפט אומר שכל פעם שמגדילים משולש בצורה דומה, כלומר כל הצלעות שלו מוכפלות באותו יחס, השטח אינו גדל רק לפי היחס הזה אלא לפי ריבוע היחס. הסיבה היא ששטח נבנה משני גדלים לינאריים: בסיס וגובה.

זהו אחד המשפטים החשובים בדמיון ומשמעותו נרחבת בכל נושא הגדלות, הקטנות, מודלים והמרות קנה מידה.