אי-שוויונות מעריכיים
פונקציות מעריכיות
אי-שוויונות מעריכיים
📐 מהו אי-שוויון מעריכי?
אי-שוויון מעריכי הוא אי-שוויון שבו הנעלם נמצא במעריך
דוגמאות:
- \(2^x > 8\)
- \(3^{x-1} \leq 27\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^x < 4\)
⚠️ הכלל החשוב ביותר!
a > 1
הפונקציה עולה
כיוון אי-השוויון נשמר!
\(a^m > a^n \Rightarrow m > n\)
0 < a < 1
הפונקציה יורדת
כיוון אי-השוויון מתהפך!
\(a^m > a^n \Rightarrow m < n\)
💡 איך לזכור?
פונקציה עולה → אותו כיוון
פונקציה יורדת → כיוון הפוך (כמו כפל במספר שלילי!)
📝 סוג 1: בסיס גדול מ-1 (a > 1)
✏️ דוגמה 1: פתור \(2^x > 8\)
פתרון:
\(2^x > 2^3\)
הבסיס 2 > 1 → הכיוון נשמר:
\(x > 3\)
✏️ דוגמה 2: פתור \(3^{2x-1} \leq 27\)
פתרון:
\(3^{2x-1} \leq 3^3\)
הבסיס 3 > 1 → הכיוון נשמר:
\(2x - 1 \leq 3\)
\(2x \leq 4\)
\(x \leq 2\)
✏️ דוגמה 3: פתור \(5^{x+2} > 5^{3x-4}\)
פתרון:
הבסיס 5 > 1 → הכיוון נשמר:
\(x + 2 > 3x - 4\)
\(6 > 2x\)
\(x < 3\)
📝 סוג 2: בסיס קטן מ-1 (0 < a < 1)
⚠️ הכיוון מתהפך!
✏️ דוגמה 1: פתור \(\left(\frac{1}{2}\right)^x < 4\)
פתרון:
נכתוב 4 כחזקה של ½:
\(4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
הבסיס ½ < 1 → הכיוון מתהפך:
\(x > -2\)
✏️ דוגמה 2: פתור \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq 9\)
פתרון:
\(9 = 3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
הבסיס ⅓ < 1 → הכיוון מתהפך:
\(x - 1 \leq -2\)
\(x \leq -1\)
✏️ דוגמה 3: פתור \(0.5^{2x} > 0.5^{x+3}\)
פתרון:
הבסיס 0.5 < 1 → הכיוון מתהפך:
\(2x < x + 3\)
\(x < 3\)
📝 סוג 3: הצבה (אי-שוויון ריבועי סמוי)
✏️ דוגמה: פתור \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \leq 0\)
פתרון:
נציב \(t = 2^x\) (t > 0):
\(t^2 - 5t + 4 \leq 0\)
\((t-1)(t-4) \leq 0\)
פתרון: \(1 \leq t \leq 4\)
חזרה ל-x:
\(2^0 \leq 2^x \leq 2^2\)
\(0 \leq x \leq 2\)
✏️ דוגמה: פתור \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 > 0\)
פתרון:
נציב \(t = 3^x\) (t > 0):
\(t^2 - 10t + 9 > 0\)
\((t-1)(t-9) > 0\)
פתרון: \(t < 1\) או \(t > 9\)
חזרה ל-x:
\(3^x < 3^0\) → \(x < 0\)
\(3^x > 3^2\) → \(x > 2\)
תשובה: \(x < 0\) או \(x > 2\)
📋 טבלת סיכום
| בסיס | אי-שוויון | תוצאה |
|---|---|---|
| a > 1 | \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) | \(f(x) > g(x)\) |
| \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) | \(f(x) < g(x)\) | |
| 0 < a < 1 | \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) | \(f(x) < g(x)\) ⚠️ |
| \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) | \(f(x) > g(x)\) ⚠️ |
💡 טיפים למבחן
1. תמיד בדקו את הבסיס!
2. a > 1 → אותו כיוון
3. 0 < a < 1 → כיוון הפוך!
4. הצבה: t > 0 תמיד!
📝 סיכום
a > 1 (עולה) → כיוון נשמר
0 < a < 1 (יורדת) → כיוון מתהפך!
בהצבה: לא לשכוח t > 0