חקירת פונקציה - עלייה, ירידה ונקודות קיצון
📈 חקירת פונקציה - עלייה, ירידה ונקודות קיצון
איך הנגזרת עוזרת לנו להבין את התנהגות הפונקציה
🎯 למה זה חשוב?
זהו אחד הנושאים הכי חשובים בבגרות! כמעט בכל שאלת חקירה תצטרכו:
- למצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
- למצוא נקודות קיצון (מקסימום ומינימום)
- לסווג את נקודות הקיצון
והכלי המרכזי לכל זה? הנגזרת!
⭐ הקשר המרכזי: נגזרת ↔ עלייה/ירידה
|
📈 הפונקציה עולה \(f'(x) > 0\) הנגזרת חיובית |
📉 הפונקציה יורדת \(f'(x) < 0\) הנגזרת שלילית |
💡 למה זה הגיוני?
הנגזרת היא שיפוע המשיק. כשהשיפוע חיובי - הגרף עולה. כשהשיפוע שלילי - הגרף יורד!
📋 השלבים למציאת תחומי עלייה וירידה
| שלב | מה עושים? |
|---|---|
| 1 | מוצאים את הנגזרת \(f'(x)\) |
| 2 | פותרים את המשוואה \(f'(x) = 0\) (מוצאים נקודות חשודות) |
| 3 | מסמנים את הנקודות על ציר המספרים |
| 4 | בודקים את סימן הנגזרת בכל תחום (מציבים נקודת מבחן) |
| 5 | מסיקים: \(f' > 0\) → עולה, \(f' < 0\) → יורדת |
✏️ דוגמה מפורטת
שאלה: מצאו את תחומי העלייה והירידה של \(f(x) = x^3 - 3x\)
שלב 1: מוצאים את הנגזרת
\(f'(x) = 3x^2 - 3\)
שלב 2: פותרים \(f'(x) = 0\)
\(3x^2 - 3 = 0\)
\(3(x^2 - 1) = 0\)
\(x^2 = 1\)
\(x = 1\) או \(x = -1\)
שלב 3: מסמנים על ציר המספרים
-1 1
שלב 4: בודקים סימן בכל תחום
| תחום | נקודת מבחן | ערך \(f'(x)\) | סימן |
|---|---|---|---|
| \(x < -1\) | \(x = -2\) | \(3 \cdot 4 - 3 = 9\) | + |
| \(-1 < x < 1\) | \(x = 0\) | \(3 \cdot 0 - 3 = -3\) | − |
| \(x > 1\) | \(x = 2\) | \(3 \cdot 4 - 3 = 9\) | + |
שלב 5: מסקנות
📈 תחומי עלייה: \(x < -1\) או \(x > 1\)
📉 תחומי ירידה: \(-1 < x < 1\)
🏔️ נקודות קיצון
נקודת קיצון = נקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה (או להפך)
|
🏔️ נקודת מקסימום הפונקציה עולה ↗ ואז יורדת ↘ \(f'\) עוברת מ-+ ל-− |
🏜️ נקודת מינימום הפונקציה יורדת ↘ ואז עולה ↗ \(f'\) עוברת מ-− ל-+ |
⚠️ חשוב: בנקודת קיצון תמיד מתקיים \(f'(x) = 0\), אבל לא כל נקודה שבה \(f'(x) = 0\) היא נקודת קיצון!
🔍 שיטות לסיווג נקודות קיצון
שיטה 1: בדיקת סימן הנגזרת הראשונה (טבלת סימנים)
| סימן \(f'\) לפני | סימן \(f'\) אחרי | סוג הנקודה |
|---|---|---|
| + | − | מקסימום 🏔️ |
| − | + | מינימום 🏜️ |
| + | + | לא קיצון (אולי פיתול) |
שיטה 2: בדיקת הנגזרת השנייה
אם \(f'(x_0) = 0\), אז:
| ערך \(f''(x_0)\) | מסקנה |
|---|---|
| \(f''(x_0) < 0\) | מקסימום 🏔️ (הגרף קעור כלפי מטה) |
| \(f''(x_0) > 0\) | מינימום 🏜️ (הגרף קעור כלפי מעלה) |
| \(f''(x_0) = 0\) | לא ניתן להכריע - צריך שיטה 1 |
💡 טיפ לזכירה:
\(f'' < 0\) → קעור למטה ∩ → מקסימום (כי הפרבולה "מחייכת הפוך")
\(f'' > 0\) → קעור למעלה ∪ → מינימום (כי הפרבולה "מחייכת")
✏️ דוגמה: סיווג נקודות קיצון
המשך הדוגמה: \(f(x) = x^3 - 3x\)
מצאנו: \(f'(x) = 3x^2 - 3\) ונקודות חשודות: \(x = -1, x = 1\)
שיטה 1: טבלת סימנים
מהטבלה שעשינו קודם:
- ב-\(x = -1\): הסימן עובר מ-+ ל-− → מקסימום
- ב-\(x = 1\): הסימן עובר מ-− ל-+ → מינימום
שיטה 2: נגזרת שנייה
\(f''(x) = 6x\)
\(f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0\) → מקסימום ✓
\(f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0\) → מינימום ✓
מציאת הנקודות המלאות:
\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2\)
\(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2\)
נקודת מקסימום: \((-1, 2)\)
נקודת מינימום: \((1, -2)\)
🌍 קיצון מקומי vs קיצון גלובלי (מוחלט)
קיצון מקומיהערך הגבוה/נמוך ביותר בסביבה של הנקודה "הפסגה של הגבעה" - גם אם יש הר יותר גבוה בסביבה |
קיצון גלובלי (מוחלט)הערך הגבוה/נמוך ביותר בכל התחום "ההר הכי גבוה בארץ" |
⚠️ בתחום סגור [a,b]: צריך לבדוק גם את קצוות התחום!
המקסימום/מינימום הגלובלי יכול להיות בנקודת קיצון מקומית או בקצה התחום.
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ לא לשכוח לחשב y!
נקודת קיצון היא זוג סדור \((x, y)\)
אחרי שמצאתם \(x\), תמיד להציב ב-\(f(x)\)!
2️⃣ לסווג את הנקודה!
לא מספיק למצוא נקודות חשודות
צריך להוכיח שזה מקסימום/מינימום
3️⃣ תחום הגדרה!
לבדוק שנקודות הקיצון בתחום ההגדרה
ושהתחומים לא חורגים ממנו
4️⃣ כתיב נכון!
תחומי עלייה: \(x > 2\) או \((2, \infty)\)
לא לכתוב \(f(x) > 2\)!
📝 סיכום
\(f'(x) > 0\) → עולה | \(f'(x) < 0\) → יורדת | \(f'(x) = 0\) → חשודה לקיצון
לסיווג: שינוי סימן ב-\(f'\) או בדיקת \(f''\)
עכשיו אתם מוכנים להמשיך לנושא הבא: סימטריה - פונקציה זוגית ואי-זוגית!