טכניקה אלגברית ט משוואה ריבועית משוואה ממעלה שנייה
טכניקה אלגברית - ט'
פתרון משוואה ממעלה שנייה
📐 מהי משוואה ממעלה שנייה?
משוואה ממעלה שנייה היא משוואה מהצורה:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
כאשר \(a \neq 0\)
דוגמאות:
- \(x^2 - 5x + 6 = 0\) (a=1, b=-5, c=6)
- \(2x^2 + 3x - 2 = 0\) (a=2, b=3, c=-2)
- \(x^2 - 9 = 0\) (a=1, b=0, c=-9)
📊 נוסחת השורשים (נוסחת הפתרון)
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
💡 שני פתרונות:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Δ הדיסקרימיננטה
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
💡 הדיסקרימיננטה קובעת את מספר הפתרונות:
| \(\Delta > 0\) | שני פתרונות שונים |
| \(\Delta = 0\) | פתרון אחד (כפול) |
| \(\Delta < 0\) | אין פתרון (במספרים ממשיים) |
✏️ דוגמאות - שימוש בנוסחה
דוגמה 1: פתרו \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(a = 1, b = -5, c = 6\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\)
תשובה: \(x = 2\) או \(x = 3\)
דוגמה 2: פתרו \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
\(a = 1, b = -4, c = 4\)
\(\Delta = 16 - 16 = 0\)
\(x = \frac{4}{2} = 2\)
תשובה: \(x = 2\) (פתרון כפול)
🔧 שיטות פתרון נוספות
1. פירוק לגורמים:
כשאפשר לפרק את המשוואה למכפלה.
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\((x - 2)(x - 3) = 0\)
\(x = 2\) או \(x = 3\)
2. הוצאת שורש (כש-b=0):
\(x^2 - 9 = 0\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm 3\)
3. הוצאת גורם משותף (כש-c=0):
\(x^2 - 5x = 0\)
\(x(x - 5) = 0\)
\(x = 0\) או \(x = 5\)
📐 נוסחאות וייטה (יחסי שורשים)
אם \(x_1, x_2\) הם שורשי המשוואה \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) (סכום השורשים)
\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) (מכפלת השורשים)
דוגמה: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
סכום: \(2 + 3 = 5 = -\frac{-5}{1}\) ✓
מכפלה: \(2 \cdot 3 = 6 = \frac{6}{1}\) ✓
💡 טיפים למבחן
זהו a, b, c לפני שמתחילים!
חשבו Δ בנפרד
בדקו ע"י הצבה!
📝 סיכום
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(\Delta > 0\) → 2 פתרונות | \(\Delta = 0\) → 1 פתרון | \(\Delta < 0\) → אין