טכניקה אלגברית משוואות נעלם במכנה
טכניקה אלגברית
משוואות עם נעלמים במכנה
📐 מהי משוואה עם נעלם במכנה?
משוואה שבה המשתנה (x) מופיע במכנה של לפחות שבר אחד
דוגמאות:
\(\frac{3}{x} = 6\) \(\frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1\)
📋 שיטת הפתרון
- מוצאים את תחום ההגדרה
מאפסים כל מכנה ומוציאים את הערכים האסורים
- מוצאים מכנה משותף
לכל השברים במשוואה
- כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף
זה "מבטל" את כל המכנים!
- פותרים את המשוואה הרגילה
- בודקים שהפתרון בתחום!
אם הפתרון הוא ערך אסור - אין פתרון!
✏️ דוגמה 1 - משוואה פשוטה
פתרו: \(\frac{6}{x} = 2\)
שלב 1 - תחום: \(x \neq 0\)
שלב 2 - כופלים ב-x:
\(x \cdot \frac{6}{x} = 2 \cdot x\)
\(6 = 2x\)
שלב 3 - פותרים:
\(x = 3\)
שלב 4 - בדיקת תחום: \(3 \neq 0\) ✓
תשובה: \(x = 3\)
✏️ דוגמה 2 - שני שברים
פתרו: \(\frac{3}{x-1} = \frac{6}{x+2}\)
תחום: \(x \neq 1, x \neq -2\)
מכפלה צולבת:
\(3(x+2) = 6(x-1)\)
\(3x + 6 = 6x - 6\)
\(12 = 3x\)
\(x = 4\)
בדיקת תחום: \(4 \neq 1, 4 \neq -2\) ✓
תשובה: \(x = 4\)
✏️ דוגמה 3 - חיבור שברים
פתרו: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x} = 10\)
תחום: \(x \neq 0\)
מאחדים שברים (מכנה זהה):
\(\frac{2+3}{x} = 10\)
\(\frac{5}{x} = 10\)
כופלים ב-x:
\(5 = 10x\)
\(x = 0.5\)
בדיקת תחום: \(0.5 \neq 0\) ✓
תשובה: \(x = 0.5\)
✏️ דוגמה 4 - משוואה מורכבת
פתרו: \(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{x^2-1}\)
תחום: \(x^2 - 1 \neq 0\) → \(x \neq 1, x \neq -1\)
מכנה משותף: \((x-1)(x+1) = x^2-1\)
כופלים במכנה המשותף:
\(2(x+1) + 3(x-1) = 5\)
\(2x + 2 + 3x - 3 = 5\)
\(5x - 1 = 5\)
\(5x = 6\)
\(x = \frac{6}{5}\)
בדיקת תחום: \(\frac{6}{5} \neq 1, \frac{6}{5} \neq -1\) ✓
תשובה: \(x = \frac{6}{5} = 1.2\)
⚠️ פתרון זר
פתרון זר = פתרון שיוצא מהפתרון אבל לא בתחום ההגדרה!
יש לפסול אותו!
דוגמה 5: \(\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}\)
תחום: \(x \neq 2\)
כופלים ב-\((x-2)\):
\(x = 2\)
בדיקת תחום: \(x = 2\) אבל \(x \neq 2\)!
זהו פתרון זר - אין פתרון למשוואה!
💡 טיפים למבחן
קודם כל: תחום הגדרה!
בסוף: בדקו פתרון זר!
זהו: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)
📝 סיכום
1. תחום הגדרה → 2. מכנה משותף → 3. כפל → 4. פתרון → 5. בדיקה!
⚠️ היזהרו מפתרון זר!