גדילה ודעיכה מעריכית - מבוא ונוסחה
גדילה ודעיכה מעריכית
מבוא, הנוסחה והבנת הגרף
🌱 מהי גדילה/דעיכה מעריכית?
כשכמות משתנה באחוז קבוע בכל יחידת זמן, השינוי הוא מעריכי.
📈 גדילה מעריכית
הכמות גדלה באחוז קבוע
- גידול אוכלוסייה
- ריבית דריבית
- התפשטות וירוס
- גידול חיידקים
📉 דעיכה מעריכית
הכמות קטנה באחוז קבוע
- דעיכה רדיואקטיבית
- ירידת ערך מכונית
- פינוי תרופה מהגוף
- קירור גוף חם
⭐ הנוסחה המרכזית
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
| \(f(t)\) | הכמות לאחר t יחידות זמן |
| \(f(0)\) | הכמות ההתחלתית (בזמן t = 0) |
| \(q\) | מקדם הגדילה/דעיכה (הבסיס) |
| \(t\) | מספר יחידות הזמן שעברו |
🔑 מקדם הגדילה/דעיכה q
\(q = 1 \pm \frac{p}{100}\)
כאשר p הוא אחוז הגדילה/דעיכה ביחידת זמן
גדילה (+)
\(q = 1 + \frac{p}{100}\)
q > 1
דוגמה: גדילה של 5% → q = 1.05
דעיכה (-)
\(q = 1 - \frac{p}{100}\)
0 < q < 1
דוגמה: דעיכה של 10% → q = 0.90
🔢 טבלת המרה:
| אחוז שינוי | q (גדילה) | q (דעיכה) |
|---|---|---|
| 3% | 1.03 | 0.97 |
| 5% | 1.05 | 0.95 |
| 10% | 1.10 | 0.90 |
| 15% | 1.15 | 0.85 |
| 20% | 1.20 | 0.80 |
| 50% | 1.50 | 0.50 |
📊 הבנת הגרף
💡 תכונות הגרף:
- הגרף תמיד עובר דרך הנקודה (0, f(0))
- הגרף תמיד חיובי (מעל ציר t)
- ציר t הוא אסימפטוטה (הגרף מתקרב אבל לא נוגע)
- q > 1: גרף עולה (גדילה)
- 0 < q < 1: גרף יורד (דעיכה)
✏️ דוגמאות בסיסיות
דוגמה 1 - גדילת אוכלוסייה:
אוכלוסיית עיר היא 50,000 תושבים וגדלה ב-3% בשנה. כמה תושבים יהיו אחרי 5 שנים?
פתרון:
- \(f(0) = 50000\)
- \(q = 1 + \frac{3}{100} = 1.03\)
- \(t = 5\)
\(f(5) = 50000 \cdot 1.03^5 = 50000 \cdot 1.159 \approx 57,964\)
תשובה: כ-57,964 תושבים
דוגמה 2 - ירידת ערך מכונית:
מכונית נקנתה ב-120,000 ש"ח. ערכה יורד ב-15% כל שנה. מה ערכה אחרי 3 שנים?
פתרון:
- \(f(0) = 120000\)
- \(q = 1 - \frac{15}{100} = 0.85\)
- \(t = 3\)
\(f(3) = 120000 \cdot 0.85^3 = 120000 \cdot 0.614 \approx 73,695\)
תשובה: כ-73,695 ש"ח
דוגמה 3 - ריבית דריבית:
הופקדו 10,000 ש"ח בבנק בריבית שנתית של 4%. כמה יהיה בחשבון אחרי 10 שנים?
פתרון:
- \(f(0) = 10000\)
- \(q = 1.04\)
- \(t = 10\)
\(f(10) = 10000 \cdot 1.04^{10} = 10000 \cdot 1.480 \approx 14,802\)
תשובה: כ-14,802 ש"ח
📈 קריאה מהגרף
💡 מה אפשר לקרוא מהגרף?
- f(0): ערך y בנקודה t = 0 (חיתוך עם ציר y)
- q: חילוק שני ערכים עוקבים: \(q = \frac{f(1)}{f(0)}\)
- סוג התהליך: גרף עולה = גדילה, גרף יורד = דעיכה
✏️ דוגמה: מהגרף נקרא f(0) = 100, f(1) = 120. מהו q?
\(q = \frac{f(1)}{f(0)} = \frac{120}{100} = 1.2\)
זו גדילה של 20% ביחידת זמן
📝 סיכום
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
גדילה: q = 1 + p/100 > 1 | דעיכה: q = 1 - p/100 < 1
הגרף תמיד חיובי ועובר דרך (0, f(0))