הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

📊 הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

איך לקרוא מידע על \(f\) מתוך \(f'\) ולהפך, וגם \(f''\)

🎯 למה זה חשוב?

בבגרות יש שאלות שבהן נותנים לכם גרף של הנגזרת ומבקשים מידע על הפונקציה המקורית, או להפך.

כדי לפתור שאלות כאלה, צריך להבין את הקשרים בין שלוש הפונקציות:

\(f(x)\)

הפונקציה

\(f'(x)\)

נגזרת ראשונה

\(f''(x)\)

נגזרת שנייה

⭐ טבלת הקשרים המרכזית

מידע על \(f'\) → מסקנה על \(f\)
\(f'(x) > 0\) → \(f\) עולה 📈
\(f'(x) < 0\) → \(f\) יורדת 📉
\(f'(x) = 0\) → נקודה חשודה לקיצון ב-\(f\)
\(f'\) עוברת מ-+ ל-− → ל-\(f\) יש מקסימום 🏔️
\(f'\) עוברת מ-− ל-+ → ל-\(f\) יש מינימום 🏜️

💡 הטריק לזכירה:

גרף \(f'\) מעל ציר ה-\(x\) = \(f\) עולה

גרף \(f'\) מתחת לציר ה-\(x\) = \(f\) יורדת

גרף \(f'\) חותך את ציר ה-\(x\) = ל-\(f\) יש קיצון

🔄 הקשר עם הנגזרת השנייה \(f''\)

מידע על \(f''\) → מסקנה על \(f\) מסקנה על \(f'\)
\(f''(x) > 0\) → \(f\) קעורה כלפי מעלה ∪ \(f'\) עולה
\(f''(x) < 0\) → \(f\) קעורה כלפי מטה ∩ \(f'\) יורדת
\(f''(x) = 0\) + החלפת סימן → ל-\(f\) יש נקודת פיתול ל-\(f'\) יש קיצון

💡 תובנה חשובה:

\(f''\) היא הנגזרת של \(f'\), לכן:

  • \(f'' > 0\) אומר ש-\(f'\) עולה (בדיוק כמו ש-\(f' > 0\) אומר ש-\(f\) עולה)
  • \(f'' = 0\) עם החלפת סימן = קיצון של \(f'\) = פיתול של \(f\)

🔗 שרשרת הקשרים המלאה

\(f''(x)\) \(f'(x)\) \(f(x)\)
חיובית (\(>0\)) עולה קעורה למעלה ∪
שלילית (\(<0\)) יורדת קעורה למטה ∩
מתאפסת + מחליפה סימן קיצון פיתול
- חיובית (\(>0\)) עולה 📈
- שלילית (\(<0\)) יורדת 📉
- מתאפסת + מחליפה סימן קיצון 🏔️🏜️

📖 קריאת מידע מגרף \(f'\) על \(f\)

נתון גרף של \(f'(x)\). מה אפשר לדעת על \(f(x)\)?

מה רואים בגרף \(f'\) מה מסיקים על \(f\)
הגרף מעל ציר \(x\) \(f\) עולה בתחום זה
הגרף מתחת לציר \(x\) \(f\) יורדת בתחום זה
הגרף חותך את ציר \(x\) מלמעלה למטה ל-\(f\) יש מקסימום בנקודה זו
הגרף חותך את ציר \(x\) מלמטה למעלה ל-\(f\) יש מינימום בנקודה זו
הגרף נוגע בציר \(x\) (לא חותך) ל-\(f\) יש נקודת פיתול אופקית
גרף \(f'\) עולה \(f\) קעורה כלפי מעלה ∪
גרף \(f'\) יורד \(f\) קעורה כלפי מטה ∩
ל-\(f'\) יש קיצון ל-\(f\) יש נקודת פיתול

📖 קריאת מידע מגרף \(f\) על \(f'\)

נתון גרף של \(f(x)\). מה אפשר לדעת על \(f'(x)\)?

