סדרה הנדסית - סכום איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיי
סדרה הנדסית
סכום איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים
🎯 מה זה אומר?
לפעמים מבקשים לחשב סכום של האיברים שנמצאים רק במקומות זוגיים או רק במקומות אי-זוגיים בסדרה.
💡 הרעיון המרכזי
תגלית חשובה: האיברים במקומות הזוגיים (או האי-זוגיים) יוצרים בעצמם סדרה הנדסית!
איברים במקומות אי-זוגיים:
a₁, a₃, a₅, a₇, ...
איבר ראשון: a₁
מנה: q²
איברים במקומות זוגיים:
a₂, a₄, a₆, a₈, ...
איבר ראשון: a₂ = a₁·q
מנה: q²
🔍 למה המנה היא q²?
כי כשקופצים מאיבר אי-זוגי לאי-זוגי הבא (או מזוגי לזוגי הבא), קופצים 2 מקומות.
דוגמה: \(\frac{a_3}{a_1} = \frac{a_1 \cdot q^2}{a_1} = q^2\)
⚠️ חשוב: מספר האיברים בכל קבוצה
תלוי אם n (מספר האיברים הכולל) זוגי או אי-זוגי!
n זוגי (למשל n = 8)
| מקומות אי-זוגיים | \(\frac{n}{2}\) איברים | 4 איברים |
| מקומות זוגיים | \(\frac{n}{2}\) איברים | 4 איברים |
n אי-זוגי (למשל n = 7)
| מקומות אי-זוגיים | \(\frac{n+1}{2}\) איברים | 4 איברים |
| מקומות זוגיים | \(\frac{n-1}{2}\) איברים | 3 איברים |
📐 הנוסחאות
סכום איברים במקומות אי-זוגיים:
\(S_{\text{אי-זוגי}} = \frac{a_1((q^2)^m - 1)}{q^2 - 1}\)
כאשר m = מספר האיברים במקומות האי-זוגיים
סכום איברים במקומות זוגיים:
\(S_{\text{זוגי}} = \frac{a_1 \cdot q \cdot ((q^2)^m - 1)}{q^2 - 1}\)
כאשר m = מספר האיברים במקומות הזוגיים
✏️ דוגמה 1: n זוגי
שאלה: בסדרה הנדסית a₁ = 2, q = 3, n = 6.
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים ואת סכום האיברים במקומות האי-זוגיים.
הסדרה: a₁ = 2, a₂ = 6, a₃ = 18, a₄ = 54, a₅ = 162, a₆ = 486
סכום מקומות אי-זוגיים (a₁, a₃, a₅):
מספר איברים: m = 6/2 = 3
איבר ראשון: a₁ = 2, מנה: q² = 9
\(S_{\text{אי-זוגי}} = \frac{2(9^3 - 1)}{9 - 1} = \frac{2(729-1)}{8} = \frac{2 \cdot 728}{8} = \frac{1456}{8} = 182\)
בדיקה: 2 + 18 + 162 = 182 ✓
סכום מקומות זוגיים (a₂, a₄, a₆):
מספר איברים: m = 6/2 = 3
איבר ראשון: a₂ = 6, מנה: q² = 9
\(S_{\text{זוגי}} = \frac{6(9^3 - 1)}{9 - 1} = \frac{6 \cdot 728}{8} = \frac{4368}{8} = 546\)
בדיקה: 6 + 54 + 486 = 546 ✓
💡 בדיקה נוספת:
סכום כל האיברים S₆ = 182 + 546 = 728
נחשב ישירות: \(S_6 = \frac{2(3^6-1)}{3-1} = \frac{2 \cdot 728}{2} = 728\) ✓
✏️ דוגמה 2: n אי-זוגי
שאלה: בסדרה הנדסית a₁ = 1, q = 2, n = 7.
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.
הסדרה: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
מקומות זוגיים: a₂ = 2, a₄ = 8, a₆ = 32
פתרון:
מספר איברים במקומות זוגיים: m = (7-1)/2 = 3
איבר ראשון: a₂ = 2, מנה: q² = 4
\(S_{\text{זוגי}} = \frac{2(4^3 - 1)}{4 - 1} = \frac{2 \cdot 63}{3} = \frac{126}{3} = 42\)
בדיקה: 2 + 8 + 32 = 42 ✓
🔗 קשר שימושי
\(\frac{S_{\text{זוגי}}}{S_{\text{אי-זוגי}}} = q\)
💡 הסבר: כל איבר במקום זוגי שווה לאיבר במקום האי-זוגי שלפניו כפול q.
לכן היחס בין הסכומים הוא q (כאשר יש אותו מספר איברים בכל קבוצה).
✏️ בדיקה מדוגמה 1:
\(\frac{S_{\text{זוגי}}}{S_{\text{אי-זוגי}}} = \frac{546}{182} = 3 = q\) ✓
📝 סיכום
איברים בזוגיים/אי-זוגיים = סדרה הנדסית עם מנה q²
שימו לב למספר האיברים בכל קבוצה!
קשר: Sזוגי / Sאי-זוגי = q