טכניקה אלגברית פירוק לגורמים מורחב
טכניקה אלגברית
פירוק לגורמים - כל השיטות
📐 מהו פירוק לגורמים?
פירוק לגורמים = לכתוב ביטוי כמכפלה של גורמים
זו הפעולה ההפוכה לפתיחת סוגריים!
💡 למה זה חשוב?
- פתרון משוואות ממעלה שנייה ומעלה
- צמצום שברים אלגבריים
- מציאת נקודות חיתוך עם ציר x
1️⃣ הוצאת גורם משותף
מוציאים את הגורם המשותף הגדול ביותר (ג.מ.ג) לכל האיברים
דוגמה 1: \(6x^2 + 9x\)
ג.מ.ג: \(3x\)
\(= 3x(2x + 3)\)
דוגמה 2: \(4x^3 - 8x^2 + 12x\)
ג.מ.ג: \(4x\)
\(= 4x(x^2 - 2x + 3)\)
2️⃣ נוסחאות קיצור
| שם | נוסחה |
|---|---|
| הפרש ריבועים | \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) |
| ריבוע סכום | \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) |
| ריבוע הפרש | \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) |
דוגמה 3 (הפרש ריבועים): \(x^2 - 9\)
\(= x^2 - 3^2\)
\(= (x-3)(x+3)\)
דוגמה 4 (הפרש ריבועים): \(4x^2 - 25\)
\(= (2x)^2 - 5^2\)
\(= (2x-5)(2x+5)\)
דוגמה 5 (ריבוע סכום): \(x^2 + 6x + 9\)
\(= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2\)
\(= (x+3)^2\)
דוגמה 6 (ריבוע הפרש): \(x^2 - 10x + 25\)
\(= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2\)
\(= (x-5)^2\)
3️⃣ פירוק טרינום (תלת-איבר)
עבור \(x^2 + bx + c\) מחפשים שני מספרים שסכומם b ומכפלתם c
\(x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)\)
כאשר \(m + n = b\) וגם \(m \cdot n = c\)
דוגמה 7: \(x^2 + 5x + 6\)
מחפשים שני מספרים: סכום = 5, מכפלה = 6
המספרים: 2 ו-3 (כי \(2+3=5\) וגם \(2 \cdot 3=6\))
\(= (x+2)(x+3)\)
דוגמה 8: \(x^2 - 7x + 12\)
סכום = -7, מכפלה = 12
המספרים: -3 ו-4 (כי \(-3+(-4)=-7\) וגם \((-3) \cdot (-4)=12\))
\(= (x-3)(x-4)\)
דוגמה 9: \(x^2 + 2x - 15\)
סכום = 2, מכפלה = -15
המספרים: 5 ו-(-3) (כי \(5+(-3)=2\) וגם \(5 \cdot (-3)=-15\))
\(= (x+5)(x-3)\)
4️⃣ פירוק טרינום עם מקדם (a≠1)
עבור \(ax^2 + bx + c\) משתמשים בשיטת ה"פיצול":
מחפשים שני מספרים m, n כך ש: \(m + n = b\) וגם \(m \cdot n = a \cdot c\)
דוגמה 10: \(2x^2 + 7x + 3\)
\(a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6\)
מחפשים: סכום = 7, מכפלה = 6 → המספרים: 1 ו-6
מפצלים: \(2x^2 + x + 6x + 3\)
מקבצים: \(x(2x + 1) + 3(2x + 1)\)
\(= (2x + 1)(x + 3)\)
דוגמה 11: \(3x^2 - 10x + 8\)
\(a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24\)
מחפשים: סכום = -10, מכפלה = 24 → המספרים: -4 ו-(-6)
מפצלים: \(3x^2 - 4x - 6x + 8\)
מקבצים: \(x(3x - 4) - 2(3x - 4)\)
\(= (3x - 4)(x - 2)\)
5️⃣ פירוק על ידי קיבוץ
דוגמה 12: \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6\)
מקבצים זוגות:
\(= (x^3 + 2x^2) + (3x + 6)\)
\(= x^2(x + 2) + 3(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x^2 + 3)\)
דוגמה 13: \(xy + 2x + 3y + 6\)
\(= x(y + 2) + 3(y + 2)\)
\(= (y + 2)(x + 3)\)
📋 סדר עבודה לפירוק
- תמיד קודם: הוצאת גורם משותף
- שני איברים: האם זה הפרש ריבועים?
- שלושה איברים: האם זה ריבוע סכום/הפרש? או טרינום רגיל?
- ארבעה איברים: נסו קיבוץ
- בסוף: בדקו ע"י פתיחת סוגריים!
💡 טיפים למבחן
תמיד קודם: גורם משותף!
הפרש ריבועים: a² - b²
בדקו: פתחו סוגריים!
📝 סיכום השיטות
1. גורם משותף | 2. נוסחאות קיצור | 3. טרינום
4. טרינום עם מקדם | 5. קיבוץ