\(\sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i\)

(כאשר \(a > 0\))

דוגמאות:

\(\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i\)

\(\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot i = 3i\)

\(\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot i\)

\(\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3} \cdot i\)

⚠️ זהירות! \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \neq \sqrt{ab}\)

למשל: \(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-2} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{2} = i^2 \cdot 2 = -2\)

ולא: \(\sqrt{(-2)(-2)} = \sqrt{4} = 2\) ❌

למשוואה \(ax^2 + bx + c = 0\), הפתרונות הם:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

הדיסקרימיננטה: \(\Delta = b^2 - 4ac\)

כאשר הדיסקרימיננטה שלילית, משתמשים במספרים מרוכבים:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)

💡 תוצאה חשובה:

שני הפתרונות הם תמיד מספרים צמודים!

אם \(z_1 = a + bi\) פתרון, אז גם \(z_2 = a - bi = \bar{z_1}\) פתרון.

פתרו: \(x^2 + 4 = 0\)

פתרון:

תשובה: \(x = 2i\) או \(x = -2i\)

פתרו: \(x^2 - 4x + 13 = 0\)

פתרון:

תשובה: \(x = 2 + 3i\) או \(x = 2 - 3i\)

💡 שימו לב: הפתרונות צמודים זה לזה!

פתרו: \(2x^2 + 2x + 5 = 0\)

פתרון:

תשובה: \(x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) או \(x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i\)

אם \(z_1\) ו-\(z_2\) הם פתרונות, המשוואה היא:

\((x - z_1)(x - z_2) = 0\)

דוגמה: בנו משוואה שפתרונותיה \(z_1 = 1 + 2i\) ו-\(z_2 = 1 - 2i\)

תשובה: \(x^2 - 2x + 5 = 0\)

למשוואה \(x^2 + px + q = 0\) עם פתרונות \(z_1, z_2\):

\(z_1 + z_2 = -p\)

\(z_1 \cdot z_2 = q\)

💡 חשוב:

אם הפתרונות צמודים (\(z_1 = a+bi, z_2 = a-bi\)):

• \(z_1 + z_2 = 2a\) (תמיד ממשי!)
• \(z_1 \cdot z_2 = a^2 + b^2 = |z_1|^2\) (תמיד ממשי חיובי!)

אם \(z_1, z_2\) הם שורשים של \(ax^2 + bx + c\), אז:

\(ax^2 + bx + c = a(x - z_1)(x - z_2)\)

דוגמה: פרקו לגורמים \(x^2 + 4\)

בדיקה:

\((x - 2i)(x + 2i) = x^2 - (2i)^2 = x^2 - 4i^2 = x^2 + 4\) ✓

פרקו לגורמים: \(x^2 - 6x + 13\)

פתרון:

תשובה: \((x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)\)

זה הבסיס של מספרים מרוכבים!