💡 המפתח להבנה:

\(f''(x) > 0 \Rightarrow \text{קעור כלפי מעלה} \quad,\quad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{קעור כלפי מטה}\)

1. באיזה תחום הגרף קעור כלפי מעלה (צורת ∪)?

2. באיזה תחום הגרף קעור כלפי מטה (צורת ∩)?

3. כאשר הגרף קעור כלפי מעלה, מה סימן f''(x)?

4. היכן בדיוק נמצאת נקודת הפיתול?

5. מה קורה לגרף הסגול (f'') בנקודת הפיתול?

1. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה זו?

2. מצאו (בערך) את ערכי x של נקודות הפיתול:

3. השלימו: בתחום שבין שתי נקודות הפיתול, הגרף קעור כלפי:

4. מה מיוחד בנקודה x = 0? (רמז: בדקו את f'' שם)

🤔 שאלה חשובה: האם תמיד כש-f''(x) = 0 יש נקודת פיתול?

1. מצאו: עבור איזה ערך x מתקיים f''(x) = 0?

2. האם בנקודה זו יש נקודת פיתול?

3. הסבירו: למה f''(0) = 0 אבל אין שם נקודת פיתול?

4. מהו התנאי המלא לנקודת פיתול?

1. כל כמה מופיעה נקודת פיתול?

2. היכן נמצאות נקודות הפיתול? (רמז: איפה f'' = 0?)

3. השלימו: כאשר f = sin(x), הנגזרת השנייה היא f'' = ______

4. מדוע הגיוני שנקודות הפיתול של sin(x) הן איפה ש-sin(x) = 0?

⚠️ זכרו: התנאי ההכרחי לא מספיק!

$$f''(x_0) = 0 \text{ הוא תנאי הכרחי לנקודת פיתול, אבל לא מספיק!}$$

צריך גם ש-f'' תחליף סימן בנקודה זו (ראו את הדוגמה הנגדית f(x) = x⁴).

1. נתונה פונקציה f כך ש: f''(x) > 0 לכל x < 2 וגם f''(x) < 0 לכל x > 2.

א) באילו תחומים הפונקציה קעורה כלפי מעלה?

ב) האם x = 2 היא נקודת פיתול? הסבירו.

2. נתון גרף של f''(x) שחותך את ציר x בנקודות x = -1 ו-x = 3.

א) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f (לכל היותר)?

ב) האם בהכרח יש שם נקודות פיתול? הסבירו.

פתרון: