מהו מספר מרוכב?

מספר מרוכב נכתב בצורה: \( z = a + bi \)

כאשר:

• \( a \) – החלק הממשי
• \( b \) – החלק המדומה
• \( i \) – יחידת הדמיון שמקיימת \( i^2 = -1 \)

ייצוג במישור המרוכב

את המספר \( z = a + bi \) מציגים כנקודה \( (a,b) \) במישור המרוכב.

אורך הווקטור (המודולוס): \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

הזווית (ארגומנט): \( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \)

חיבור מספרים מרוכבים

אם

\( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \)

אז:

\( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \)

חיסור מספרים מרוכבים

\( z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \)

כפל שני מספרים מרוכבים

אם

\( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \)

אז:

\( z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

כפל במספר \( i \)

אם

\( z = a + bi \)

אז:

\( iz = i(a+bi) = ai + b i^2 = -b + ai \)

כלומר כפל במספר \( i \) שקול לסיבוב של המספר המרוכב ב־ \(90^\circ\) נגד כיוון השעון במישור.

צורה קוטבית של מספר מרוכב

כל מספר מרוכב ניתן לכתוב גם בצורה:

\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

כאשר:

\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)

נוסחת דה־מואבר (חזקות)

\(z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\)

שורשים של מספר מרוכב

לשורשים מסדר \( n \) של מספר מרוכב \( z \) נקבל:

\(z_k = \sqrt[n]{r}\left( \cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) \right)\)

\(k = 0,1,\dots,n-1\)