מדד ספירמן למשתנים סידוריים
סטטיסטיקה
מדד ספירמן למשתנים סידוריים
📊 מתי משתמשים בספירמן?
מתאם ספירמן (\(r_s\)) מודד קשר בין שני משתנים סידוריים (או משתנים שניתן לדרג).
💡 מתאים כאשר:
- הנתונים הם דירוגים (מקום 1, 2, 3...)
- משתנים סידוריים (נמוך/בינוני/גבוה)
- הקשר מונוטוני אך לא בהכרח ליניארי
- יש ערכים חריגים (ספירמן עמיד יותר מפירסון)
💡 הרעיון מאחורי ספירמן
ספירמן עובד על דירוגים, לא על הערכים המקוריים:
- ממירים כל משתנה לדירוגים (1, 2, 3, ...)
- מחשבים את ההפרש בין הדירוגים (\(d_i\))
- מדד הקשר מבוסס על הפרשי הדירוגים
איור: קשר מונוטוני (לא ליניארי)
📐 נוסחת ספירמן
כאשר אין דירוגים כפולים (קשרים):
\(r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}\)
כאשר \(d_i = R_{X_i} - R_{Y_i}\) = ההפרש בין הדירוגים
💡 תכונות:
- \(-1 \leq r_s \leq 1\)
- \(r_s = 1\) → קשר מונוטוני עולה מושלם
- \(r_s = -1\) → קשר מונוטוני יורד מושלם
- \(r_s = 0\) → אין קשר מונוטוני
✏️ דוגמה מלאה
נתונים: 8 סטודנטים - שעות לימוד וציון במבחן
| סטודנט | שעות (X) | ציון (Y) | דירוג X | דירוג Y | d | d² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 55 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 4 | 62 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| C | 5 | 70 | 3 | 4 | -1 | 1 |
| D | 6 | 68 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| E | 8 | 78 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| F | 10 | 85 | 6 | 6 | 0 | 0 |
| G | 12 | 92 | 7 | 8 | -1 | 1 |
| H | 15 | 88 | 8 | 7 | 1 | 1 |
| סכום | Σd² = 4 | |||||
\(r_s = 1 - \frac{6 \times 4}{8(64-1)} = 1 - \frac{24}{8 \times 63} = 1 - \frac{24}{504} = 1 - 0.048 = 0.952\)
פרשנות: קשר חיובי חזק מאוד בין שעות לימוד לציון
🔗 טיפול בדירוגים כפולים (Ties)
כאשר יש ערכים זהים, נותנים להם את הדירוג הממוצע:
✏️ דוגמה:
נתונים: 15, 20, 20, 25, 30
15 → דירוג 1
20, 20 → תופסים מקומות 2 ו-3 → דירוג ממוצע: (2+3)/2 = 2.5
25 → דירוג 4
30 → דירוג 5
הדירוגים הסופיים: 1, 2.5, 2.5, 4, 5
✏️ דוגמה נוספת:
נתונים: 10, 20, 20, 20, 30
10 → דירוג 1
20, 20, 20 → תופסים מקומות 2, 3, 4 → דירוג ממוצע: (2+3+4)/3 = 3
30 → דירוג 5
הדירוגים הסופיים: 1, 3, 3, 3, 5
⚠️ שימו לב:
כשיש הרבה דירוגים כפולים, הנוסחה הפשוטה פחות מדויקת.
במקרה כזה, משתמשים בנוסחה מתוקנת או מחשבים מתאם פירסון על הדירוגים.
📊 פרשנות מתאם ספירמן
| ערך |rs| | עוצמת הקשר |
|---|---|
| 0 - 0.2 | זניח / אין קשר |
| 0.2 - 0.4 | חלש |
| 0.4 - 0.6 | בינוני |
| 0.6 - 0.8 | חזק |
| 0.8 - 1.0 | חזק מאוד |
💡 הסימן חשוב:
- rs > 0: קשר חיובי - כשאחד עולה, השני עולה
- rs < 0: קשר שלילי - כשאחד עולה, השני יורד
⚖️ ספירמן מול פירסון
| ספירמן (rs) | פירסון (r) | |
|---|---|---|
| עובד על | דירוגים | ערכים מקוריים |
| מודד קשר | מונוטוני (כללי) | ליניארי בלבד |
| רגיש לחריגים | פחות רגיש | רגיש |
| סולם מדידה | סידורי ומעלה | רווחי/מנתי |
💡 טיפים למבחן
דירוג 1 = הנמוך ביותר
זהים: דירוג ממוצע
נוסחה: \(1 - \frac{6\Sigma d^2}{n(n^2-1)}\)
📝 סיכום דף 10
\(r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}\)
מודד קשר מונוטוני, עמיד לחריגים
טווח: [-1, 1]