אסימפטוטה אופקית
➡️ אסימפטוטה אופקית
מה קורה לפונקציה כש-x שואף לאינסוף
🎯 למה זה חשוב?
אסימפטוטה אופקית מתארת את ההתנהגות של הפונקציה "בקצוות" - כשהולכים ימינה או שמאלה לאינסוף.
🔑 השאלה המרכזית: מה קורה ל-\(f(x)\) כאשר \(x \to \infty\) או \(x \to -\infty\)?
זה עוזר לנו לשרטט את הגרף ולהבין לאן הוא "מתיישר" בקצוות.
📐 מהי אסימפטוטה אופקית?
אסימפטוטה אופקית = קו אופקי שהגרף מתקרב אליו כש-\(x\) שואף לאינסוף
אם \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\) (או \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\))
אז משוואת האסימפטוטה האופקית היא: \(y = L\)
💡 הבדל מאסימפטוטה אנכית:
• אנכית: \(x = a\) (קו אנכי, \(y\) שואף לאינסוף)
• אופקית: \(y = L\) (קו אופקי, \(x\) שואף לאינסוף)
⭐ הכלל המרכזי - השוואת דרגות
עבור פונקציה רציונלית \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), משווים את הדרגה של המונה לדרגה של המכנה:
| יחס הדרגות | הגבול באינסוף | אסימפטוטה אופקית |
|---|---|---|
|
מונה < מכנה דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה |
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\) | \(y = 0\) |
|
מונה = מכנה דרגות שוות |
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{a}{b}\) | \(y = \frac{a}{b}\)
(יחס המקדמים המובילים) |
|
מונה > מכנה דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה |
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\) | אין אסימפטוטה אופקית
(אולי יש אסימפטוטה משופעת) |
✏️ דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: מונה < מכנה
\(f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 4}\)
פתרון:
• דרגת המונה: 1 (החזקה הגבוהה של \(x\) במונה)
• דרגת המכנה: 2 (החזקה הגבוהה של \(x\) במכנה)
מכיוון ש-1 < 2 (מונה < מכנה):
אסימפטוטה אופקית: \(y = 0\)
דוגמה 2: מונה = מכנה
\(f(x) = \frac{4x^2 + x - 1}{2x^2 + 5}\)
פתרון:
• דרגת המונה: 2
• דרגת המכנה: 2
מכיוון ש-2 = 2 (דרגות שוות):
נחשב יחס מקדמים מובילים: \(\frac{4}{2} = 2\)
אסימפטוטה אופקית: \(y = 2\)
דוגמה 3: מונה > מכנה
\(f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x + 1}\)
פתרון:
• דרגת המונה: 3
• דרגת המכנה: 1
מכיוון ש-3 > 1 (מונה > מכנה):
אין אסימפטוטה אופקית
(הפונקציה שואפת לאינסוף כש-\(x\) שואף לאינסוף)
דוגמה 4: הפונקציה הקלאסית \(\frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
פתרון:
• דרגת המונה: 0 (קבוע)
• דרגת המכנה: 1
מכיוון ש-0 < 1 (מונה < מכנה):
אסימפטוטה אופקית: \(y = 0\)
🎯 הטריק לחישוב גבול באינסוף
השיטה: מחלקים את המונה והמכנה ב-\(x\) בחזקה הגבוהה ביותר (של המכנה)
דוגמה: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}\)
שלב 1: נחלק ב-\(x^2\) (החזקה הגבוהה)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}\)
שלב 2: נפשט
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}}\)
שלב 3: נציב \(x \to \infty\)
כש-\(x \to \infty\): \(\frac{2}{x} \to 0\) ו- \(\frac{1}{x^2} \to 0\)
\(= \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}\)
אסימפטוטה אופקית: \(y = \frac{3}{5}\)
💡 קיצור דרך: כשהדרגות שוות, פשוט לחלק את המקדמים המובילים!
בדוגמה הזו: \(\frac{3}{5}\) (מקדם של \(x^2\) במונה חלקי מקדם של \(x^2\) במכנה)
📊 טבלה לשינון מהיר
| פונקציה | דרגות | אסימפטוטה אופקית |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | 0 < 1 | \(y = 0\) |
| \(\frac{x}{x^2+1}\) | 1 < 2 | \(y = 0\) |
| \(\frac{x+1}{x-1}\) | 1 = 1 | \(y = \frac{1}{1} = 1\) |
| \(\frac{2x^2}{3x^2+x}\) | 2 = 2 | \(y = \frac{2}{3}\) |
| \(\frac{x^2}{x+1}\) | 2 > 1 | אין |
❓ האם הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית?
הבדל חשוב:
|
אסימפטוטה אנכית הגרף אף פעם לא חוצה (כי שם הפונקציה לא מוגדרת) |
אסימפטוטה אופקית הגרף יכול לחצות (ההתנהגות היא רק בקצוות) |
דוגמה: \(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)
האסימפטוטה האופקית היא \(y = 0\) (ציר ה-\(x\))
אבל הגרף חוצה את ציר ה-\(x\) בנקודה \((0, 0)\)!
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ לזהות דרגות מהר
דרגה = החזקה הכי גבוהה של \(x\)
קבוע = דרגה 0
2️⃣ קיצור דרך
אם דרגות שוות: \(y = \frac{\text{מקדם מוביל במונה}}{\text{מקדם מוביל במכנה}}\)
3️⃣ \(y = ...\) לא \(x = ...\)
אסימפטוטה אופקית היא קו אופקי
משוואה מהצורה \(y = L\)
4️⃣ לבדוק שני הכיוונים
בד"כ הגבול ב-\(+\infty\) וב-\(-\infty\) זהה
אבל לפעמים שואלים על שניהם
📝 סיכום
אסימפטוטה אופקית - השוואת דרגות מונה ומכנה:
| מונה < מכנה | → | \(y = 0\) |
| מונה = מכנה | → | \(y = \frac{a}{b}\) |
| מונה > מכנה | → | אין |
עכשיו אתם מוכנים להמשיך לנושא הבא: נגזרת של מנה (כלל המנה)!