פונקציות מעריכיות - תכונות ותיאור גרפי
פונקציות מעריכיות
הגדרה, תכונות ותיאור גרפי
🌟 מהי פונקציה מעריכית?
\(f(x) = a^x\)
כאשר \(a > 0\) ו-\(a \neq 1\)
בפונקציה מעריכית, המשתנה x נמצא במעריך (בחזקה).
זו ההפך מפונקציית חזקה (\(x^n\)) שם הבסיס הוא המשתנה.
💡 דוגמאות מחיי היום יום:
- גידול אוכלוסייה
- ריבית דריבית בבנק
- התפשטות וירוס
- דעיכה רדיואקטיבית
- חימום/קירור של גוף
❓ למה \(a > 0\) ו-\(a \neq 1\)?
למה a > 0?
אם a < 0, לחלק מהערכים של x (כמו x = ½) נקבל שורש ממספר שלילי - לא מוגדר בממשיים.
דוגמה: \((-4)^{0.5} = \sqrt{-4}\) ✗
למה a ≠ 1?
אם a = 1, נקבל פונקציה קבועה משעממת:
\(1^x = 1\) לכל x
זה לא מעניין!
📊 שני סוגי פונקציות מעריכיות
a > 1
פונקציה עולה (גידול מעריכי)
- הגרף עולה משמאל לימין
- ככל ש-a גדול יותר, העלייה תלולה יותר
- דוגמאות: \(2^x, 3^x, e^x, 10^x\)
0 < a < 1
פונקציה יורדת (דעיכה מעריכית)
- הגרף יורד משמאל לימין
- ככל ש-a קטן יותר, הירידה תלולה יותר
- דוגמאות: \(0.5^x, 0.1^x, \left(\frac{1}{2}\right)^x\)
📋 תכונות משותפות לכל פונקציה מעריכית
| תכונה | ערך |
|---|---|
| תחום הגדרה | \(\mathbb{R}\) (כל הממשיים) |
| תחום ערכים | \((0, \infty)\) - תמיד חיובי! |
| חיתוך עם ציר Y | (0, 1) - תמיד! כי \(a^0 = 1\) |
| חיתוך עם ציר X | אין! הגרף לא חותך את ציר X |
| אסימפטוטה | ציר X הוא אסימפטוטה אופקית (y = 0) |
| רציפות | רציפה בכל תחום ההגדרה |
| נקודות קיצון | אין! (מונוטונית) |
📈 השוואה גרפית
💡 שימו לב: כל הגרפים עוברים דרך הנקודה (0, 1)!
🪞 הקשר בין \(a^x\) ו-\(\left(\frac{1}{a}\right)^x\)
\(\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}\)
משמעות גיאומטרית:
הגרפים של \(a^x\) ו-\(\left(\frac{1}{a}\right)^x\) הם שיקוף זה של זה ביחס לציר Y!
דוגמה:
- \(2^x\) ו-\(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\) → שיקוף ביחס לציר Y
- \(3^x\) ו-\(\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}\) → שיקוף ביחס לציר Y
🔢 ערכים חשובים לזכור
| x | \(2^x\) | \(e^x\) | \(10^x\) |
|---|---|---|---|
| -2 | 0.25 | ≈ 0.135 | 0.01 |
| -1 | 0.5 | ≈ 0.368 | 0.1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | ≈ 2.718 | 10 |
| 2 | 4 | ≈ 7.389 | 100 |
| 3 | 8 | ≈ 20.09 | 1000 |
💡 המספר e: \(e \approx 2.718...\) הוא קבוע מתמטי חשוב (בסיס הלוגריתם הטבעי)
⚖️ טבלת השוואה: a > 1 מול 0 < a < 1
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| מונוטוניות | עולה | יורדת |
| כש-x → ∞ | \(a^x \to \infty\) | \(a^x \to 0\) |
| כש-x → -∞ | \(a^x \to 0\) | \(a^x \to \infty\) |
| דוגמאות | \(2^x, e^x, 10^x\) | \(0.5^x, 0.1^x\) |
| משמעות | גידול מעריכי | דעיכה מעריכית |
📝 סיכום
\(f(x) = a^x\) כאשר a > 0 ו-a ≠ 1
a > 1 → עולה | 0 < a < 1 → יורדת
תמיד עובר דרך (0, 1) | תמיד חיובי | אסימפטוטה y = 0