מה רואים בגרף \(f\) מה מסיקים על \(f'\)
\(f\) עולה \(f' > 0\) (הגרף מעל ציר \(x\))
\(f\) יורדת \(f' < 0\) (הגרף מתחת לציר \(x\))
ל-\(f\) יש מקסימום \(f' = 0\) בנקודה, ו-\(f'\) חותך מלמעלה למטה
ל-\(f\) יש מינימום \(f' = 0\) בנקודה, ו-\(f'\) חותך מלמטה למעלה
\(f\) קעורה כלפי מעלה ∪ \(f'\) עולה
\(f\) קעורה כלפי מטה ∩ \(f'\) יורדת
ל-\(f\) יש נקודת פיתול ל-\(f'\) יש קיצון

🎯 סיווג נקודות קיצון באמצעות \(f''\)

אם \(f'(x_0) = 0\) (נקודה חשודה לקיצון), נבדוק את \(f''(x_0)\):

\(f''(x_0) < 0\)

∩

מקסימום

\(f''(x_0) > 0\)

∪

מינימום

\(f''(x_0) = 0\)

❓

לא ניתן להכריע

צריך לבדוק בטבלת סימנים

💡 טיפ לזכירה:

\(f'' < 0\) → "עצוב" ∩ → למעלה → מקסימום

\(f'' > 0\) → "שמח" ∪ → למטה → מינימום

✏️ דוגמה: ניתוח גרף \(f'\)

נתון: גרף של \(f'(x)\) שחותך את ציר \(x\) בנקודות \(x = -2\) ו-\(x = 3\).

הגרף מעל ציר \(x\) בתחום \((-2, 3)\) ומתחתיו מחוץ לתחום זה.

לגרף \(f'\) יש מקסימום ב-\(x = 0\).

מה אפשר לדעת על \(f\)?

תחומי עלייה וירידה:

• \(f' > 0\) בתחום \((-2, 3)\) → \(f\) עולה ב-\((-2, 3)\)

• \(f' < 0\) בתחום \(x < -2\) ו-\(x > 3\) → \(f\) יורדת בתחומים אלה

נקודות קיצון:

• ב-\(x = -2\): \(f'\) עוברת מ-− ל-+ → מינימום של \(f\)

• ב-\(x = 3\): \(f'\) עוברת מ-+ ל-− → מקסימום של \(f\)

נקודות פיתול וקעירות:

• ב-\(x = 0\) יש מקסימום ל-\(f'\) → יש נקודת פיתול ל-\(f\)

• \(f'\) עולה ב-\((-2, 0)\) → \(f\) קעורה כלפי מעלה ∪

• \(f'\) יורדת ב-\((0, 3)\) → \(f\) קעורה כלפי מטה ∩

💡 טיפים חשובים למבחן

1️⃣ לזהות מי נתון

קודם לבדוק: נתנו גרף של \(f\) או של \(f'\)?

זה משנה הכל!

2️⃣ סימן ≠ עלייה/ירידה

סימן של \(f'\) = עלייה/ירידה של \(f\)

עלייה/ירידה של \(f'\) = קעירות של \(f\)

3️⃣ אפסים של \(f'\)

חיתוך עם ציר \(x\) = קיצון של \(f\)

(אם יש החלפת סימן)

4️⃣ קיצון של \(f'\)

קיצון של \(f'\) = פיתול של \(f\)

(כי \(f'' = 0\) שם)

📝 סיכום

\(f' > 0\) → \(f\) עולה \(f'' > 0\) → \(f\) קעורה למעלה, \(f'\) עולה
\(f' < 0\) → \(f\) יורדת \(f'' < 0\) → \(f\) קעורה למטה, \(f'\) יורדת
\(f' = 0\) → קיצון של \(f\) \(f'' = 0\) → פיתול של \(f\), קיצון של \(f'\)