🔹 חלק א': הגדרה גאומטרית של אליפסה

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שעבורן סכום המרחקים משתי נקודות קבועות, הנקראות מוקדים, הוא מספר קבוע.

בכתיב מתמטי: \[ \{P(x,y)\mid PF_1 + PF_2 = 2a\} \] כאשר \(F_1, F_2\) הם המוקדים ו־(2a) הוא הקבוע.

המאפיין: המרחק הכולל מהמוקדים קצר יותר ממעגל, אך גדול יותר ממספר מסוים — כך נקבעת הצורה האליפטית.

🔹 חלק ב': אליפסה ככיווץ/מתיחה של מעגל

אליפסה יכולה להתקבל גם כמתיחה או כיווץ של מעגל לאורך אחד הצירים.

למשל: מעגל היחידה \[ x^2 + y^2 = 1 \] הופך לאליפסה על ידי כיווץ בציר ה-x או בציר ה-y:

\(\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\)

גישה זו עוזרת מאוד להבנת האליפסה כאובייקט סימטרי ומדויק, שאינו "אלכסוני".

🔹 חלק ג': הצבת המוקדים ובחירת מערכת צירים

מקובל לבחור מערכת צירים כך שהמוקדים יהיו סימטריים ביחס לאחד הצירים.

• מוקדים על ציר ה-x: \[ F_1(-c,0),\quad F_2(c,0) \]
• מוקדים על ציר ה-y: \[ F_1(0,-c),\quad F_2(0,c) \]

הבחירה קובעת אם ציר האליפסה הראשי הוא אופקי או אנכי.

🔹 חלק ד': הסקת המשוואה הקנונית של אליפסה

עבור אליפסה אופקית מתקבל:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

קשר בין הפרמטרים:

\(c^2 = a^2 - b^2\)

כאשר:

• 2a - הציר הראשי (אופקי)
• 2b - הציר המשני
• 2c - המרחק בין המוקדים

אליפסה אנכית:

\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)

🔹 חלק ה': תכונות הסימטריה של האליפסה

• האליפסה סימטרית ביחס לשני הצירים.
• ראשי האליפסה נמצאים על ציר הסימטריה הראשי: \[ (\pm a , 0) \text{ או } (0 , \pm a) \]
• נקודות הציר המשני: \[ (0 , \pm b) \text{ או } (\pm b , 0) \]
• האליפסה סגורה ומוגבלת — בניגוד לפרבולה.

🔹 חלק ו': מצבים הדדיים בין אליפסה לישר/מעגל

✔ אליפסה וישר

פתרון מערכת של אליפסה וגרף של ישר מביא למצבים הבאים:

• שני פתרונות - שני חיתוכים
• פתרון כפול - משיק
• ללא פתרון - אין חיתוך

שוב, משיק ⇔ דיסקרימיננט = 0.

✔ אליפסה ומעגל

כאשר מרכז המעגל נמצא על ציר ה-x או ציר ה-y, הפתרון פשוט יחסית.

• כמויות הפתרונות: 0, 1, 2, 3, 4
• משיק ⇔ פתרון אחד כפול

🔹 חלק ז': בעיות מקום גאומטרי - אליפסה

כאשר בעיה נתונה כ"מקום גאומטרי של נקודה כך שסכום מרחקים משתי נקודות קבועות הוא קבוע" התשובה תהיה תמיד אליפסה.

יש להציב מרחקים, לפתח אלגברית, לבצע ריבוע פעמיים ולסדר למשוואה הקנונית.