סדרה חשבונית
📐 סדרה חשבונית
איבר כללי, מציאת הפרש ומיקום איבר
🎯 מה זו סדרה חשבונית?
סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע.
דוגמאות:
|
\(2, 5, 8, 11, 14, ...\) הפרש: +3 |
\(20, 17, 14, 11, 8, ...\) הפרש: −3 |
🔤 סימונים בסיסיים
| סימון | משמעות | דוגמה |
|---|---|---|
| \(a_1\) | האיבר הראשון בסדרה | בסדרה 2,5,8,... → \(a_1 = 2\) |
| \(d\) | ההפרש (הדילוג) בין איברים עוקבים | בסדרה 2,5,8,... → \(d = 3\) |
| \(n\) | המיקום (מספר סידורי) של האיבר | האיבר השלישי → \(n = 3\) |
| \(a_n\) | האיבר הכללי - האיבר במקום ה-n | האיבר במקום ה-10 → \(a_{10}\) |
⭐ נוסחת האיבר הכללי
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
💡 הסבר הנוסחה:
כדי להגיע מהאיבר הראשון לאיבר ה-n, צריך לדלג \(n-1\) פעמים
🎵 לזכור: "איבר ראשון, ועוד (מספר מקום פחות אחד) כפול הפרש"
✏️ דוגמה 1: מציאת איבר לפי מיקום
שאלה: בסדרה חשבונית \(a_1 = 5\) ו-\(d = 4\). מצאו את \(a_{20}\).
פתרון:
נציב בנוסחה: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
\(a_{20} = 5 + (20-1) \cdot 4\)
\(a_{20} = 5 + 19 \cdot 4\)
\(a_{20} = 5 + 76 = 81\)
תשובה: \(a_{20} = 81\)
🔍 מציאת ההפרש (d)
שיטה 1: מאיברים עוקבים
\(d = a_{n+1} - a_n\)
ההפרש = איבר הבא פחות איבר נוכחי
שיטה 2: משני איברים כלשהם
\(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\)
ההפרש בין הערכים חלקי ההפרש בין המיקומים
✏️ דוגמה 2: מציאת ההפרש
שאלה: בסדרה חשבונית \(a_3 = 11\) ו-\(a_7 = 27\). מצאו את \(d\).
פתרון:
נשתמש בנוסחה: \(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\)
\(d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{27 - 11}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
תשובה: \(d = 4\)
💡 הסבר: בין האיבר השלישי לשביעי יש 4 "קפיצות" (7−3=4).
ההפרש בערכים הוא 16, אז כל קפיצה = 16÷4 = 4
📍 מציאת מיקום איבר (n)
מהנוסחה \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\) נבודד את \(n\):
\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)
פיתוח הנוסחה:
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
\(a_n - a_1 = (n-1) \cdot d\)
\(\frac{a_n - a_1}{d} = n-1\)
\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)
✏️ דוגמה 3: מציאת מיקום
שאלה: בסדרה חשבונית \(a_1 = 7\) ו-\(d = 3\). באיזה מקום נמצא האיבר 52?
פתרון:
נציב \(a_n = 52\) בנוסחה:
\(52 = 7 + (n-1) \cdot 3\)
\(52 - 7 = (n-1) \cdot 3\)
\(45 = (n-1) \cdot 3\)
\(n-1 = 15\)
\(n = 16\)
תשובה: האיבר 52 נמצא במקום ה-16
🏁 מציאת האיבר הראשון (a₁)
מהנוסחה נבודד את \(a_1\):
\(a_1 = a_n - (n-1) \cdot d\)
✏️ דוגמה 4:
שאלה: בסדרה חשבונית \(a_8 = 50\) ו-\(d = 6\). מצאו את \(a_1\).
\(a_1 = a_8 - (8-1) \cdot d\)
\(a_1 = 50 - 7 \cdot 6\)
\(a_1 = 50 - 42 = 8\)
תשובה: \(a_1 = 8\)
❓ בדיקה אם מספר שייך לסדרה
שיטה: נציב את המספר כ-\(a_n\) ונבדוק אם \(n\) יוצא מספר טבעי (שלם וחיובי)
✏️ דוגמה 5:
שאלה: בסדרה \(a_1 = 3\), \(d = 5\). האם 48 שייך לסדרה?
\(48 = 3 + (n-1) \cdot 5\)
\(45 = (n-1) \cdot 5\)
\(n-1 = 9\)
\(n = 10\) ✓ (מספר טבעי)
תשובה: כן! 48 הוא האיבר ה-10 בסדרה
✏️ דוגמה 6:
שאלה: באותה סדרה, האם 50 שייך לסדרה?
\(50 = 3 + (n-1) \cdot 5\)
\(47 = (n-1) \cdot 5\)
\(n-1 = 9.4\)
\(n = 10.4\) ✗ (לא מספר טבעי!)
תשובה: לא! 50 אינו שייך לסדרה
📋 סיכום הנוסחאות
| מה מחפשים | נוסחה |
|---|---|
| איבר כללי | \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\) |
| הפרש (מאיברים עוקבים) | \(d = a_{n+1} - a_n\) |
| הפרש (מאיברים כלשהם) | \(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\) |
| מיקום איבר | \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\) |
| איבר ראשון | \(a_1 = a_n - (n-1) \cdot d\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ לזהות את הנתונים
קודם לזהות מה נתון: \(a_1\)? \(d\)? איזה איבר?
2️⃣ (n−1) ולא n
טעות נפוצה! בנוסחה זה \((n-1)\) ולא \(n\)
3️⃣ הפרש שלילי
אם הסדרה יורדת, ההפרש \(d\) שלילי!
4️⃣ לבדוק הגיון
מיקום חייב להיות מספר טבעי (שלם וחיובי)
📝 הנוסחה המרכזית
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
מהנוסחה הזו אפשר לבודד כל משתנה שצריך!