קומבינטוריקה 3 תמורות חלקיות

קומבינטוריקה

דף 3: תמורות חלקיות

🎯 מהי תמורה חלקית?

תמורה חלקית = סידור של k איברים מתוך n איברים

כלומר: בוחרים k איברים ומסדרים אותם (הסדר חשוב!)

💡 ההבדל מתמורה רגילה:

תמורה (רגילה) תמורה חלקית
מסדרים את כל n האיברים מסדרים רק k מתוך n
n! \(P(n,k)\) או \(_nP_k\)

📐 הנוסחה

מספר הדרכים לסדר k איברים מתוך n:

\(P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)\)

(מכפלה של k מספרים רצופים יורדים מ-n)

💡 הסבר אינטואיטיבי:

מקום ראשון: n אפשרויות

מקום שני: n-1 אפשרויות

מקום שלישי: n-2 אפשרויות

...

מקום k: n-k+1 אפשרויות

✏️ דוגמאות בסיסיות

דוגמה 1: בחירת נשיא, סגן ומזכיר

מתוך 10 מועמדים, בכמה דרכים אפשר לבחור נשיא, סגן ומזכיר?

בוחרים 3 אנשים מתוך 10, הסדר חשוב (תפקידים שונים)

\(P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720\)

או: \(\frac{10!}{7!} = \frac{10!}{(10-3)!} = 720\)

דוגמה 2: קוד בן 4 ספרות ללא חזרות

כמה קודים בני 4 ספרות שונות (מ-0 עד 9) אפשר ליצור?

בוחרים 4 ספרות מתוך 10, הסדר חשוב

\(P(10,4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\)

דוגמה 3: סידור 3 רצים על הפודיום

במירוץ משתתפים 8 רצים. כמה אפשרויות לפודיום (מקומות 1,2,3)?

\(P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336\)

🔍 מקרים מיוחדים

מקרה נוסחה הסבר
\(P(n,n)\) \(n!\) תמורה רגילה
\(P(n,1)\) \(n\) בחירת איבר אחד
\(P(n,0)\) \(1\) לא בוחרים כלום - דרך אחת
\(P(n,2)\) \(n(n-1)\) זוגות מסודרים

🎯 דוגמאות מתקדמות

דוגמה 4: מספרים בני 4 ספרות שונות שמתחילים בספרה זוגית

מהספרות 1-9, כמה מספרים בני 4 ספרות שונות מתחילים בספרה זוגית?

ספרות זוגיות ב-1-9: 2, 4, 6, 8 (4 אפשרויות)

שלב 1: ספרה ראשונה זוגית: 4 אפשרויות

שלב 2: שאר 3 הספרות מתוך 8 שנשארו: \(P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336\)

סה"כ: 4 × 336 = 1,344 מספרים

דוגמה 5: מילים מהאותיות A,B,C,D,E כאשר A לפני B

כמה מילים בנות 3 אותיות שונות כאשר A מופיעה לפני B (אם שתיהן מופיעות)?

מקרה 1: A ו-B לא מופיעות שתיהן

• רק A (ללא B): A + 2 מתוך {C,D,E} = \(3 \times P(3,2) = 3 \times 6 = 18\)

• רק B (ללא A): דומה = 18

• ללא A וללא B: \(P(3,3) = 6\)

מקרה 2: גם A וגם B מופיעות

A, B ועוד אות מ-{C,D,E}: 3 אפשרויות לאות השלישית

3 אותיות יכולות להיות מסודרות ב-3! = 6 דרכים

בחצי מהן A לפני B: \(3 \times \frac{6}{2} = 9\)

סה"כ: 18 + 18 + 6 + 9 = 51 מילים

דוגמה 6: ועדת 4 חברים עם יו"ר

מתוך 12 אנשים, בכמה דרכים אפשר לבחור ועדה של 4 אנשים כאשר אחד מהם יו"ר?

שיטה 1: קודם יו"ר, אח"כ שאר

יו"ר: 12 אפשרויות

3 חברים מ-11: צריך צירוף (כי הסדר לא חשוב) = \(\binom{11}{3} = 165\)

סה"כ: 12 × 165 = 1,980

שיטה 2: קודם ועדה, אח"כ יו"ר

4 חברים מ-12: \(\binom{12}{4} = 495\)

יו"ר מתוך 4: 4 אפשרויות

סה"כ: 495 × 4 = 1,980 ✓

⚖️ תמורה חלקית מול צירוף

  תמורה חלקית P(n,k) צירוף C(n,k)
הסדר חשוב לא חשוב
דוגמה מקומות 1,2,3 במירוץ בחירת ועדה
נוסחה \(\frac{n!}{(n-k)!}\) \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
קשר \(P(n,k) = C(n,k) \times k!\)

💡 איך לזהות?

  • תמורה: תפקידים שונים, מקומות, סדר, דירוג
  • צירוף: קבוצה, ועדה, בחירה ללא הבדל

💡 טיפים למבחן

P(n,k) = k מספרים יורדים מ-n

הסדר חשוב? → תמורה

P(n,k) = C(n,k) × k!

📝 סיכום דף 3

\(P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)\)

תמורה חלקית = בחירה + סידור (הסדר חשוב!)