מציאת a₁: הציבו n = 1 בנוסחת Sₙ לקבלת S₁ = a₁

מציאת Sₙ₋₁: בנוסחת Sₙ, החליפו כל n ב-(n-1)

חישוב aₙ: חשבו aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ ופשטו

בדיקה: ודאו שהנוסחה נותנת את a₁ כשמציבים n = 1

\(a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2\)

מחליפים n ב-(n-1):

\(S_{n-1} = 3^{n-1} - 1\)

\(a_n = S_n - S_{n-1}\)

\(a_n = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1)\)

\(a_n = 3^n - 1 - 3^{n-1} + 1\)

\(a_n = 3^n - 3^{n-1}\)

\(a_n = 3^{n-1}(3 - 1)\)

\(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\)

נציב n = 1 בנוסחה שמצאנו:

\(a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2\) ✓

מתאים! אז הנוסחה \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\) תקפה לכל n ≥ 1

הנוסחה \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\) היא בדיוק נוסחת איבר כללי של סדרה הנדסית!

כן! זו סדרה הנדסית עם a₁ = 2 ו-q = 3

שלב 1: \(a_1 = S_1 = 5 \cdot 2^1 - 5 = 10 - 5 = 5\)

שלב 2: \(S_{n-1} = 5 \cdot 2^{n-1} - 5\)

שלב 3:

\(a_n = S_n - S_{n-1} = (5 \cdot 2^n - 5) - (5 \cdot 2^{n-1} - 5)\)

\(= 5 \cdot 2^n - 5 - 5 \cdot 2^{n-1} + 5\)

\(= 5 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^{n-1}\)

\(= 5 \cdot 2^{n-1}(2 - 1)\)

\(= 5 \cdot 2^{n-1}\)

שלב 4: בדיקה: \(a_1 = 5 \cdot 2^0 = 5\) ✓

תשובה: \(a_n = 5 \cdot 2^{n-1}\) (סדרה הנדסית עם a₁ = 5, q = 2)

שלב 1: \(a_1 = S_1 = 2^1 + 1 = 3\)

שלב 2: \(S_{n-1} = 2^{n-1} + 1\)

שלב 3:

\(a_n = (2^n + 1) - (2^{n-1} + 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}\)

שלב 4 - בדיקה:

נציב n = 1: \(2^{1-1} = 2^0 = 1\)

אבל a₁ = 3 ולא 1! ❌