מה הפתרון של המשוואה \(x^2 = -1\) ?

\(i = \sqrt{-1}\)

\(i^2 = -1\)

💡 עכשיו יש פתרון!

\(x^2 = -1\)

\(x = \pm\sqrt{-1} = \pm i\)

🔑 איך לחשב \(i^n\)?

מחלקים את n ב-4 ומסתכלים על השארית:

• שארית 0 → \(i^n = 1\)
• שארית 1 → \(i^n = i\)
• שארית 2 → \(i^n = -1\)
• שארית 3 → \(i^n = -i\)

דוגמה: \(i^{23} = ?\)

\(23 \div 4 = 5\) שארית \(3\)

לכן: \(i^{23} = i^3 = -i\)

\(z = a + bi\)

דוגמאות:

שני מספרים מרוכבים שווים אם ורק אם:

\(a + bi = c + di \iff a = c \text{ וגם } b = d\)

💡 במילים: החלקים הממשיים שווים וגם החלקים המדומים שווים.

דוגמה: מצאו x ו-y אם \(2x + 3yi = 6 - 9i\)

\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)

\((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)

💡 הכלל: מחברים/מחסרים חלקים ממשיים בנפרד וחלקים מדומים בנפרד.

דוגמאות:

\((3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i\)

\((5 - 3i) - (2 + i) = (5-2) + (-3-1)i = 3 - 4i\)

\((7 + 2i) + (-7 + 3i) = 0 + 5i = 5i\)

\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

💡 איך לזכור? פותחים סוגריים רגיל ומשתמשים ב-\(i^2 = -1\):

דוגמה: \((2 + 3i)(4 - i)\)

אם \(z = a + bi\), אז הצמוד שלו הוא:

\(\bar{z} = a - bi\)

💡 במילים: מחליפים את הסימן של החלק המדומה בלבד!

דוגמאות:

⭐ תכונה חשובה:

\(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)

(תמיד מספר ממשי אי-שלילי!)

כדי לחלק, מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה:

\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}\)

דוגמה: \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)

בחלק הבא: ערך מוחלט, ייצוג גרפי ומישור מרוכב