קומבינטוריקה 6 הבינום של ניוטון
קומבינטוריקה
דף 6: הבינום של ניוטון
📐 נוסחת הבינום של ניוטון
פיתוח חזקה של דו-איבר (בינום):
\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
💡 בצורה מפורטת:
\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n}b^n\)
✏️ דוגמאות פיתוח
דוגמה 1: \((a+b)^2\)
\((a+b)^2 = \binom{2}{0}a^2 + \binom{2}{1}a^1b^1 + \binom{2}{2}b^2\)
\(= 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ab + 1 \cdot b^2\)
\(= a^2 + 2ab + b^2\)
דוגמה 2: \((a+b)^3\)
\((a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b + \binom{3}{2}ab^2 + \binom{3}{3}b^3\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
דוגמה 3: \((a+b)^4\)
מקדמים משורה 4 במשולש פסקל: 1, 4, 6, 4, 1
\(= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
דוגמה 4: \((x+2)^4\)
a = x, b = 2
\(= x^4 + 4x^3 \cdot 2 + 6x^2 \cdot 4 + 4x \cdot 8 + 16\)
\(= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)
דוגמה 5: \((2x-3)^3\)
a = 2x, b = -3
\(= (2x)^3 + 3(2x)^2(-3) + 3(2x)(-3)^2 + (-3)^3\)
\(= 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2x \cdot 9 + (-27)\)
\(= 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27\)
🎯 מציאת מקדם ספציפי
האיבר הכללי בפיתוח \((a+b)^n\):
\(T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
(האיבר ה-(k+1) בפיתוח, כאשר k מתחיל מ-0)
✏️ דוגמה 6: מהו המקדם של \(x^3\) בפיתוח \((x+2)^5\)?
a = x, b = 2, n = 5
האיבר הכללי: \(\binom{5}{k} x^{5-k} \cdot 2^k\)
רוצים \(x^3\) → צריך 5-k = 3 → k = 2
\(\binom{5}{2} \cdot x^3 \cdot 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3\)
המקדם: 40
✏️ דוגמה 7: מהו המקדם של \(x^4\) בפיתוח \((3x-2)^6\)?
a = 3x, b = -2, n = 6
האיבר הכללי: \(\binom{6}{k} (3x)^{6-k} \cdot (-2)^k\)
רוצים \(x^4\) → צריך 6-k = 4 → k = 2
\(\binom{6}{2} \cdot (3x)^4 \cdot (-2)^2 = 15 \cdot 81x^4 \cdot 4 = 4860x^4\)
המקדם: 4860
✏️ דוגמה 8: מהו האיבר החופשי (ללא x) בפיתוח \(\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^6\)?
האיבר הכללי: \(\binom{6}{k} (x^2)^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{6}{k} x^{12-2k} \cdot x^{-k}\)
\(= \binom{6}{k} x^{12-3k}\)
איבר חופשי: 12 - 3k = 0 → k = 4
\(\binom{6}{4} = 15\)
האיבר החופשי: 15
📋 זהויות חשובות
| זהות | נוסחה | הוכחה (רמז) |
|---|---|---|
| סכום המקדמים | \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\) | הציבו a=1, b=1 |
| סכום מתחלף | \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0\) | הציבו a=1, b=-1 |
| סכום מקדמים זוגיים | \(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+... = 2^{n-1}\) | מהזהויות הקודמות |
| סכום מקדמים אי-זוגיים | \(\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+... = 2^{n-1}\) | מהזהויות הקודמות |
✏️ דוגמה 9: חשבו: \(\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \binom{10}{2} + ... + \binom{10}{10}\)
זו שורה 10 במשולש פסקל = \(2^{10} = 1024\)
✏️ דוגמה 10: חשבו: \(\binom{8}{0} - \binom{8}{1} + \binom{8}{2} - ... + \binom{8}{8}\)
זה \((1-1)^8 = 0^8 = 0\)
➖ הפרש (a-b)ⁿ
עבור \((a-b)^n\), הסימנים מתחלפים:
\((a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
✏️ דוגמה 11: \((a-b)^4\)
\(= a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
שימו לב: +, -, +, -, + (סימנים מתחלפים)
💡 טיפים למבחן
n+1 איברים בפיתוח
סכום חזקות = n
מקדמים: משורה n בפסקל
(a-b): סימנים מתחלפים
📝 סיכום דף 6
\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
איבר כללי: \(T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
סכום מקדמים = \(2^n\)