קדם אנליזה - פונקציית הערך המוחלט
קדם אנליזה
פונקציית הערך המוחלט
📏 מהו ערך מוחלט?
הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מאפס על ציר המספרים.
מרחק הוא תמיד אי-שלילי!
\(|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}\)
דוגמאות:
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- \(|0| = 0\)
- \(|-3.7| = 3.7\)
📊 גרף הפונקציה \(f(x) = |x|\)
תכונות הגרף:
- צורה: V (כמו האות וי באנגלית)
- קודקוד: בנקודה (0, 0)
- פונקציה זוגית: סימטרית ביחס לציר Y
- תחום הגדרה: כל הממשיים
- תחום ערכים: \(y \geq 0\)
- מינימום: y = 0 בנקודה x = 0
🔄 טרנספורמציות של |x|
\(f(x) = a|x - h| + k\)
קודקוד בנקודה (h, k)
h → הזזה אופקית
|x - 2| → קודקוד ב-x = 2
k → הזזה אנכית
|x| + 3 → קודקוד ב-y = 3
a → שיפוע ושיקוף
a < 0 → V הפוך (∧)
🔓 כיצד לפתוח ערך מוחלט?
הביטוי שבתוך הערך המוחלט יכול להיות חיובי או שלילי
לכן יש לפצל למקרים!
✏️ דוגמה: פתח את \(f(x) = |x - 3|\)
שלב 1: מצא את נקודת המעבר
\(x - 3 = 0\) → \(x = 3\)
שלב 2: פצל למקרים
\(f(x) = \begin{cases} x - 3 & \text{if } x \geq 3 \\ -(x - 3) = -x + 3 & \text{if } x < 3 \end{cases}\)
✏️ דוגמה מורכבת יותר: \(f(x) = |x - 1| + |x + 2|\)
נקודות מעבר: x = 1 ו-x = -2
שלושה תחומים:
- x < -2: \(-(x-1) + (-(x+2)) = -2x - 1\)
- -2 ≤ x < 1: \(-(x-1) + (x+2) = 3\)
- x ≥ 1: \((x-1) + (x+2) = 2x + 1\)
⚖️ משוואות עם ערך מוחלט
סוג 1: \(|A| = k\) (כאשר k > 0)
פתרון: \(A = k\) או \(A = -k\)
דוגמה: \(|x - 2| = 5\)
\(x - 2 = 5\) → \(x = 7\)
\(x - 2 = -5\) → \(x = -3\)
סוג 2: \(|A| = |B|\)
פתרון: \(A = B\) או \(A = -B\)
דוגמה: \(|x - 1| = |2x + 3|\)
\(x - 1 = 2x + 3\) → \(x = -4\)
\(x - 1 = -(2x + 3)\) → \(x = -\frac{2}{3}\)
⚠️ שימו לב:
- \(|A| = k\) כאשר k < 0 → אין פתרון!
- \(|A| = 0\) → \(A = 0\) (פתרון יחיד)
📐 אי-שוויונות עם ערך מוחלט
\(|A| < k\)
שקול ל: \(-k < A < k\)
"קרוב לאפס"
דוגמה: \(|x - 2| < 3\)
\(-3 < x - 2 < 3\)
\(-1 < x < 5\)
\(|A| > k\)
שקול ל: \(A < -k\) או \(A > k\)
"רחוק מאפס"
דוגמה: \(|x - 2| > 3\)
\(x - 2 < -3\) או \(x - 2 > 3\)
\(x < -1\) או \(x > 5\)
🎨 גרף של \(y = |f(x)|\)
כל החלק השלילי של הגרף משתקף למעלה
💡 כלל: החלק שמתחת לציר X "מתקפל" למעלה
📝 סיכום
|x| = מרחק מאפס, תמיד ≥ 0
גרף V עם קודקוד ב-(h, k) לפי a|x-h|+k
|A| < k → תחום סגור | |A| > k → שני קטעים