גדילה ודעיכה מעריכית - מציאת הנעלמים השונים
גדילה ודעיכה מעריכית
מציאת הנעלמים - q, t, f(0), f(t)
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
1️⃣ מציאת ערך בזמן מסוים f(t)
נתון: f(0), q, t
מבקשים: f(t)
הציבו בנוסחה וחשבו
✏️ דוגמה: מספר החיידקים הראשוני הוא 500 והם מכפילים את עצמם פי 1.5 כל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 4 שעות?
פתרון:
\(f(0) = 500, \quad q = 1.5, \quad t = 4\)
\(f(4) = 500 \cdot 1.5^4 = 500 \cdot 5.0625 = 2531.25\)
תשובה: כ-2531 חיידקים
2️⃣ מציאת הערך ההתחלתי f(0)
\(f(0) = \frac{f(t)}{q^t}\)
נתון: f(t), q, t
מבקשים: f(0)
✏️ דוגמה: אחרי 5 שנים ערך מכונית הוא 45,000 ש"ח. אם הערך יורד ב-12% כל שנה, מה היה מחיר המכונית כשנקנתה?
פתרון:
\(f(5) = 45000, \quad q = 0.88, \quad t = 5\)
\(f(0) = \frac{45000}{0.88^5} = \frac{45000}{0.5277} \approx 85,274\)
תשובה: כ-85,274 ש"ח
✏️ דוגמה: אוכלוסיית עיר גדלה ב-2% בשנה. היום יש 80,000 תושבים. כמה תושבים היו לפני 10 שנים?
פתרון:
\(f(10) = 80000, \quad q = 1.02, \quad t = 10\)
\(f(0) = \frac{80000}{1.02^{10}} = \frac{80000}{1.219} \approx 65,628\)
תשובה: כ-65,628 תושבים
3️⃣ מציאת שיעור הגדילה q
\(q = \sqrt[t]{\frac{f(t)}{f(0)}} = \left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)^{\frac{1}{t}}\)
נתון: f(0), f(t), t
מבקשים: q (ומתוכו אחוז הגדילה/דעיכה)
💡 איך מוצאים את אחוז השינוי מ-q?
- אם q > 1: אחוז גדילה = (q - 1) × 100
- אם q < 1: אחוז דעיכה = (1 - q) × 100
✏️ דוגמה: אוכלוסיית עיר גדלה מ-100,000 ל-121,000 תושבים ב-2 שנים. מהו אחוז הגדילה השנתי?
פתרון:
\(f(0) = 100000, \quad f(2) = 121000, \quad t = 2\)
\(q = \sqrt[2]{\frac{121000}{100000}} = \sqrt{1.21} = 1.1\)
אחוז גדילה = (1.1 - 1) × 100 = 10%
תשובה: גדילה של 10% בשנה
✏️ דוגמה: ערך מכונית ירד מ-80,000 ל-40,960 ש"ח ב-4 שנים. מהו אחוז הירידה השנתי?
פתרון:
\(f(0) = 80000, \quad f(4) = 40960, \quad t = 4\)
\(q = \sqrt[4]{\frac{40960}{80000}} = \sqrt[4]{0.512} = 0.8\)
אחוז דעיכה = (1 - 0.8) × 100 = 20%
תשובה: ירידה של 20% בשנה
4️⃣ מציאת הזמן t
\(t = \frac{\log\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)}{\log q} = \log_q\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)\)
נתון: f(0), f(t), q
מבקשים: t
💡 שלבי הפתרון:
- הציבו בנוסחה: \(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
- בודדו את \(q^t\): \(q^t = \frac{f(t)}{f(0)}\)
- השתמשו בלוגריתם: \(t = \frac{\log\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)}{\log q}\)
✏️ דוגמה: הפקדנו 5,000 ש"ח בבנק בריבית שנתית של 6%. אחרי כמה שנים יהיו לנו 10,000 ש"ח?
פתרון:
\(f(0) = 5000, \quad f(t) = 10000, \quad q = 1.06\)
\(10000 = 5000 \cdot 1.06^t\)
\(1.06^t = 2\)
\(t = \frac{\log 2}{\log 1.06} = \frac{0.301}{0.0253} \approx 11.9\)
תשובה: כ-12 שנים
✏️ דוגמה: כמות חומר רדיואקטיבי יורדת ב-5% כל יום. אחרי כמה ימים תישאר רבע מהכמות המקורית?
פתרון:
נניח \(f(0) = 100, \quad f(t) = 25, \quad q = 0.95\)
\(25 = 100 \cdot 0.95^t\)
\(0.95^t = 0.25\)
\(t = \frac{\log 0.25}{\log 0.95} = \frac{-0.602}{-0.0223} \approx 27\)
תשובה: כ-27 ימים
📋 טבלת סיכום
| מבקשים | נתון | נוסחה |
|---|---|---|
| f(t) | f(0), q, t | \(f(t) = f(0) \cdot q^t\) |
| f(0) | f(t), q, t | \(f(0) = \frac{f(t)}{q^t}\) |
| q | f(0), f(t), t | \(q = \sqrt[t]{\frac{f(t)}{f(0)}}\) |
| t | f(0), f(t), q | \(t = \frac{\log\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)}{\log q}\) |
📝 סיכום
f(t) → הציבו בנוסחה
f(0) → חלקו ב-qᵗ
q → שורש t מהיחס
t → השתמשו בלוגריתם