מספרים מרוכבים חלק ה' - נוסחת דה-מואבר
מספרים מרוכבים - חלק ה'
נוסחת דה-מואבר, כפל, חילוק, חזקות ושורשים
✖️ כפל מספרים מרוכבים בצורה קוטבית
אם \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) ו-\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)
\(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)\)
💡 במילים:
- המודולוסים מוכפלים: \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- הזוויות מתחברות: \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
➗ חילוק מספרים מרוכבים בצורה קוטבית
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right)\)
💡 במילים:
- המודולוסים מתחלקים: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- הזוויות מתחסרות: \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
✏️ דוגמה 1: כפל בצורה קוטבית
חשבו:
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
\(z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)
מצאו את \(z_1 \cdot z_2\)
פתרון:
מודולוס: \(r_1 \cdot r_2 = 2 \cdot 3 = 6\)
זווית: \(\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\)
תשובה: \(z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6i\)
⭐ נוסחת דה-מואבר (De Moivre)
\(\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
💡 במילים:
- המודולוס בחזקת n: \(|z^n| = |z|^n\)
- הזווית כפול n: \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\)
⚡ זה עובד גם עבור n שלילי ושברי!
✏️ דוגמה 2: חזקה בצורה קוטבית
חשבו: \((1 + i)^8\)
פתרון:
שלב 1: ממירים לצורה קוטבית
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (רביע I)
\(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
שלב 2: מפעילים דה-מואבר
\((1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right)\)
\(= (\sqrt{2})^8 (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)\)
שלב 3: מחשבים
\((\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^4 = 16\)
\(\cos 2\pi = 1, \quad \sin 2\pi = 0\)
תשובה: \((1+i)^8 = 16 \cdot (1 + 0 \cdot i) = 16\)
✏️ דוגמה 3: חזקה נוספת
חשבו: \(\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{12}\)
פתרון:
שלב 1: מזהים שזה כבר על מעגל היחידה
\(r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1\)
\(\theta = \frac{\pi}{3}\) (כי \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))
שלב 2: דה-מואבר
\(z^{12} = 1^{12} \left(\cos\frac{12\pi}{3} + i\sin\frac{12\pi}{3}\right)\)
\(= \cos 4\pi + i\sin 4\pi = 1\)
תשובה: \(1\)
√ שורשים של מספרים מרוכבים
השורשים מסדר n של \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) הם:
\(z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\)
כאשר \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 תכונות השורשים:
- יש בדיוק n שורשים שונים
- כל השורשים על מעגל ברדיוס \(\sqrt[n]{r}\)
- השורשים מחלקים את המעגל ל-n חלקים שווים
- הזווית בין שורשים סמוכים: \(\frac{2\pi}{n}\)
✏️ דוגמה 4: שורשים שלישיים של 8
מצאו: \(\sqrt[3]{8}\) (כל השורשים המרוכבים)
פתרון:
שלב 1: כותבים 8 בצורה קוטבית
\(8 = 8(\cos 0 + i\sin 0)\)
\(r = 8, \quad \theta = 0\)
שלב 2: מחשבים את שלושת השורשים (k = 0, 1, 2)
\(\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2\)
\(z_k = 2\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3}\right)\)
k = 0:
\(z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2\)
k = 1:
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
k = 2:
\(z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
תשובה: \(z = 2, \, -1+\sqrt{3}i, \, -1-\sqrt{3}i\)
⭕ שורשי יחידה (שורשים של 1)
שורשי היחידה מסדר n (פתרונות \(z^n = 1\)):
\(\omega_k = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}\)
כאשר \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 תכונות:
- כל השורשים על מעגל היחידה (r = 1)
- השורש הראשון תמיד \(\omega_0 = 1\)
- מסומנים לעתים: \(\omega = e^{2\pi i/n}\)
דוגמה: שורשי יחידה מסדר 4
פתרונות \(z^4 = 1\):
\(\omega_0 = 1, \quad \omega_1 = i, \quad \omega_2 = -1, \quad \omega_3 = -i\)
✏️ דוגמה 5: שורשים רביעיים של -1
מצאו: \(\sqrt[4]{-1}\)
פתרון:
שלב 1: \(-1\) בצורה קוטבית
\(-1 = 1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi)\)
שלב 2: נוסחת השורשים
\(z_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{4}\)
k = 0: \(\theta = \frac{\pi}{4}\) → \(z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 1: \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) → \(z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 2: \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) → \(z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 3: \(\theta = \frac{7\pi}{4}\) → \(z_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
תשובה: \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i\) (4 שורשים)
📋 טבלת סיכום - נוסחאות דה-מואבר
| פעולה | מודולוס | ארגומנט |
|---|---|---|
| כפל \(z_1 \cdot z_2\) | \(r_1 \cdot r_2\) | \(\theta_1 + \theta_2\) |
| חילוק \(\frac{z_1}{z_2}\) | \(\frac{r_1}{r_2}\) | \(\theta_1 - \theta_2\) |
| חזקה \(z^n\) | \(r^n\) | \(n\theta\) |
| שורש \(\sqrt[n]{z}\) | \(\sqrt[n]{r}\) | \(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ חזקות
קודם המירו לקוטבי, אז הפעילו דה-מואבר
2️⃣ שורשים
יש n שורשים! אל תשכחו k=0,1,...,n-1
3️⃣ פישוט זוויות
אם \(\theta > 2\pi\), חסרו \(2\pi\)
4️⃣ שרטוט
שורשים על מעגל - שרטטו!
📝 סיכום חלק ה'
נוסחת דה-מואבר:
\([r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
זה סוף הנושא! עכשיו אתם מוכנים למבחנים 🎉