גאומטריה אנליטית - אמצע קטע - נוסחה ומציאת קצה קטע
גאומטריה אנליטית - הישר
אמצע קטע - נוסחה ומציאת קצה קטע
⭐ נוסחת אמצע קטע
אמצע הקטע שקצותיו \(A(x_1, y_1)\) ו-\(B(x_2, y_2)\):
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 במילים פשוטות: אמצע = ממוצע של הקואורדינטות!
- x של האמצע = ממוצע של ערכי x
- y של האמצע = ממוצע של ערכי y
📐 הדגמה גרפית
✏️ דוגמאות - מציאת אמצע קטע
דוגמה 1: מצאו את אמצע הקטע AB כאשר \(A(2, 4)\) ו-\(B(6, 8)\)
\(M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)\)
דוגמה 2: מצאו את אמצע הקטע AB כאשר \(A(-2, 3)\) ו-\(B(4, 7)\)
\(M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{10}{2}\right) = (1, 5)\)
דוגמה 3: מצאו את אמצע הקטע AB כאשר \(A(1, 5)\) ו-\(B(4, 2)\)
\(M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = (2.5, 3.5)\)
🔄 הנוסחה ההפוכה - מציאת קצה קטע
שאלה: נתונים קצה אחד A ואמצע M. מצאו את הקצה השני B.
אם \(A(x_1, y_1)\) ואמצע \(M(x_m, y_m)\), אז:
\(B = (2x_m - x_1, 2y_m - y_1)\)
💡 הסבר: מהנוסחה המקורית:
\(x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}\) → \(2x_m = x_1 + x_2\) → \(x_2 = 2x_m - x_1\)
✏️ דוגמאות - מציאת קצה קטע
דוגמה 1: נתון קצה \(A(2, 3)\) ואמצע \(M(5, 7)\). מצאו את B.
\(x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8\)
\(y_B = 2 \cdot 7 - 3 = 14 - 3 = 11\)
B = (8, 11)
דוגמה 2: נתון קצה \(A(4, 1)\) ואמצע \(M(2, 4)\). מצאו את B.
\(x_B = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0\)
\(y_B = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7\)
B = (0, 7)
דוגמה 3: נתון קצה \(A(-1, 6)\) ואמצע \(M(3, 2)\). מצאו את B.
\(x_B = 2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7\)
\(y_B = 2 \cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2\)
B = (7, -2)
💡 בדיקה: תמיד אפשר לבדוק - חשבו את אמצע AB ווודאו שמקבלים M!
💡 שיטה חלופית - בניית משוואות
דוגמה: נתון A(2, 3) ואמצע M(5, 7). מצאו את B(x, y).
שלב 1: נכתוב משוואות מנוסחת האמצע:
\(\frac{2 + x}{2} = 5\) → \(2 + x = 10\) → \(x = 8\)
\(\frac{3 + y}{2} = 7\) → \(3 + y = 14\) → \(y = 11\)
תשובה: B = (8, 11)
📝 סיכום
אמצע קטע:
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
מציאת קצה:
\(B = (2x_m - x_1, 2y_m - y_1)\)