סדרה הנדסת
📐 סדרה הנדסית
איבר כללי, מציאת מנה ומיקום איבר
🎯 מה זו סדרה הנדסית?
סדרה הנדסית היא סדרה שבה המנה (היחס) בין כל שני איברים עוקבים קבועה.
במילים אחרות: כופלים באותו מספר כדי לעבור מאיבר לאיבר.
דוגמאות:
|
\(2, 6, 18, 54, 162, ...\) מנה: ×3 |
\(64, 32, 16, 8, 4, ...\) מנה: ×0.5 (או ÷2) |
⚖️ חשבונית vs הנדסית
| סדרה חשבונית | סדרה הנדסית |
|---|---|
| מחברים מספר קבוע (d) | כופלים במספר קבוע (q) |
| 2, 5, 8, 11, ... (+3) | 2, 6, 18, 54, ... (×3) |
🔤 סימונים בסיסיים
| סימון | משמעות | דוגמה |
|---|---|---|
| \(a_1\) | האיבר הראשון בסדרה | בסדרה 2,6,18,... → \(a_1 = 2\) |
| \(q\) | המנה - המספר שבו כופלים | בסדרה 2,6,18,... → \(q = 3\) |
| \(n\) | המיקום (מספר סידורי) של האיבר | האיבר השלישי → \(n = 3\) |
| \(a_n\) | האיבר הכללי - האיבר במקום ה-n | האיבר במקום ה-10 → \(a_{10}\) |
⭐ נוסחת האיבר הכללי
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
💡 הסבר הנוסחה:
כדי להגיע מהאיבר הראשון לאיבר ה-n, צריך לכפול ב-q בדיוק \(n-1\) פעמים
🎵 לזכור: "איבר ראשון, כפול q בחזקת (מספר מקום פחות אחד)"
✏️ דוגמה 1: מציאת איבר לפי מיקום
שאלה: בסדרה הנדסית \(a_1 = 3\) ו-\(q = 2\). מצאו את \(a_8\).
פתרון:
נציב בנוסחה: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_8 = 3 \cdot 2^{8-1}\)
\(a_8 = 3 \cdot 2^7\)
\(a_8 = 3 \cdot 128 = 384\)
תשובה: \(a_8 = 384\)
🔍 מציאת המנה (q)
שיטה 1: מאיברים עוקבים
\(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
המנה = איבר הבא חלקי איבר נוכחי
שיטה 2: משני איברים כלשהם
\(q = \sqrt[m-k]{\frac{a_m}{a_k}}\)
או באופן שקול:
\(q^{m-k} = \frac{a_m}{a_k}\)
✏️ דוגמה 2: מציאת המנה
שאלה: בסדרה הנדסית \(a_2 = 6\) ו-\(a_5 = 162\). מצאו את \(q\).
פתרון:
נמצא את היחס בין האיברים:
\(\frac{a_5}{a_2} = \frac{162}{6} = 27\)
בין מיקום 2 למיקום 5 יש \(5-2=3\) כפלים ב-q:
\(q^3 = 27\)
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\)
תשובה: \(q = 3\)
💡 הסבר: מ-\(a_2\) ל-\(a_5\) כופלים 3 פעמים ב-q:
\(a_2 \xrightarrow{\times q} a_3 \xrightarrow{\times q} a_4 \xrightarrow{\times q} a_5\)
📍 מציאת מיקום איבר (n)
מהנוסחה \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) נבודד את \(n\):
\(q^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}\)
ואז פותרים משוואה מעריכית (או עם לוגריתם)
✏️ דוגמה 3: מציאת מיקום
שאלה: בסדרה הנדסית \(a_1 = 5\) ו-\(q = 2\). באיזה מקום נמצא האיבר 320?
פתרון:
נציב \(a_n = 320\) בנוסחה:
\(320 = 5 \cdot 2^{n-1}\)
נחלק ב-5:
\(2^{n-1} = 64\)
נזהה ש-\(64 = 2^6\):
\(2^{n-1} = 2^6\)
\(n-1 = 6\)
\(n = 7\)
תשובה: האיבר 320 נמצא במקום ה-7
🏁 מציאת האיבר הראשון (a₁)
מהנוסחה נבודד את \(a_1\):
\(a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}}\)
✏️ דוגמה 4:
שאלה: בסדרה הנדסית \(a_5 = 48\) ו-\(q = 2\). מצאו את \(a_1\).
\(a_1 = \frac{a_5}{q^{5-1}} = \frac{48}{2^4} = \frac{48}{16} = 3\)
תשובה: \(a_1 = 3\)
⚠️ מקרים מיוחדים של המנה
\(q > 1\)
הסדרה עולה
2, 6, 18, 54, ...
\(0 < q < 1\)
הסדרה יורדת (ומתקרבת ל-0)
64, 32, 16, 8, ...
\(q < 0\)
הסדרה מתחלפת בסימן
2, −6, 18, −54, ...
\(q = 1\)
סדרה קבועה
5, 5, 5, 5, ...
⚠️ שימו לב: \(q \neq 0\) (אי אפשר לכפול ב-0 ולקבל סדרה)
❓ בדיקה אם מספר שייך לסדרה
שיטה: נציב את המספר כ-\(a_n\) ונבדוק אם \(n\) יוצא מספר טבעי
✏️ דוגמה 5:
שאלה: בסדרה \(a_1 = 2\), \(q = 3\). האם 486 שייך לסדרה?
\(486 = 2 \cdot 3^{n-1}\)
\(3^{n-1} = 243\)
\(3^{n-1} = 3^5\) (כי \(243 = 3^5\))
\(n-1 = 5\)
\(n = 6\) ✓
תשובה: כן! 486 הוא האיבר ה-6 בסדרה
✏️ דוגמה 6:
שאלה: באותה סדרה, האם 100 שייך לסדרה?
\(100 = 2 \cdot 3^{n-1}\)
\(3^{n-1} = 50\)
50 אינו חזקה של 3 (החזקות הן: 1, 3, 9, 27, 81, 243, ...)
\(n\) לא יוצא מספר טבעי ✗
תשובה: לא! 100 אינו שייך לסדרה
📋 סיכום הנוסחאות
| מה מחפשים | נוסחה |
|---|---|
| איבר כללי | \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) |
| מנה (מאיברים עוקבים) | \(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\) |
| מנה (מאיברים כלשהם) | \(q^{m-k} = \frac{a_m}{a_k}\) |
| מיקום איבר | \(q^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}\) ואז לפתור |
| איבר ראשון | \(a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}}\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ (n−1) בחזקה!
טעות נפוצה: החזקה היא \(n-1\) ולא \(n\)
2️⃣ לזכור חזקות
כדאי לדעת בעל פה: \(2^1\) עד \(2^{10}\), \(3^1\) עד \(3^5\)
3️⃣ מנה שלילית
אם הסימנים מתחלפים - המנה שלילית!
4️⃣ חזקות של q
כשמחפשים מיקום - לבדוק אם יוצאת חזקה שלמה
📝 הנוסחה המרכזית
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
מהנוסחה הזו אפשר לבודד כל משתנה שצריך!
חשבונית: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) (מחברים)
הנדסית: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) (כופלים)