✅ הסכום מתכנס כש:

|q| < 1

למשל: q = 0.5, q = -0.3, q = ⅓

האיברים הולכים וקטנים ומתקרבים ל-0

❌ הסכום מתבדר כש:

|q| ≥ 1

למשל: q = 2, q = -1.5, q = 1

האיברים לא מתקרבים ל-0

פתרון:

\(a_1 = 1, \quad q = \frac{1}{2}\)

|q| = 0.5 < 1 ✓ (מתכנס)

\(S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\)

תשובה: S = 2

פתרון:

\(a_1 = 6, \quad q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

|q| = ⅓ < 1 ✓ (מתכנס)

\(S = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\)

תשובה: S = 9

פתרון:

\(a_1 = 4, \quad q = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

|q| = 0.5 < 1 ✓ (מתכנס)

\(S = \frac{4}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}\)

תשובה: S = 8/3

פתרון:

\(0.333... = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + ...\)

זו סדרה הנדסית עם: \(a_1 = \frac{3}{10}, \quad q = \frac{1}{10}\)

\(S = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

תשובה: \(0.\overline{3} = \frac{1}{3}\)

פתרון:

\(0.272727... = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \frac{27}{1000000} + ...\)

\(a_1 = \frac{27}{100}, \quad q = \frac{1}{100}\)

\(S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}\)

תשובה: \(0.\overline{27} = \frac{3}{11}\)

פתרון:

\(S = \frac{a_1}{1-q}\)

\(8 = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{a_1}{\frac{3}{4}}\)

\(a_1 = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6\)

תשובה: a₁ = 6

פתרון:

\(16 = \frac{12}{1-q}\)

\(16(1-q) = 12\)

\(1-q = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\)

\(q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

בדיקה: |q| = ¼ < 1 ✓

תשובה: q = ¼